ACCADEMIA DELLE SCIENZE DELL'URSS

GALILEO GALILEI

OPERE SCELTE

IN DUE VOLUMI

TOMO SECONDO

CASA EDITRICE «NAUKA»

MOSСА

1 9 6 4

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ

ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ

В ДВУХ ТОМАХ

ТОМ ВТОРОЙ

МЕХАНИКА

•

О ТЕЛАХ, ПРЕБЫВАЮЩИХ
В ВОДЕ

•

БЕСЕДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

МОСКВА
1 9 6 4

Редакционная коллегия:

А. Ю. Ишлинский (главный редактор),

А. Т. ГРИГОРЬЯН, М. А. ДЫННИК,

Б. Г. КУЗНЕЦОВ, М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ,

И. Б. ПОГРЕБЫССКИЙ, В. Г. ФЕСЕНКОВ

Составитель
У. И. ФРАНКФУРТ

ПЕРЕВОД
Н. М. ТЕЛЕВНОЙ

О пользе, которая извлекается
из науки механики и ее орудий

Мне думается, что прежде чем переходить к рассуждениям по поводу механических орудий, было бы чрезвычайно важно рассмотреть их в общем и уяснить себе, каковы те выгоды, которые получают от этих орудий; по-моему, это тем более следует сделать потому, что, насколько я наблюдал (если не ошибаюсь), механики часто заблуждаются, желая применить машины ко многим действиям, невозможным по самой своей природе, а в результате и сами оказываются обманутыми и в равной степени обманывают тех, кто исходил в своих надеждах из их обещаний¹. Как мне кажется, я понял: главная причина подобных заблуждений — это уверенность, что такими приспособлениями всегда можно поднять и передвинуть при помощи незначительной силы громадные грузы, обманывая таким образом природу, стремление которой, я сказал бы даже: основа ее устройства, состоит в том, что никакое сопротивление нельзя преодолеть силой менее мощной, чем оно само. Я надеюсь, что те точные и необходимые доказательства, которые мы Получим в дальнейшем, сделают очевидным, насколько ошибочна такая уверенность.

Поскольку было отмечено, что польза, извлекаемая из машин, состоит вовсе не в том, чтобы при помощи машины перемещать малой силой такие грузы, которые мы не были бы в состоянии переместить одной только силой, считаю уместным объяснить, какие же собственно выгоды получают  {8}  от машин, так как, если нет надежды на какую-либо выгоду, то напрасно затрачивать труд на создание самих машин.

И вот, чтобы начать наши рассмотрения, надо принять во внимание четыре предмета²: первый — это груз, который нужно перенести с места на место; второй — это сила или мощь³, которая должна его перенести; третий — это расстояние между начальной и конечной точками перемещения; четвертый — это время, в течение которого должно произойти перемещение; но время сводится к тому же, что и скорость, быстрота (velocita) движения, ибо из двух движений за более быстрое принимается то движение, при котором то же расстояние проходят за меньшее время. Теперь, когда задано любое сопротивление, определена сила и указано любое расстояние, нет сомнения в том, что заданная сила переместит заданный груз на указанное расстояние. Ибо, даже если сила весьма мала, то, разделив груз на множество частей, из которых ни одна не превосходит силу, и, перенося эти части одну за другой, мы переместим в конце концов весь груз на установленное расстояние; но по окончании действия следует сказать, что больший груз был сдвинут и перемещен не силой меньшей, чем он сам, а силон, несколько раз повторившей то движение и прошедшей пространство, которое, один только раз было пройдено всем грузом. Отсюда вытекает, что скорость силы во столько раз превосходит сопротивление груза, во сколько раз сам груз превосходит силу; однако из того, что за время, пока движущая сила несколько раз преодолевала расстояние между крайними точками движения, само перемещаемое тело прошло его только один раз, не следует все-таки делать вывод, что большое сопротивление оказалось преодоленным, вопреки устройству природы, малой силой. О преодолении установления природы можно было бы говорить только в случае, если бы меньшая сила переместила большее сопротивление с той же скоростью движения, с которой перемещается она сама; чего, кто это мы с полной уверенностью утверждаем, невозможно добиться при помощи какой бы то ни было машины, как изобретенной, так и такой, какую вообще возможно изобрести⁴. Но поскольку иногда бывает необходимо, имея малую силу, переместить большой груз целиком, не разделяя его на части, то в таком случае приходится прибегать к машине, с помощью которой и перемещают предложенный груз на установленное расстояние; но при этом той же самой силе неизбежно придется преодолевать то же самое расстояние или другое, равное ему, столько раз, во сколько раз сам груз превосходит силу; так что в конце действия не получим от машины никакой пользы, кроме того, что она переместит данной силой на данное расстояние зараз весь тот груз, который, будучи разделен на части, был бы перенесен той же самой силой в течение того же самого времени на то же расстояние и без помощи машины. А именно это и должно расцениваться  {9}  как одна из выгод, получаемая от механики, потому что действительно часто оказывается необходимым при недостатке силы, но не времени, перемещать целиком большие грузы. Но кто понадеется и попытается добиться при помощи машины того же результата, не замедляя движения перемещаемого тела, тот неизбежно окажется обманутым в своих надеждах и обнаружит непонимание как природы механических орудий, так и принципов их действия.

Другая выгода, получаемая от механических орудий, зависит от места, где их применяют, ибо не все механические орудия применяются с одинаковым удобством в любом месте.

Объясним нашу мысль примером: беря воду из колодца, мы пользуемся простой веревкой с привязанным к ней сосудом, который принимает и сохраняет то количество воды, какое мы можем вычерпать за определенное время нашими ограниченными силами; но кто воображает, что можно какой-либо машиной за то же самое время при помощи той же самой силы вычерпать большее количество воды, тот глубочайшим образом заблуждается. И тем чаще и глубже он будет заблуждаться, чем более разнообразные и многочисленные приспособления он будет измышлять. Но тем не менее мы видим, что воду извлекают и другими орудиями: так, например, для высушивания корабельного трюма используют помпы. Но здесь следует заметить, что помпы применяются с той же целью вовсе не потому, что они извлекают больше воды, чем это можно сделать за то же самое время и той же самой силой простым ведром, а только потому, что применение ведра или другого какого-либо подобного сосуда в этом месте не дало бы желаемого результата, т. е. полного освобождения трюма от любого незначительного количества воды. Это вообще невозможно сделать ведром, так как оно погружается и черпает воду только там, где она стоит на достаточно высоком уровне. Мы видим, что при помощи той же помпы высушивают и погреба, откуда воду нельзя вычерпать иначе, как только наклонно, а действовать так обычным ведром, которое поднимается и опускается на своей веревке перпендикулярно, невозможно.

Третья и, вероятно, наибольшая выгода среди других выгод, получаемых от механических орудий, связана с тем, что движет; движение может быть вызвано или какой-либо неодушевленной силой, например течением реки, или же одушевленной силой, расходы на содержание которой окажутся, однако, значительно меньше расходов, необходимых для поддержания силы человека. Так, например, используя для вращения жернова течение реки или силу лошади, добиваются такого же результата, для которого оказалось бы недостаточной мощь (il potere) четырех или шести человек. Именно поэтому и удается нам извлекать выгоду при подъеме воды, а также совершать другие действия, которые  {10}  люди выполняют и без специальных устройств. Так, ведь уже простым сосудом можно брать воду, поднимать ее и выливать там, где это необходимо; но поскольку лошадь или другой подобный двигатель обладает только избытком сил, но не умеет рассуждать и при нем нет приспособлений, устроенных для того, чтобы подхватывать сосуд, вовремя его опоражнивать, а затем снова возвращать для наполнения, то механику необходимо восполнить этот естественный недостаток двигателя, придумывая такие приспособления, при помощи которых удавалось бы добиться желаемого результата приложением только силы. В этом-то и заключается величайшая выгода: она не в том, что колеса или другие машины меньшей силой и с большей скоростью и на большем пространстве переносят тот самый груз, который могла бы перенести без применения орудий равная, но разумно и хорошо организованная сила, а в том, что падение воды ничего не стоит или стоит очень мало, а содержание лошади или другого какого-либо животного, сила которого превосходит силу восьми, а то и более человек, потребует гораздо меньше расходов, чем те, что необходимы для содержания такого количества людей⁵.

Итак, вот в чем выгода, которую получают от механических орудий; она не в том вовсе, о чем мечтают неразумные инженеры, думающие обмануть природу и только посрамляющие себя, стремясь применять машины для невыполнимых предприятий.

И из немногого, до сих пор сказанного, и из того, что будет в этом трактате доказано в дальнейшем, мы придем к тому же убеждению, если будем внимательно воспринимать все, что следует.

Определения

В нашем трактате мы должны следовать тому, что необходимо во всех точных науках, а именно: предложить определения подходящих терминов и сделать первоначальные допущения, из которых, как из плодоноснейшего семени, возьмут свое начало и последовательно развернутся причины и точные доказательства свойств всех механических орудий. А так как последние используются главным образом в связи с движением тяжелых тел, то прежде всего определим, что такое тяжесть (gravita).

И вот: тяжестью мы называем естественное стремление к движению вниз, вызываемое в тяжелых телах большим или меньшим количеством материи, из которой они состоят.

Момент (momento) — это стремление двигаться вниз, вызванное не столько тяжестью движущегося тела, сколько тем, как различные тяжелые тела размещаются относительно друг друга; при этом часто наблюдается, что благодаря моменту более тяжелые тела перевешиваются более легкими; например, в безмене, где крошечный противовес поднимает  {11}  огромный груз не из-за избытка тяжести, а из-за удаленности от точки, где безмен поддерживается, из-за удаленности, которая, в сочетании с тяжестью меньшего груза, увеличивает ему момент и импето (impeto) опускаться вниз, которым он может превысить момент другого, более тяжелого тела. Итак, момент — это импето опускаться вниз, состоящее из тяжести, положения и всего остального, что может вызвать такое стремление⁶.

За центр тяжести в каждом тяжелом теле принимается такая точка, вокруг которой расположены части с одинаковыми моментами; так что, если представим себе, что тяжелое тело подвешено и удерживается за эту точку, то части справа будут уравновешиваться частями слева, части спереди — частями сзади, части снизу — частями сверху, и тяжелое тело, будучи поддерживаемо таким образом, никуда не отклонится, а помещенное в какое угодно положение, будет в нем оставаться, если только оно подвешено за центр. Но это ведь именно та точка, которая стремилась бы соединиться с общим центром всех тяжелых вещей, т. е. с центром Земли, если бы она могла опускаться в какой-либо свободной среде.

На этом основании принимаем такое допущение: тяжелое тело опускается вниз таким образом, чтобы его центр тяжести никогда не сходил с прямой линии, проведенной из центра тела в его начальном положении, к общему центру тяжелых предметов.

Это допущение вполне обосновано, ибо, если отдельный центр должен стремиться соединиться с общим центром, необходимо, чтобы он соединился с ним при отсутствии препятствий по кратчайшей линии, а таковой всегда является прямая. Во-вторых, можем допустить следующее: каждое тело тяготеет больше всего над центром своей тяжести, и в этом центре собственно сосредотачиваются все импето, вся тяжесть и все моменты. И, наконец, допустим, что центр тяжести двух тел с одинаковым весом находится посредине прямой линии, которая соединяет эти центры; или у двух грузов, подвешенных на равных расстояниях, точка равновесия находится на общей, соединяющей их прямой, на одинаковом расстоянии от обоих; например, если расстояние СЕ равно расстоянию ED и на них подвешены два равных груза А и В, то точка равновесия находится в Е, так как нет основания отклонять ее как от первого, так и от второго груза⁷. Но здесь следует обратить внимание, что эти расстояния должны измеряться перпендикулярами, опущенными из точки опоры грузов на прямые, проведенные из центров тяжести обоих грузов до общего центра тяжелых предметов. Однако если переместить ED в положение  {12}  EF, то груз В не уравновесит груз А, потому что из двух линий, проведенных из центров тяжести грузов к центру Земли, та линия, которую провели бы из центра J, оказалась бы ближе к точке Е, чем линия, проведенная из центра А. Теперь понятно, почему равные грузы, будучи подвешены на равных расстояниях, каждый раз, когда из их центров проводятся прямые линии к общему центру вещей, оказываются одинаково удаленными от той прямой линии, которая проводится из конечной точки их расстояний, т. е. из точки подвеса, к тому же самому центру Земли.

После этих определений и допущений перейдем к объяснению самого общего, главнейшего принципа большей части механических орудий и докажем, что неравные грузы, подвешенные на неравных расстояниях, уравновешиваются каждый раз, когда эти расстояния обратно пропорциональны грузам. Убежденные в истинности ранее изложенного принципа, что равные грузы, будучи подвешены на равных расстояниях, уравновешиваются, мы докажем не только то, что неравные грузы, подвешенные на неравных расстояниях, действительно уравновешиваются, если эти расстояния обратно пропорциональны самим грузам, но также и то, что подвешивание неравных грузов на обратно пропорциональных расстояниях является, по существу, тем же самым что и подвешивание равных грузов на равных расстояниях⁸.

Итак, представим себе однородное по весу и одинаковое по толщине твердое тело CDFE, цилиндрической или другой, сходной формы, подвешенное за крайние точки С и D к линии АВ, проходящей над телом на в одинаковой высоте. Теперь, если разделить самую линию АВ точкой G пополам и подвесить к этой точке тело, то точка G несомненно станет точкой равновесия, так как линия, проведенная из этой точки прямо к центру Земли, прошла бы через центр тяжести твердого тела CF, а вокруг нее (линии) сосредоточились бы части с одинаковыми моментами, а это то же, как если бы к точкам А и В подвесить две половинки тяжелого тела CF. Допустим теперь, что это тяжелое тело разрезано по линии JS на две неравные части; ясно, что часть CS, а также и другая часть SD не будут больше оставаться в прежнем положении, не имея других опор, кроме двух связей АС и BD. Поэтому, переходя к точке J, допустим, что добавилась новая связь (legame), которая, будучи укреплена в точке H, лежащей на перпендикуляре к отрезку JD, поддерживает в первоначальном состоянии первую и вторую части твердого тела; отсюда вытекает: если не произошло никаких изменений ни в тяжести, ни в положении  {13}  частей твердого тела относительно линии АВ, точка равновесия останется в той же точке G, где она была сначала. Кроме того, поскольку часть твердого тела CS прикрепляется к весам посредством двух связей СА и JH, то нет сомнения в том, что если отрезать эти две связи и добавить одну только связь MK, равноотстоящую от первых двух, то, поскольку под ней и находится центр тяжести твердого тела CS, последнее не сдвинется с места и не переместится, а сохранит то же самое положение относительно линии АН, а если сделать то же самое относительно другой части JF, т. е. обрезать связи HJ и BD и добавить посредине единственный крючок NL, это не приведет, очевидно, ни к каким изменениям положения относительно весов АВ; а так как обе части твердого тела CF — часть CS, подвешенная в М, и часть SD, подвешенная в N, — сохраняют то же положение относительно весов АВ, какое было всегда, то равновесие несомненно установится в той же самой точке G. Теперь, когда станет понятным, каким образом возникают одинаковые моменты и в точке G устанавливается равновесие, если два тела — более тяжелое CS и менее тяжелое SD — подвесить к крайним точкам линии М, для успешного завершения поставленной задачи остается только доказать, что груз CS так относится к грузу SD, как расстояние NG относится к расстоянию GM, а последнее не составит труда сделать. Из того, что линия МН является половиной линии НА, а линия NH — половиной линии НВ, следует, что вся линия MN есть половина всей линии АВ; половиной последней является также линия BG; а из этого очевидно, что обе линии MN и GB равны между собой, и отсюда вытекает, что, если исключить отрезок GN, остаток MG будет равен остатку NB; но линия NH также равна последнему, отсюда: линии MG и NH равны; а если к ним обеим добавить отрезок GH, то окажется, что МН равно GN. Но, как уже было доказано, линия MG равна линии HN; поэтому линия МН так относится к линии НМ, как расстояние NG к расстоянию GM, а МН так относится к HN, как КJ к JL, и двойная С J к двойной JD, т. е., как твердое тело CS относится к твердому телу SD (линии CJ и JD являются высотами твердых тел). Итак, расстояние NC так относится к расстоянию GM, как величина твердого тела CS к величине твердого тела SD, а это, очевидно, то же отношение, которое существует между тяжестями тех же тел.

Мне думается, что из всего сказанного становится совершенно ясно каким образом два неравных тяжелых тела CS и SD, будучи подвешены на расстояниях, обратно пропорциональных их тяжестям, не только уравновешиваются но, более того, in rei natura^* это оказывается тем же, что подвесить на равных расстояниях два равных груза, поскольку тяжесть  {14}  груза CS некоторым образом, мы скажем — виртуально распространяется за опору G, а тяжесть груза SD от той же самой опоры G оттягивается, что может понять любой рассуждающий человек, внимательно изучив все сказанное по поводу данной фигуры. И если тяжести грузов и расстояния, на которых они подвешены, остаются теми же, пусть даже изменятся формы фигур, став сферическими, подобными X и Z, нет сомнения в том, что равновесие сохранится, потому что форма — случайное качество, не могущее изменить тяжесть, которая проистекает скорее от количества. Отсюда делаем общий вывод: оказывается совершенно верным то, что неравные грузы уравновешиваются, будучи подвешены на неравных расстояниях, обратно пропорциональных самим грузам.

Некоторые замечания по поводу сказанного

Показав, как уравниваются моменты неравных грузов, подвешенных на расстояниях, обратно пропорциональных отношению их весов, мне кажется, не следует обходить молчанием и другое сходное и вероятное положение, из которого логически вытекает подтверждение той же истины⁹.

Рассмотрим весы АВ, разделенные на неравные части в точке С, и грузы, подвешенные к точкам А и В, и относящиеся друг к другу, как расстояния ВС и АС; из уже сказанного очевидно, что один груз уравновесит другой, но если к одному из грузов добавить минимальный момент тяжести, он станет опускаться вниз, поднимая второй груз; так, например, если мы добавим неощутимый вес к В, весы придут в движение — точка В опустится в Е, а другой конец весов А поднимется в D. А поскольку, для того чтобы заставить груз В опускаться, достаточно минимально увеличить его вес, то, не принимая в расчет это минимальное увеличение, мы не сможем отличать способность одного груза удерживать другой груз от способности его перемещать. Теперь рассмотрим движение, совершаемое тяжелым телом В, которое опускается в точку Е, а также движение, совершаемое другим телом А, которое поднимается в D; при этом мы, без сомнения, обнаружим, что путь BE во столько раз больше пути AD, во сколько раз расстояние ВС больше расстояния СА¹⁰. Образовавшиеся у центра С два угла DCA и ЕСВ равны, как углы противолежащие, а в результате этого дуги BE и AD подобны и относятся друг к другу, как описывающие их радиусы ВС и СА. Итак, оказывается, что скорость опускающегося тяжелого тела В во столько раз больше скорости  {15}  поднимающегося тела А, во сколько раз тяжесть последнего превосходит тяжесть первого¹¹; а так как груз А нельзя, хотя бы медленно, поднять в точку D, не перенося быстро груз В в точку Е, то нет ничего чудесного и противного основному закону природы в том, что быстрота перемещения тяжелого тела В компенсирует большее сопротивление груза А, пока первый медленно перемещается в D, а другой быстро опускается в Е. С другой стороны, если тяжелое тело А поместить в точку D, а другое тяжелое тело — в точку Е, не будет противоречия в том, что первое, замедленно опускаясь в А, сможет быстро поднять второе в В, восстанавливая своей тяжестью то, что было потеряно из-за замедленности движения. Из этого рассуждения узнаем, что скорость движения оказывается в состоянии увеличить момент в движущемся теле в том же отношении, в котором возрастает сама скорость движения.

Но прежде, чем пойти дальше, необходимо рассмотреть еще один вопрос, касающийся расстояний, на которых подвешиваются грузы, поскольку чрезвычайно важно знать, как согласовываются равные и неравные расстояния, и, вообще как следует их измерять. Представим себе, что к концам прямой линии АВ подвешены два равных груза; если посередине этой линии взять точку С, то над ней установится равновесие, так как расстояние АС равно расстоянию СВ. Но если поднять линию СВ и, вращая вокруг точки С, перенести ее в CD таким образом, чтобы весы оказались расположенными по двум линиям АС и CD, то два равных груза, подвешенные к концам А и D, не будут больше уравновешиваться над точкой С, поскольку расстояние, на котором находится D, уменьшится по сравнению с тем, каким оно было тогда, когда груз находился в точке В. Рассмотрим линии, по которым эти грузы совершали бы свои импето и опускались бы, если бы они могли свободно перемещаться. Это несомненно окажутся линии AC, DF и ВН. Итак, груз, висящий в точке D, совершает импето и момент по линии DF, но когда он висел в точке В, он совершал импето по линии ВН; а так как линия DF находится ближе к опоре С, чем линия ВН, то следует понять из этого, что грузы находятся на равных расстояниях от точки С не только тогда, когда они подвешены в точках А и D, а тогда, когда они располагаются вдоль прямой линии АСВ. И, наконец, надо помнить, что расстояния измеряются при помощи линий, опускаемых под прямыми углами на линии, к которым подвешены грузы и по которым последние перемещались бы, если бы они могли свободно опускаться.

О безмене и рычаге

Поняв из доказанного один из основных принципов, откуда, как из плодотворнейшего источника, берут начало многие механические орудия, мы можем без труда перейти к изучению природы последних.

И сразу же, говоря о безмене, этом весьма распространенном орудии, которым взвешивают различные грузы, удерживая их, даже самые тяжелые, весом маленького противовеса, в просторечьи называемого романо (romano), мы докажем что это представляет собою не что иное, как практическое применение наших умозрений. Итак, представим себе, что опора безмена АВ находится в точке С, от которой на небольшом расстоянии СА подвешен груз D, а на большем расстоянии СВ (оно называется иглой — ago) перемещается взад и вперед противовес Е, и, хотя вес его, по сравнению с весом тяжелого тела, очень мал, он не сможет удалиться от опоры ни на волос от того положения, при котором отношение расстояний FC к СА равно отношению грузов D к Е; а именно в этом случае и устанавливается равновесие, поскольку неравные грузы оказываются подвешенными на расстояниях, обратно пропорциональных их весам.

Это орудие ничем не отличается от так называемой ваги (в просторечье ее называют рычагом, lieve), при помощи которой перемещают, прикладывая малую силу, огромные камни и другие грузы. Способ применения можно понять по приложенному здесь рисунку, где рычагом является палка BCD из дерева или какого-либо другого твердого материала; А — это груз, который нужно поднять, Е — твердая опора, на которую рычаг опирается и по которой он перемещается. Подложив один конец рычага под груз А в точке В, а к другому концу D приложив силу, мы сможем, хотя бы немного, приподнимать груз А всякий раз, когда расстояние ВС будет так относиться к расстоянию CD, как сила, приложенная к точке D, относится к сопротивлению, с которыми тяжелое тело А действует на точку Е. Отсюда ясно: чем больше опора Е приблизится к концу В, увеличивая соотношения между расстояниями ВС и CD, тем больше можно будет уменьшить силу, приложенную в точке D для поднятия груза А.

Здесь остается заметить (то же самое в своем месте будет сказано по поводу всех других механических орудий), что польза, извлекаемая из рычага, состоит вовсе не в том, как в этом убеждают себя большинство  {17}  механиков, чтобы победить и определенным образом обмануть природу, преодолевая при его помощи малой силой огромнейшее сопротивление, так как мы докажем, что и без помощи рычага можно той же силой и в течение того же самого времени добиться того же результата. Возьмем снова тот же самый рычаг BCD, где С — опора, и, положив расстояние CD пятикратным по отношению к СВ, повернем рычаг так, чтобы он занял положение JCG, когда сила пройдет расстояние DJ, а груз переместится из В в G; а так как расстояние DC положили пятикратным по сравнению с расстоянием СВ, то из уже доказанного очевидно, что груз, находящийся в точке В, может быть и в пять раз больше движущей силы, приложенной в точке D. Но, с другой стороны, проследив мысленно путь, совершаемый силой из точки D в точку J за то время, пока груз перемещается из В в G, узнаем, что путь DJ в пять раз больше расстояния ВС; ведь если мы возьмем расстояние CL, равное расстоянию СВ, и приложим в точке L ту же самую силу, которая находилась в точке D, а в точке В поместим только пятую часть находившегося там ранее груза, то нет сомнения в том, что, поскольку сила, приложенная в точке L, равна грузу, находящемуся в точке В, а расстояния CL и СВ также равны, эта сила, будучи перемещаема на отрезке LM, переместит груз, равный себе самой, по другому отрезку ВG, равному LM; и, повторив пять раз то же самое действие, она переместит все части груза в ту же точку G. Но повторить расстояние ML — это не что иное, как измерить один только раз расстояние DJ, пятикратное по сравнению с расстоянием LM. Итак, если силу приложить в точке D, то при перемещении груза из В в G у нас не окажется выигрыша ни в силе, ни во времени, ни в пути по сравнению с тем случаем, когда та же самая сила была приложена в точке L¹². Таким образом, выгода, получаемая из длины рычага CD, в том и заключается, что мы сможем переместить сразу такое тяжелое тело, которое той же самой силой в течение того же самого времени и при помощи равного движения без помощи рычага оказалось бы возможным перенести только по частям.

О лебедке и вороте

Два орудия, природу которых мы собираемся объяснить, прямо связаны с рычагом; больше того, они являются не чем иным, как рычагом непрерывного действия (vette perpetue). Итак, представим себе рычаг ВАС с опорой в точке A и с грузом G, подвешенным в точке В; если в  {18}  точке С приложить силу, то очевидно, что при перемещении рычага в положение DAE груз поднимется по расстоянию BD, но дальше этот подъем продолжать нельзя и если хотят поднять груз выше, его необходимо закрепить какой-либо другой опорой, перевести рычаг в первоначальное положение ВАС и, перехватив груз снова, поднять его еще раз на ту же высоту BD, поступая таким образом много раз, нам удается, прерывая движения, осуществлять подъем груза, что оказывается однако, с многих точек зрения не очень удобным. Это затруднение преодолели, найдя способ такого соединения в как бы бесконечный рычаг, при котором действие осуществлялось бы без единой остановки. Этого и добились, сделав колесо радиуса АВ вокруг центра А и ось вокруг того же центра, радиусом которой служит линия ВА, все это из крепкого дерева или какого-либо другого твердого материала. Все это сооружение закрепляется стержнем, который, будучи установлен в центре А, переходит из одной части в другую и удерживается двумя крепкими подпорками. Если вокруг оси обмотать веревку ВВС и подвесить к ней груз G, а Другую веревку прикрепить к большому колесу и подвесить к ней тяжелое тело J, то станет ясно, что когда расстояние СА будет так относиться к расстоянию АВ, как сам груз G относится к грузу J, груз J сможет удержать груз G, а при малейшем превышении момента переместить его. А так как при вращении оси вместе с колесом веревки, которые удерживают грузы, всегда будут свисать вниз, касаясь внешних окружностей колеса и оси и сохранять при этом прежнее положение относительно расстояний ВА и АС, то движение окажется непрерывным: груз J, опускаясь, заставит груз G подниматься. Заметим здесь, что веревку надо обмотать вокруг колеса таким образом, чтобы груз J свисал по линии, касательной к окружности этого колеса, потому что, если тот же самый груз подвесить в точке J, так чтобы он пересекал колесо по линии FNM, движение нельзя будет осуществить: ведь уменьшится момент груза М, который теперь будет тяготеть не больше, чем груз, подвешенный к точке N, потому что расстояние от точки подвеса до центра А определяется  {19}  перпендикулярно опущенной на веревку FM линией AN, а не радиусом колеса AF, который под неравными углами пересекается линией FM. Итак, когда прилагаем к окружности колеса силу тяжелого неодушевленного тела, не имеющего никакого другого импето, кроме импето опускаться, необходимо, чтобы это тело было подвешено по линии, которая является касательной к колесу, а не секущей. Если к той же самой окружности приложить одушевленную силу, обладающую моментом совершать импето во всех направлениях, то результата можно будет добиться, прикладывая ее к любой точке этой окружности: так, например, если приложить ее в точке F, то груз G поднимем, вращая колесо силой, которая увлечет его не вниз по линии FM, а будет действовать наискось по касательной FL, образующей прямой угол с линией, проведенной из центра А в точку касания; при измерении расстояния от центра А до силы, приложенной в точке F линией AF, перпендикулярной к линии FL, по которой совершается импето, никаких изменений, касающихся формы употребления рычага, не произойдет. Заметим себе, что то же самое можно было бы сделать при помощи неодушевленной силы, если найти способ добиться, чтобы ее момент совершил свое импето в точке F, притягивая по касательной FL; последнего достигают тем, что устраивают под линией FL вращающийся блок и проводят над ним веревку, обернутую вокруг колеса FLX, а на конце веревки подвешивают груз X, равный другому грузу J, который, воздействуя своей силой по линии FL, все время сохраняет от центра А расстояние, равное радиусу колеса. Из уже сказанного сделаем такой вывод: в этом орудии между силой и грузом сохраняется то же самое соотношение, которое существует между радиусом оси и радиусом колеса.

От рассмотренного орудия, которое мы объяснили, по форме мало чем отличается другое, которое назовем воротом; собственно говоря, различие между ними заключается только в способе применения: колесо лебедки установлено и перемещается в вертикальной плоскости, а ворот работает своим приводом параллельно горизонту. Предположим, что над кругом DAE установлена ось цилиндрической формы, вращающаяся около центра В, а вокруг оси обернута веревка DH, привязанная к грузу, чтобы тащить его за собой; если вставить в эту ось жердь FEBD, а к концу F приложить силу, то ли человека, то ли лошади или какого-либо другого животного, способного перемещать грузы, которое будет ходить по кругу FGE, то окажется, что мы сконструировали и построили ворот; так как при круговом движении жердь будет вращать также ось, или ствол (барабан) ворота EAD, то веревка, наматываясь на ось, заставит перемещаться тяжелое тело Н. А так как точка опоры, вокруг которой происходит движение,—это центр В и движущее тело удалено от него на расстояние BF, а оказывающее сопротивление — на расстояние BD, то  {20}  у нас образуется рычаг FBD, в результате чего сила получает момент, равный сопротивлению, всякий раз, когда между силой и сопротивлением устанавливается то же отношение, что и между линиями DB и BF, т. е. между радиусом оси и радиусом окружности, по которой движется сила. И в том и в другом орудии заметим то, о чем неоднократно говорилось ранее: выгода, получаемая от орудия, не в том вовсе, как, заблуждаясь, думают обычно многие механики, чтобы, обманывая природу, можно было преодолевать с помощью машин ее сопротивление, каким большим оно ни было бы, малой силой. Мы же со всей очевидностью покажем, как та же самая сила, помещенная в точку F, в течение того же самого времени, совершая то же самое движение, переместит тот же самый груз на то же самое расстояние без помощи какой-либо машины. Допустим, например, что сопротивление тяжелого тела Н в десять раз больше силы, приложенной в F; тогда для того, чтобы сдвинуть это сопротивление, необходимо, чтобы линия BF была в десять раз больше, чем линия BD, а в результате этого окружность FGC также окажется в десять раз больше окружности EAD. А так как, когда сила переместится один раз по окружности круга FGC, ось EAD, вокруг которой обернута веревка, тянущая груз, также сделает только один оборот, то из этого очевидно, что груз Н передвинется только на десятую часть того пути, который пройдет двигатель. Итак, если силе для перемещения на данном пути при помощи машины сопротивления большего, чем она сама, оказывается необходимым преодолевать это пространство десять раз, то не приходится сомневаться в том, что, разделив этот груз на десять частей, каждая из которых равна движущей силе, можно будет переносить каждый раз по одной части на то расстояние, на которое перемещается сама сила; таким образом, если бы совершить десять перемещений, каждое из которых равно окружности ACD, то оказалось бы, что пройдено не больше, чем в том случае, когда перемещались один только раз по окружности FGC и переносили тот же груз на то же самое расстояние. Итак, выгода, получаемая от этих машин, состоит в том, чтобы перевести весь груз вместе, а вовсе не в том, чтобы сделать это с меньшим трудом или с большей скоростью или на большем пути, чем тот, который та же самая сила смогла проделать, перенося груз по частям.

О полиспасте

Нами были уже объяснены орудия, сущность которых можно свести к весам, а наряду с ними и другие, мало чем от них отличающиеся. Теперь же для понимания того, что следует сказать о природе полиспаста (taglia), оказывается необходимым несколько задуматься над другим способом употребления ваги, что во многом поможет как исследовать полиспаст, так и понять другие механические действия.

Объясненный ранее способ употребления рычага заключается в следующем: к одному концу прилагают груз, а к другому силу, опору же помещают где-нибудь между концами рычага. Но мы можем пользоваться рычагом еще и другим способом, поместив, как это видно из приложенного рисунка, опору на конец А, силу же приложив к концу С, а груз подвесив где-нибудь посередине, в точке В. Ясно, что если при этом способе груз подвесили бы в точке, равноудаленной от обеих конечных точек А и С, например в точке F, то труд (fatica)¹³ по удержанию его оказался бы поровну разделенным между двумя точками А и С так, чтобы половина груза воспринималась силой С, а другая половина удерживалась бы опорою А, Докажем также, что если тяжелое тело подвесить в другом месте, скажем в точке В, то силы, приложенной в точке С, окажется достаточно, чтобы удерживать груз, находящийся в В, каждый раз, когда эта сила будет относиться к грузу, как расстояние АВ относится к расстоянию АС. Чтобы доказать это, представим себе, что линия ВА продолжена до точки G, и допустим, что расстояние ВА равно расстоянию AG, а груз Е, подвешенный в точке G, положим равным грузу в точке D. Из равенства грузов Е и D, а также из равенства расстояний GA и АВ очевидно, что, так как грузы Е и D равны, а также равны расстояния GA и АВ, то момент груза Е уравнит момент груза В и окажется достаточным, чтобы удерживать его. Итак, любая сила, имеющая момент, равный моменту груза Е и могущая удерживать его, окажется достаточной, чтобы удерживать также груз D. Но чтобы удерживать груз E, поместим в точку С такую силу, момент которой так относится к моменту груза Е, как расстояние СА к расстоянию AG, и это окажется достаточным, чтобы удержать его; но та же сила окажется в состоянии удержать и груз D, момент которой уравнивает момент груза Е. Но линия GA так относится к линии АС, как к ней же относится линия АВ, поскольку GA положили равной АВ, а так как грузы Е и D равны, то  {22}  отношения каждого из них к силе, приложенной в точке C, также равны. Итак, доказано, что сила, приложенная в С, уравнивает момент груза D всякий раз, когда между ними существует такое же отношение, как и между расстояниями ВА и СА. При перемещении же груза с помощью таким образом примененного рычага становится понятным, что здесь, как и в других орудиях, выигрывая в силе, столько же теряем в быстроте. Допустим, что сила С поднимает рычаг и переносит его в AJ; при этом груз окажется перемещенным по отрезку ВН, а последний во столько раз меньше пути CJ, пройденного силой, во сколько расстояние АВ меньше расстояния АС, т. е. во сколько раз сама сила меньше груза.

Объяснив эти принципы, перейдем к рассмотрению полиспаста, действие и устройство которого будут объяснены вместе со способом его употребления. Сначала представим себе блок ABC, сделанный из металла или твердого дерева, вращающийся вокруг оси, которая проходит через его центр D, и веревку EABCF, обмотанную вокруг этого блока, к одному концу которой подвешен груз, а к другому приложена сила. Утверждаю, что груз будет удерживаться равной ему силой, а блок ABC ни в какой степени не облегчит ни перемещение груза, ни удерживание его силой, приложенной в F. Ибо если представить, что из центра D, который находится на месте опоры, проведены две линии до окружности блока в точки А и С, где подвешены веревки, касающиеся окружности, то мы получим весы с одинаковыми плечами; а так как радиусы DA и DC, определяющие расстояния от центра и опоры D до точек подвеса грузов, равны, то очевидно, что груз, подвешенный в А, не может удерживаться меньшим грузом, подвешенным в C, а только равным ему, потому что такова природа одинаковых грузов, подвешенных на равных расстояниях, и хотя при перемещении вниз сила F приведет во вращательное движение блок ABC, при этом, однако, не изменится обычное положение и соотношения, в которых груз и сила находятся с двумя расстояниями AD и DC, напротив, вращаемый блок станет рычагом, подобным АС, но весами непрерывного действия. Из всего этого сможем понять, как по-детски обманывался Аристотель, который считал, что, сделав большим блок, он сможет благодаря этому с меньшим трудом поднимать груз¹⁴, ибо рассматривая, как с увеличением блока увеличивается расстояние DC, он не заметил при этом, что в равной степени росло и другое расстояние груза, т. е. другой радиус AD. Таким образом, если иметь в  {23}  виду уменьшение труда, то польза, извлекаемая из такого орудия, равна нулю. Если же кто-либо спросит, почему же для подъема тяжестей, например при черпании воды из колодца, пользуются такого рода приспособлениями, то на это следует ответить, что так поступают потому, что оказывается более удобным сам способ применения и приложения силы, ибо если мы должны тянуть груз сверху вниз, то нам помогает тяжесть собственных рук и других частей тела, а когда нам приходится вытягивать тот же самый груз наверх при помощи простой веревки только силой наших мускулов, т. е., как говорится, силой рук, то, кроме внешнего груза, мы должны поднимать также и тяжесть собственных рук, а на это требуется больше труда. Вот мы и доказали, что этот верхний блок не уменьшает рассматриваемую силу, а только облегчает способ ее приложения.

Но если пользоваться подобной машиной другим способом, как это мы собираемся сейчас объяснить, то мы сможем поднять груз с уменьшением силы. Допустим, что вращающийся вокруг своего центра Е блок BDC помещен в обойму ВВС, к которой подвешен груз G, а вокруг блока пропущена веревка ABDCF; один конец веревки А закреплен за какую-нибудь неподвижную опору, а к другому концу F приложена сила, которая, перемещаясь в направлении Н, поднимает машину, а следовательно, и груз G. Я утверждаю, что при этом действии сила F равна половине груза, удерживаемого ею. Но так как груз удерживается двумя веревками, становится очевидным, что труд равномерно распределяется между силой F и опорой А. С целью более тщательного изучения природы этого орудия проведем диаметр блока ВЕС; мы получим рычаг, посредине которого, т. е. в точке Е подвешено тяжелое тело, на конце В находится опора, а к другому концу С приложена сила.

На основании доказанного ранее, сила будет так же относиться к весу, как расстояние ЕВ относится к расстоянию ВС, т. е. она будет равна половине груза, и, хотя при подъеме силы в направлении Н блок вращается, никогда не меняется соотношение между опорой В и центром Е, от которых зависит груз, и конечной точкой, на которую действует сила: ведь при вращении точки В и C, не изменяя своих свойств, меняются местами, замещая все время одна другую, от чего рычаг ВС и оказывается рычагом постоянного действия. И здесь, как это делалось, когда речь шла о других орудиях,  {24}  и как в дальнейшем всегда будет делаться, нельзя не рассмотреть, каким образом путь, совершаемый силой, оказывается двойным перемещением груза. А именно, когда груз переместится так, что линия ВС попадет своими точками В и С на точки А и F, две равные веревки АВ и FC вытянутся в одну линию FH, и в результате груз поднимется по отрезку ВА, а сила переместится на двойное расстояние, т. е. из F в Н.

Учтем теперь, что сила, приложенная в F, для того чтобы поднять груз, должна перемещаться снизу вверх, что для неодушевленного движущего тела, как более тяжелого, оказывается вообще невозможным, а для одушевленного, если не невозможно, то, во всяком случае, затруднительнее, чем действовать силой сверху вниз. Во избежание этого неудобства найдено, однако, средство, а именно: добавляют второй верхний блок, где, как это видно по приложенному рисунку, веревка CEGF проходит вокруг верхнего блока CF, удерживаемого крюком L, таким образом, что, переводя веревку в Н и перенося, следовательно, силу в Е, окажется возможным, потянув вниз, переместить груз Н. Но сила не должна быть меньше той силы, которая была в Е, поскольку моменты сил Е и H, зависящие от равных расстояний FD и DC от опоры верхнего блока, остаются все время равными, и верхний блок, как это уже было доказано, не дает никакого уменьшения труда. Кроме того, так как после добавления верхнего блока потребовалось ввести крючок В, чтобы удерживать блок, то оказалось удобным удалить другой крючок А, а конец веревки, который к нему прикреплялся, перевести на крючок или кольцо М, приделанное к нижней части обоймы верхнего блока, что, как мы видим, и было сделано. И вот, наконец, перед нами машина, составленная из верхних и нижних блоков, которую греки называли trochlea, а мы по-тоскански называем taglia.

Мы объяснили, как можно при помощи полиспаста удваивать силу. Теперь остается только, как можно более кратко, показать способ увеличивать ее в любое число раз, но сначала поговорим об увеличении в четное число, а потом уже в нечетное число раз. Чтобы показать, как можно увеличить силу четырехкратно, предпошлем последующему, как лемму, такое рассуждение.

Примем АВ и CD за два рычага с опорами на концах А и С и с подвешенным посередине, к точкам Е и F, грузом G, который удерживается  {25}  силами равных моментов, приложенными в В и D. Утверждаю, что момент каждой из них уравнивает момент четвертой части груза G. Если предположить, что груз удерживается обеими силами В и D равномерно, то очевидно, что силе D противостоит только половина

груза G: но если сила D удерживает с помощью рычага DC половину груза C, подвешенного в точке F, то, как это уже было доказано, сама сила D так же относится к удерживаемому ею грузу, как расстояние FC к расстоянию CD, а это отношение равно отношению одного к двум. Отсюда: момент D вдвое меньше момента половины груза, удерживаемого им; из этого вытекает, что он является четвертой частью момента всего груза. Таким же образом то же самое доказывается относительно момента В. И вполне обосновано то, что если груз G удерживается равномерно четырьмя точками A, B, C и D, то каждая из них воспринимает только четвертую часть труда.

Теперь посмотрим, как применить это рассуждение к полиспасту. Представим себе, что груз X подвешен к двум нижним блокам АВ и DE; чтобы удержать всю машину в точке К, обмотаем веревку и вокруг них и вокруг верхнего блока Н по линии IDEHGAB. Утверждаю, что приложив силу в М, можно будет удержать груз X, если сила окажется равна четвертой части груза. Теперь, если мы представим себе два диаметра DE и АВ и груз, подвешенный к средним точкам F и С, то  {26}  получим два рычага, подобные тем, что были уже объяснены, с опорами, соответствующими точкам D и А, поэтому сила, приложенная в точке В, или, если угодно, в М, сможет удержать груз X, будучи четвертой частью последнего. А если прибавим еще один верхний блок, то, переводя веревку в MON и перенося силу М в N, сможем удерживать тот груз силою тяжести, направленной вниз, так как верхний блок, что было уже доказано, не увеличивает и не уменьшает силу. Заметим себе также, что, для того чтобы поднять груз, силе надо пройти четыре веревки ВМ, EH, DJ и AG; итак: пока движущее тело будет проходить длину четырех веревок, груз при этом переместится на длину только одной из них. Все это говорится в подтверждение того, что уже много раз говорилось, а именно: труд по перемещению уменьшается в том же отношении, в котором увеличивается длина пути.

Но если мы захотим увеличить силу в шестикратной пропорции, окажется необходимо к нижнему полиспасту добавить еще один блок. Чтобы в этом лучше разобраться, начнем со следующего рассуждения. Предположим, что АВ, CD и EF — три рычага, к срединам которых, к точкам Н и J, подвешен общий груз H, а к конечным точкам В, D и F приложены три равные силы (potenze), которые удерживают груз К; таким образом, каждая из них будет удерживать третью часть груза К. Поэтому та сила, которая приложена в точке В, удерживая рычагом ВА груз, подвешенный в G, окажется равной половине самого груза и, как уже говорилось, будет удерживать третью часть груза K.

Следовательно, момент силы В равен половине третьей части груза К, т. е. одной шестой его. То же самое докажем для других сил D и F. Теперь легко понять, каким образом, поместив в нижнем полиспасте три блока, а в верхнем два или три других, можем увеличить силу шестикратно. Если же хотят увеличить ее в какое-либо четное число раз, то увеличивают количество блоков нижнего полиспаста на половину того числа, пропорционально которому должна расти сила, и привязывают к полиспасту веревку, один конец которой прикрепляют к верхнему полиспасту, а к другому прикладывают силу, как это понятно из приложенного рисунка.

Переходя теперь к объяснению способа увеличения силы в нечетное число раз, начнем с трехкратного увеличения, и сперва изложим следующие соображения, на которых основано понимание всего дальнейшего. Пусть АВ — это рычаг с опорой в точке A, к середине его в точке С  {27}  подвешен груз D, удерживаемый двумя равными силами, одна из которых приложена в точке С, а другая к концу В; утверждаю, что момент каждой из этих сил равен третьей части груза D. Допустим, что сила, находящаяся в точке С, удерживает груз, равный себе самой, так как она приложена к той же самой линии, к которой подвешен и по которой тяготеет груз D; но сила, находящаяся в точке B, удерживает часть груза D, вдвое большую, чем она сама, так как ее расстояние от опоры A, т. е. линия ВА, вдвое больше, чем расстояние АС, на котором подвешено тяжелое тело, но поскольку предполагается, что две силы С и В равны, то часть груза D, удерживаемая силой B, вдвое больше той части, которую удерживает сила C. Таким образом, если тяжелое тело D разделить на две части, одна из которых вдвое больше другой, большая часть будет удерживаться силой В, а меньшая — силой С; но эта меньшая сила равна третьей части груза D; итак, момент силы С равен моменту третьей части груза D, вследствие чего последний оказывается равным силе В, поскольку мы предположили, что она равна другой силе С. Отсюда очевидно наше намерение, заключавшееся в том, чтобы доказать, как каждая из двух сил С и В уравновешивается третьей частью груза D.

Доказав это, перейдем к полиспасту и, описав нижний блок АСВ, вращающийся вокруг центра G, с подвешенным к нему грузом H, отметим второй, верхний блок. Обернем вокруг обоих веревку DFEACBJ, закрепив один конец ее D за нижний полиспаст, а к другому концу J, приложив силу, которая, я утверждаю это, удерживая и перемещая груз H, будет ощущать только третью часть его тяжести. И вот, рассматривая устройство такой машины, увидим, что диаметр АВ заменяет рычаг, к одному концу которого приложена сила J, а другой конец А служит опорой, посредине же находится тяжелое тело H, и здесь же приложена другая сила D; таким образом, сам груз закреплен тремя веревками JB, FD и ЕА, которые  {28}  удерживают его равным трудом (con eguale fatica). Теперь из всего того, что было рассмотрено, вытекает: поскольку две силы — одна, приложенная к середине рычага АВ, а другая — к концу его В, оказались равны, то очевидно, что каждая из них будет воспринимать только третью часть груза Н; следовательно, если сила J имеет момент, равный третьей части груза H, она сможет его удерживать и перемещать. Однако путь, пройденный силой J, будет в три раза больше пути груза, так как сила должна пройти длину трех веревок JB, FD и ЕА, а груз только одну из них.

О винте

Мне думается, что из всех орудий, созданных для равных целей человеческой изобретательностью, первое место по замыслу и по полезности должно принадлежать винту; он искусно приспособлен не только для того, чтобы перемещать, но и для того, чтобы удерживать и с огромной силой сжимать; к тому же винт устроен так, что, занимая ничтожнейшее место, он совершает действия, возможные для других орудий только в том случае, если они превращены в большие машины. Итак, являясь великолепнейшим и полезнейшим изобретением, винт заслуживает того, чтобы мы потрудились над наиболее ясным объяснением его происхождения и природы; а для этого начнем с рассуждения, которое хотя и покажется, на первый взгляд, несколько далеким от рассматриваемого орудия, тем не менее является его основанием.

Нет ни малейшего сомнения, что основное естественное свойство движения тяжелых тел состоит в том, что любое тяжелое тело, будучи свободным, стремится двигаться по направлению к центру не только по перпендикулярной линии (к горизонту), но, если иначе невозможно, то и по любой другой, которая, имея небольшой наклон к центру, идет постепенно опускаясь. Так, например, мы видим, что вода, находящаяся на какой-либо возвышенности, не только падает по перпендикуляру вниз, но и растекается по поверхности земли вдоль линий, имеющих хотя бы самый незначительный наклон; как это и наблюдается стечением рек, воды которых, поскольку ложа их несколько наклонны, свободно стекают вниз. То же самое явление, как оно наблюдается у жидких тел, также проявлялось бы и у твердых, если бы только их формы и другие случайные  {29}  и внешние помехи не препятствовали бы этому. Так что имей мы очень чистую и отполированную поверхность, такую, скажем, как поверхность зеркала или абсолютно круглого и гладкого шара из мрамора, стекла или из какого-либо другого подобного им, пригодного для полирования материала, то твердое тело, помещенное на эту поверхность, если только у нее есть небольшой, даже минимальный уклон, пришло бы в движение и остановилось бы только у такой поверхности, которая оказалась бы точнейшим образом выравненной и равноотстоящей от плоскости горизонта. Такой поверхностью могла бы быть, например, поверхность замерзшего озера или пруда, на котором сферическое тело оставалось бы неподвижным, но со склонностью быть приведенным в движение любой малейшей силой. Итак, мы поняли, что имей эта плоскость (piano) уклон, хотя бы даже на волос, шар самопроизвольно устремился бы в сторону уклона, а с другой стороны, наоборот, обладай он сопротивлением, его нельзя было бы сдвинуть с места в сторону отлогой или наклонной части, не применяя усилия; отсюда с необходимостью следует, что на тщательно выравненной поверхности этот шар будет оставаться как бы безразличным и как бы в сомнении между покоем и движением, но любой малейшей силы может оказаться достаточно, чтобы привести его в движение, и, наоборот, малейшее сопротивление, даже сопротивление воздуха, сможет удержать его в неподвижном состоянии.

Теперь, как заключение, вытекает следующая, не подлежащая сомнению, аксиома: тяжелые тела, если удалить все внешние и случайные помехи, могут быть перемещаемы в плоскости горизонта любой самой незначительной силой¹⁵. Но когда то же самое тяжелое тело нужно втолкнуть по восходящей плоскости, то, поскольку оно противодействует подобному подъему (имея стремление к противоположному движению), постольку потребуется большее усилие, и оно будет тем больше, чем больше подъем этой плоскости. Так, например, если перемещаемое тело установить на параллельной горизонту линии АВ, оно будет находиться, как мы уже об этом говорили, в безразличном состоянии относительно движения или покоя, и малейшая сила сможет сдвинуть его; но если у нас будут восходящие плоскости AC, AD и АЕ, то тело по ним можно будет втолкнуть только с применением усилия, которое для перемещения по линии AD окажется большим, чем по линии АС, а для перемещения  {30}  по линии АЕ еще большим, чем по линии AD; это происходит оттого, что импето тела опускаться вниз по линии ЕА больше, чем по линии DA, а по линии DA больше, чем по линии СА. Итак, мы можем закончить следующим: тяжелые тела (corpi gravi) будут оказывать большее сопротивление своему перемещению на различных наклонных плоскостях в зависимости от того, какая из них наклонена больше или меньше; и, наконец, наибольшее сопротивление будет у того же тела, поднимаемого вверх по перпендикуляру AF. Но для того, чтобы мы смогли понять до конца все то, что еще остается сказать, будет необходимо, прежде чем следовать дальше, точно выяснить, как сила должна относиться к грузу, чтобы вталкивать его на плоскости с различными наклонами.

Итак, опустив перпендикуляры СН, DJ и ЕК из точек С, D и Е на горизонтальную линию АВ, докажем, что тот же самый груз перемещается по наклонной плоскости АС, движимый меньшей силой, чем по перпендикуляру AF (где он оказывается поднятым силой, равной ему самому), и сила эта меньше в том соотношении, в каком сама линия АС меньше перпендикуляра AFJ; а на плоскости AD сила так же относится к грузу, как перпендикуляр JD к DA, и, наконец, на плоскости АЕ сила и груз сохраняют между собой то же отношение, которое имеется между линиями ЕК и АЕ.

Рассуждать таким образом пытался еще Папп Александрийский в 8-й книге своих «Математических собраний»; но, по моему мнению, он не достиг цели, а запутался в им же выдвинутом положении, когда допустил, что груз должен перемещаться в горизонтальной плоскости при помощи определенной силы¹⁶, а это неверно, поскольку не требуется ощутимой силы (если отбросить случайные помехи, которые теоретически не принимаются в расчет) для перемещения данного груза в горизонтальном направлении; так что напрасно было затем искать, какой силой груз перемещается по наклонной плоскости. Поэтому вернее будет искать, какой должна быть сила, которая перемещает груз по наклонной плоскости, если дана сила, которая перемещает груз по перпендикуляру вверх и которая равна его тяжести; именно это мы и попытаемся сделать, но наш подход отличен от подхода Паппа.

Итак, допустим, что у нас имеется круг AJC, в нем диаметр ABC и центр В, а на концах А и С два груза с одинаковыми моментами. Поскольку линия АС является как бы рычагом или весами, вращающимися вокруг центра В, груз С будет удерживаться грузом А. Но если мы представим себе, что плечо весов ВС наклонено вниз по линии ВР таким образом, что обе линии АВ и BF устойчиво соединяются в точке В, то момент груза С не будет равен моменту груза А, так как уменьшилось расстояние точки F от линии направления, которая проходит от опоры В, вдоль ВJ, к центру Земли. Но если мы опустим из точки F перпендикуляр  {31}  на ВС, а таковым перпендикуляром является FK, то момент груза в точке F будет таким, каким он был бы, если бы груз был подвешен по линии KB, и насколько уменьшится расстояние KB по сравнению с расстоянием ВА, настолько же уменьшится момент груза в F по сравнению с моментом груза в А. Таким же образом, если груз наклонить еще больше, по линии BL, его момент начнет уменьшаться и станет таким, словно груз подвешен на расстоянии ВМ по линии ML; груз же в точке L можно удерживать грузом, помещенным в А, который настолько меньше его, насколько расстояние ВА больше, чем расстояние ВМ. Итак, видим, как у груза, находящегося на конце наклоненной вниз по окружности CFLJ линии ВС, момент и импето падать постепенно уменьшаются, будучи все больше и больше удерживаемы линиями BF и BL. Но, рассмотрев это тяжелое тело, которое, опускаясь то больше, то меньше, поддерживается радиусами BF и BL и принуждается к перемещению по окружности CFLJ, увидим, что это то же, что представить себе поверхность, также выгнутую, как окружность CFLJ, и подложенную под то же самое движущееся тело таким образом, чтобы, опираясь на нее, оно (тело) было бы вынуждено спускаться по ней. Словом, если движущееся тело должно тем или иным способом совершать тот же путь, то совершенно неважно, будет ли оно подвешено в центре В и удерживаемо радиусом круга, или же эта опора будет удалена, и оно будет опираться и перемещаться по окружности CFLJ. Теперь можем, не сомневаясь, утверждать, что, когда тяжелое тело опускается вниз из точки С по окружности CFLJ, то в начальной точке С его момент опускаться является полным и цельным, так как оно нисколько не удерживается окружностью и не имеет никакого стремления к движению, отличному от того, которое оно свободно совершало бы по перпендикуляру и касательной DCE. Но если движущееся тело будет помещено в точку F, то из-за кругового пути, по которому оно движется, его тяжесть окажется отчасти удержанной, а его момент опускаться вниз уменьшится в том же отношении, в котором линия ВС превосходит линию ВК. Но когда движущееся тело находится в начальной точке своего движения, в точке F¹⁷, то оно как бы  {32}  находится на плоскости, наклоненной по касательной линии GFH, так как наклон окружности в точке F отличается от наклона касательной FG разве только неощутимым углом соприкасания. Таким же образом найдем, что в точке L момент движущегося тела во столько раз уменьшится, во сколько раз линия ВМ уменьшится по сравнению с линией ВС; так что на плоскости NLO, касательной к окружности в точке L, момент опускаться вниз у движущегося тела будет уменьшаться в той же самой пропорции. Итак, если на плоскости НС момент находящегося в движении тела уменьшается по сравнению с его полным импето, который оно имеет на перпендикуляре DCE, в том же отношении, какое имеется между линией KB и линиями ВС и BF, то, поскольку из-за подобия треугольников KBF и KFH между линиями KF и FH существует то же отношение, что и между линиями KB и BF, заключаем из этого: общий и абсолютный момент, который движущееся тело имеет на перпендикуляре к горизонту, и тот, который оно имеет на наклонной плоскости HF, так относятся друг к другу, как линия HF к линии FK, т. е. как длина наклонной плоскости относится к перпендикуляру, который из нее же был опущен на линию горизонта. Перейдя к более определенному построению, каким и является приложенный рисунок, увидим, что момент опускаться у тела, движущегося по наклонной плоскости FH, так относится к полному моменту, с которым оно (тело) тяготеет по перпендикулярной к горизонту линии FK, как сама линия KF относится к линии FH. А если это так, то становится очевидным, что, поскольку сила, которая удерживает груз на перпендикуляре FK, должна быть равной грузу, то для того чтобы удержать груз на наклонной плоскости FH, достаточно силы во столько раз меньшей, во сколько перпендикуляр FK меньше линии FH. И поскольку, как уже неоднократно упоминалось, для перемещения груза достаточно силы, которая лишь незначительно превосходит ту силу, которая удерживает этот груз, то сделаем общий вывод: между силой и грузом на наклонной плоскости существует такое же отношение, что и между перпендикуляром, проведенным из конечной точки плоскости к горизонту, и длиной самой плоскости¹⁸.  {33} 

Вернувшись теперь к нашему первому заданию — к исследованию природы винта, рассмотрим треугольник АСВ, в котором линия АВ горизонтальная, ВС — перпендикуляр к ней, а АС — наклонная плоскость, по которой движущееся тело тащат силой настолько меньшей, чем оно само, насколько линия ВС короче, чем линия СА. Но поднять тот же самый груз на ту же самую плоскость АС, когда треугольник остается неподвижным, а груз D перемещается в направлении С, это то же, что передвинуть треугольник в направлении Н, не сдвигая самого груза с перпендикуляра АЕ потому, что когда треугольник займет положение FH, движущееся тело поднимется на высоту AJ. И вот, наконец: формой и первоначальной сущностью винта и является именно такой треугольник АСВ, который, проталкиваемый вперед, проникает под тяжелое тело, которое нужно поднять, и поднимает его, как говорится, себе на голову. Таково первоначальное происхождение винта и, кто бы ни был его изобретатель, он, рассмотрев, каким образом треугольник ABC, продвигаясь вперед, поднимает груз D, смог сделать из какого-то твердого материала подобное этому треугольнику орудие, которое, будучи подталкиваемо, поднимало бы предложенный груз; но поразмыслив потом, как сделать такую машину небольшой и придать ей удобную форму, он взял тот же самый треугольник и обернул его вокруг цилиндра ABCD таким образом, чтобы высота этого треугольника, т. е. линия СВ, стала высотой цилиндра, а восходящая плоскость образовала бы на этом цилиндре спираль, обозначенную как линия AEFGH, которую в просторечьи называют червем винта; в этом варианте и родилось орудие, которое греки называли coclea, а мы называем винтом, и которое, вращаясь, попадает своим червем под груз и легко его поднимает. А поскольку мы уже доказали, что на наклонной плоскости сила и груз так относятся как высота этой плоскости к длине самой плоскости, то понятно, что сила винта ABCD увеличивается в том отношении, в каком длина всего червя AEFGH превосходит высоту СВ; из этого становится понятно, как, делая винт с более частыми спиралями, удается сделать его ловчее, ибо он образуется плоскостью менее наклонной, длина которой в большей пропорции превосходит высоту. Нам остается разве только обратить еще внимание на  {34}  то, что, желая узнать силу винта, вовсе не обязательно измерять длину всего винта и длину всего цилиндра, а достаточно определить, сколько раз расстояние между двумя смежными пределами уложится в одном обороте того же червя; так, например, сколько раз расстояние AF уложится в длине оборота AEF, поскольку это то же самое отношение, какое имеет вся длина СВ к длине всего червя.

Насколько понятно все то, что мы до сих пор объясняли относительно природы этого орудия, настолько же, я совершенно не сомневаюсь в этом, будут понятны и все другие обстоятельства: как, например, почему вместо того, чтобы заставить груз подниматься на винте, к последнему для удобства приспособили гайку с выдолбленной спиралью, входя в которую болт, т. е. червяк винта, будучи повернутым вокруг оси, перемещает и поднимает гайку вместе с прикрепленным к ней грузом. Наконец, не следует обходить молчанием и то соображение, которое мы предпослали с самого начала как необходимое для всех механических орудий: т. е. насколько посредством их выигрывают в силе, настолько же проигрывают во времени и в быстроте. Возможно, что кто-нибудь решит на основании настоящего рассуждения, что это положение не верно и не очевидно, так как может показаться, что здесь имеет место увеличение силы, а двигатель совершает тот же путь, который проделало движущееся тело. Поэтому давайте примем в треугольнике ABC линию АВ за плоскость горизонта, а линию АС за наклонную плоскость, высота которой измеряется перпендикуляром СВ; находящееся в движении тело помещено на плоскость АС и к нему привязана веревка EDF и к точке F приложена сила или груз, который так относится к тяжести тела Е, как линия ВС к линии СА. Из того, что было доказано, очевидно, что груз F будет опускаться вниз, увлекая по наклонной плоскости движущееся тело Е; при этом груз F, падая вниз, не пройдет большее расстояние, чем проходит движущееся тело Е на линии АC. Но заметим, что хотя движущееся тело Е и проходит всю линию АС за тоже время, в течение которого другое тяжелое тело F опускается на равный промежуток, тем не менее тяжелое тело Е не удаляется от общего центра тяжелых вещей на расстояние большее, чем перпендикуляр СВ. Итак, тяжелое тело F, опускаясь по перпендикуляру, опустится на пространство, равное всей линии АС. Но так как тяжелые тела не оказывают сопротивления поперечным движениям, а если показывают,  {35}  то только в том отношении, в котором они в результате этих движений удаляются от центра Земли,¹⁹ то, поскольку движущееся тело Е при своем движении по линии АС будет поднято на расстояние не большее, чем линия СВ, а другое тело F будет опущено по перпендикуляру на всю длину АС, можно с полным правом сказать, что путь силы F так относится к пути силы Е, как линия АС относится к линии СВ, т. е. как груз Е к грузу F. Поэтому чрезвычайно важно следить за тем, по каким линиям осуществляется движение, и это особенно важно тогда, когда речь идет о неодушевленных тяжелых телах, у которых моменты имеют свою полную силу и целое сопротивление на линиях, перпендикулярных к горизонту, а на других линиях, поперечно поднимающихся или опускающихся, используется только большая или меньшая часть мощи, импето и сопротивления, в зависимости от того, насколько эта наклонная линия больше или меньше отклоняется от перпендикуляра.

О водяной улитке Архимеда

Мне думается, что именно здесь не следует обходить молчанием изобретение Архимеда, применившего винт для подъема воды, что не только великолепно, но просто чудесно, поскольку мы увидим, что вода поднимается в винте, беспрерывно опускаясь. Но прежде чем переходить к другому, объясним, каким образом можно заставить винт поднимать воду. Рассмотрим приложенный рисунок, где вокруг колонны MJKH обернута линия JLOFQRSH, являющаяся каналом, по которому течет вода. Если мы опустим конец J в воду и, наклонив при этом винт, как это видно из чертежа, начнем вращать его вокруг двух опор Т и V, то увидим, что вода потечет по каналу, чтобы начать выливаться из отверстия Н. Утверждаю теперь, что вода, проходя из точки J в точку Н, идет, все время опускаясь, хотя точка Н расположена более высоко, чем точка J. Что это именно так, объясним следующим образом. Начертим треугольник АСВ, которым образован винт JH, так, чтобы канал винта был  {36}  представлен линией АС, спуск и подъем которой определяются углом САБ; т. е. если этот угол равен третьей или четвертой части прямого угла, то подъем канала АС пойдет по третьей или четвертой части прямого угла. И, очевидно, подъем самого канала АС окажется сведенным на нет, если опустить точку С до точки В, так как в этом случае канал АС не будет иметь никакого подъема; а опуская точку С немного ниже точки В, увидим, что вода, естественно, потечет по каналу АС вниз от точки А по направлению к точке С. Итак, заключаем, что, если угол А является

третьей частью прямого, то подъем канала АС оказывается сведенным на нет в том случае, когда часть С опускают на третью часть прямого угла.

Теперь, когда все это понятно, обернем треугольник вокруг колонны и сделаем винт BAEFGHJD, который, если его поставить вертикально с концом В, опущенным в воду, и повернуть вокруг оси, не будет поднимать воду, потому что канал, идущий вокруг колонны, приподнят, как это видно по части ВА. Но если колонна стоит вертикально, подъем вдоль винта, который обернут вокруг колонны, не будет из-за этого больше одной трети прямого угла, поскольку он вызывается подъемом канала АС. Если же колонну наклонить на одну третью этого прямого угла и еще немного (см. JKHM), то перегонка и движение (воды) будут происходить по каналу не на подъеме, а на спуске, как это видно уже в случае с каналом JL. Итак, вода из точки J в точку L перемещается, опускаясь, а при вращении винта вокруг оси различные части его, последовательно замещая одна другую, будут находиться по отношению к воде все время в таком же положении, в каком находится участок JL; поэтому вода начнет постепенно  {37}  опускаться, но в конце концов окажется, что она поднялась из точки J в точку Н. Насколько это великолепно, предоставлю решать тем, кто это до конца поймет. А из сказанного мы видим, что для того, чтобы при помощи винта поднимать воду, необходимо наклонять его немного больше, чем на величину угла треугольника, которым описывается сам винт.

О силе удара

Исследовать, в чем причина силы удара, оказывается крайне необходимо по многим поводам. А прежде всего потому, что при ударе проявляется гораздо больше удивительного, чем это заметно в каком-либо другом механическом орудии. Ведь ударяя по гвоздю, чтобы загнать его в крепчайшее дерево, или по колу, который должен войти в достаточно твердую землю, видим, как силой только удара и первый и второй продвигаются вперед, а без удара, если просто поместить на них молот, они не будут перемещаться даже в том случае, если сверху положить еще груз во много раз более тяжелый, чем сам молот: явление поистине чудесное, и оно еще более заслуживает размышлений потому, что, по моему мнению, из всех тех, кто до сих пор философствовал по этому поводу, никто не сказал ничего, что достигло бы цели, а это мы и можем принять за бесспорнейший довод и доказательство сложности и трудности таких умозрений. Что до Аристотеля и других, которым хотелось причину этого чудесного явления свести к длине ручки или рукоятки молота, то, как мне кажется, слабость их умозрений можно открыть без долгих слов, если исходить из действия инструментов, которые, не имея ручки, наносят удар, падая сверху вниз или же будучи быстро загоняемы поперечным толчком. Поэтому, желая найти истину касательно этого явления, следует прибегнуть к другому принципу. И, хотя само явление по своей природе еще настолько темно и трудно для объяснения, попытаемся сделать его очевидным и понятным, доказав, наконец, что первопричина и начало его происходят из того же источника, из которого проистекают причины других механических действий.

Мы достигнем этого, если выявим здесь то, что было обнаружено и при других механических действиях, т. е. что сила, сопротивление и пространство, па котором происходит движение, взаимно зависят друг от друга по закону, что сопротивление, равное силе, будет этой силой перемещено на такое пространство и с такой быстротой, которые равны пространству и быстроте, с которыми перемещается сама сила. Сила же, наполовину меньшая своего сопротивления, сможет его переместить, но будет перемещать его с удвоенной быстротой или же по пути, вдвое большем, чем путь, пройденный сопротивлением. В результате, как это мы  {38}  видели и во всех других орудиях, оказывается возможным перемещать сопротивление любой величины любой заданной малой силой, лишь бы пространство, по которому эта сила перемещается, так бы относилось к пространству, по которому перемещается сопротивление, как большое сопротивление относится к малой силе, а так и должно быть по необходимому устройству природы. И вот, рассуждая и аргументируя от обратного, подумаем, в чем же будет заключаться чудо, если та же сила, которая перемещает на большой промежуток малое сопротивление, протолкнет на сотую часть этого промежутка сопротивление в сто раз большее? Ни в чем, конечно; наоборот, если бы было иначе, это было бы не только абсурдно, но и невозможно.

Итак, рассмотрим, каково сопротивление перемещению у молота в точке, откуда он ударяет, и как далеко он был бы отброшен полученной силой, если бы не ударил, а кроме этого, чему равно сопротивление к перемещению у того (тела), по которому молот ударяет, и как далеко оно перемещается при одном ударе. А когда мы найдем, что это большое сопротивление окажется перемещенным при одном ударе настолько меньше, чем переместился бы сам молот, движимый импето, насколько это большое сопротивление больше сопротивления молота, то мы перестанем удивляться по поводу действия, которое ни в чем не выходит за пределы естественного устройства и того, что говорилось. Добавим еще для большего понимания частный пример. Пусть молот, имеющий четыре доли сопротивления, окажется перемещенным такой силой, что если освободиться от нее в пределах, где происходит удар, то он (молот) отлетит, в случае отсутствия препятствий, на расстояние десяти шагов. А если в этих пределах положить бревно, сопротивление движению у которого равна четырем тысячам, т. е. в тысячу раз больше сопротивления молота, [но оно (бревно) не несдвигаемо, так как его сопротивление превосходит сопротивление молота не беспредельно], то при ударе по бревну, оно окажется перемещенным, но только на тысячную часть десяти шагов, на которые бы переместился сам молот. Итак, ведя рассуждение в порядке, обратном тому, как мы рассуждали по поводу других механических действий, мы сможем исследовать причину силы удара.

Знаю, что для некоторых здесь родятся трудности и помехи, которые, однако, устранимы малым усилием, и которые мы охотно отнесем к тем механическим проблемам, что добавятся к концу этого рассуждения²⁰.

ПЕРЕВОД
А. Н. ДОЛГОВОЙ и С. Н. ДОЛГОВА

Т

ак как я знаю, светлейший князь, что опубликование настоящего трактата, который столь противоречит по выводам тому, что думают многие, и который, согласно намерению, выраженному мною в «Астрономическом вестнике»¹, я давно уже должен был выпустить в свет, может дать повод к заключению, что я либо вовсе перестал заниматься новыми небесными наблюдениями, либо посвящаю им слишком мало времени,— я счел необходимым объяснить причину, побудившую меня оторваться от астрономии и написать и издать этот трактат.

Что касается астрономии, то не столько последние открытия, касающиеся состоящего из трех тел Сатурна² и изменений фигуры Венеры, подобных тем, которые наблюдаются с Луною, вместе с последствиями, отсюда вытекающими, задержали меня, сколько определение времени обращения каждой из четырех планет Медичи вокруг Юпитера, чем я занимался в апреле прошлого, 1611 года, находясь в Риме. Здесь я окончательно убедился, что планета, ближайшая к Юпитеру, проходит в час 8 градусов 29 минут своей орбиты, совершая полное обращение в один день и 18¹/₂ часов, приблизительно; вторая проходит в час около 4 градусов 13 минут своей орбиты и совершает полное обращение в 3 дня и 13¹/₂ часов, приблизительно; третья проходит в час около 2 градусов 6 минут своей орбиты и полный круг — в 7 дней и 4 часа, приблизительно; наконец, четвертая и самая  {42}  отдаленная проходит в каждый час 0 градусов 54¹/₂ минуты, приблизительно, и делает полный круг в 16 дней и 18 часов, приблизительно.

Так как большая скорость обращения планет требует строжайшей точности для вычисления положения их в прошлом и будущем, особенно, если дело идет о многих месяцах и годах, то мне пришлось посредством других более тщательных наблюдений, относящихся к большим промежуткам времени, исправить таблицы движений и привести их к кратчайшим периодам. Моих первоначальных наблюдений было недостаточно для получения надлежащей точности как вследствие их кратковременности, так и потому, что я тогда еще не нашел способа измерять посредством инструмента расстояние между этими планетами и отмечал эти промежутки простым отношением к диаметру тела Юпитера, как говорится, на глаз. Такой способ хотя и не допускает ошибки, превышающей одну минуту, недостаточно точен для вычислений при значительной величине сфер этих звезд. Но теперь, когда я нашел способ производить измерения без ошибки и на единую секунду, я буду продолжать свои наблюдения до кончания видимости Юпитера. Эти наблюдения должны будут иметь большое значение для наших познаний о движении этих планет, размерах их орбит и некоторых вытекающих отсюда следствиях. Попутно с этим я обратил внимание на темные пятна, появляющиеся на солнечном диске; они, меняя свое положение на нем, указывают или на то, что Солнце обращается вокруг своей оси, или что другие звезды, подобные Венере и Меркурию, обращаются вокруг него, видимые по своим малым, менее Меркурия, размерам, только в том положении, когда они становятся между Солнцем и нашим глазом. Разрешение вопроса, какое из этих предположений является истинным, не может не иметь значения, и им не следует пренебрегать.

Продолжительные наблюдения убедили меня в том, что эти пятна суть вещество, связанное с поверхностью солнечного тела; они то появляются на ней в большом количестве, то расплываются, одни — быстрее, другие — медленнее, перемещаясь вместе с обращением Солнца вокруг своей оси, что совершается приблизительно в один лунный месяц,— явление, само по себе весьма значительное и еще более важное по своим последствиям³.

Что касается предлагаемого трактата, поводом для которого послужил происходивший несколько времени назад диспут с некоторыми учеными нашего города, и последовавшие затем, как известно вашей светлости, неоднократные споры, то написать его побудили меня многие причины. Самой главной было указание вашей светлости на то, что письменное изложение представляет единственный способ научить различать истинное от ложного, действительные причины от кажущихся; способ несравненно лучший, нежели словесный спор, при котором тот или другой, а чаще оба диспутанта, чрезмерно увлекаясь и от увлечения возвышая голос, не слушают друг друга, упорно не желая ни в чем уступить один другому и переходят к  {43}  новым вопросам, отдаляясь от первоначальных положений и ставя в тупик как себя, так и слушателей.

Притом я полагал, что мне надлежит осведомить вашу светлость о том, как обсуждался данный вопрос во всей полноте, и как до того он трактовался другими, а также — почему доктрина, которой я следую в своем рассуждении, отличается от учения Аристотеля и его принципов; я полагаю, что лучше пером, нежели устно высказать свое мнение, противное авторитету этого великого мужа, авторитету, который многих заставляет относиться с недоверием ко всему, что выходит не из школы перипатетиков; поэтому я и решился написать настоящее рассуждение, в котором надеюсь показать, что я часто расхожусь с Аристотелем во взглядах и не по прихоти и не потому, что я не читал или не понял его, но в силу убедительных доказательств. Сам Аристотель научил меня удовлетворять свой разум только тем, в чем убеждают меня рассуждения, а не только авторитет учителя; совершенно правильно изречение Алкиноя⁴, что философствование хочет быть свободным. По моему мнению, правильное разрешение вопроса, зависит ли от формы предметов то, что одни из них погружаются в воду а другие нет, было бы небесполезно и для постройки мостов или иных сооружений над водами.

Итак, я говорю: прошлым летом на собеседовании с учеными было высказано положение, что сжатие есть свойство охлаждения, и, как пример этому, приводится лед. Тогда я сказал, что лед можно считать скорее разреженной, чем сгущенной водой, так как сжатие или конденсация подразумевают уменьшение объема и увеличение тяжести, а разрежение вызывает большую легкость и увеличение объема, вода же именно при замерзании увеличивается в объеме, и образовавшийся лед легче воды и держится на ее поверхности. Сказанное согласуется с тем, что доказал Архимед в своей книге I о телах, находящихся в воде, т. е. что при вычитании веса объема среды из общего веса тела, чем более увеличивается объем тела, тем более увеличивается и вычитаемый вес среды, взятой в том же объеме, и, наоборот, последний становится тем меньше, чем более тело при конденсации сжимается, принимая меньший объем.

Мне возражали, что это происходит не от большей легкости, но от широкой и плоской формы образующегося льда, который не может преодолеть сопротивления воды и потому плавает. Я отвечал, что всякий кусок льда какой угодно формы остается над водой — видимое доказательство того, что плоскость и ширина не играют никакой роли в его нахождении на поверхности; я прибавил, что еще более яркое доказательство этому — немедленное всплывание на поверхность льда, какой бы плоской формы кусок его мы ни опустили на дно; это было бы невозможно, если бы лед действительно был тяжелее воды, и его нахождение на поверхности обусловливалось формою, неспособной преодолеть сопротивление воды. Из сего  {44}  заключаю, что нахождение тела на поверхности или на дне никоим образом не зависит от формы, но от большей или меньшей тяжести относительно воды, почему все тела тяжелее воды, безразличия формы, опускаются на дно, а более легкие, также всякой формы, непременно остаются на поверхности. Полагаю, что те, кто думают иначе, вывели свое заключение из того, что различие в форме весьма влияет на быстроту или медленность движения, так что тела формы широкой и плоской погружаются значительно медленнее, чем тела того же вещества, но формы более сжатой; отсюда кто-нибудь может заключить, что расширение формы может быть доведено до такой степени, что не только замедлит, но и совсем прекратит движение; это я признаю ложным. Споры относительно этого положения велись в продолжение многих дней, причем были произведены различные опыты, некоторые из которых ваша светлость видели.

В этом трактате будет воспроизведено все, что было выдвинуто против моих заключений, а также все, что мне пришло на мысль в защиту и подтверждение их. Если этого будет достаточно, чтобы рассеять указанное утверждение, по моему мнению — ложное, то я сочту, что недаром потратил труд и время; если же мне это не удастся, то я все-таки извлеку из этого пользу для самого себя, познавая истину из опровержения моих ошибок и приведения верных доказательств теми, кто думает иначе. Чтобы выполнить это с большей убедительностью и ясностью, мне кажется необходимым прежде всего установить истинную, внутреннюю и общую причину всплывания некоторых тел из воды и нахождения их на поверхности ее, а также погружения других тел на дно, тем более, что меня совсем не удовлетворяет написанное по этому поводу Аристотелем⁵.

Итак, я говорю, что причиной погружения некоторых тел на дно является превышение их тяжести над тяжестью воды; обратно, большая тяжесть воды по сравнению с тяжестью других тел является той причиной, которая заставляет их не погружаться, а, наоборот, подниматься со дна и всплывать на поверхность. Это было искусно доказано Архимедом в книгах о плавающих телах и было неверно понято весьма серьезным автором, что я и попытаюсь доказать в защиту мнения Архимеда⁶.

Выводы последнего я постараюсь подтвердить иным методом и иными средствами, приведя причины указанных явлений к внутренним и непосредственным принципам, причем выяснится и причина того изумительного и почти невероятного явления, когда ничтожное количество воды своим легким весом поднимает и поддерживает твердое тело, которое в сто и тысячу раз тяжелее этого количества воды. А так как это требует последовательного доказательства, то я прежде всего определю некоторые термины и установлю некоторые положения, как истинные и известные, которыми я воспользуюсь для своих целей⁷.

титульный лист трактата «о телах, пребывающих в воде»

Я называю равными по удельному весу те вещества, которые имеют равный вес при равном объеме; так, например, если два шарика из воска и из какого-нибудь дерева, будучи равными по объему, имеют равный вес, то мы говорим, что такое дерево и воск одинаковы по удельному весу⁸.

Но я буду называть равными по абсолютному весу такие два твердых тела, которые весят одинаково, хотя и разнятся по объему; так, например, если кусок свинца и кусок дерева весят каждый десять фунтов, то мы говорим, что они имеют одинаковый абсолютный вес, хотя объем дерева гораздо больше объема свинца, и дерево, следовательно, меньшего удельного веса.

Более тяжелым по удельному весу я называю такое вещество, которое при равном объеме с другим телом весит более последнего; таким образом, я говорю, что свинец по удельному весу тяжелее, чем олово, так как, если взять их в равном объеме, то свинец будет весить больше. Но более тяжелым абсолютно я называю такое тело, которое по сравнению с другим весит более последнего, независимо от соотношения их объемов; так, большое бревно весит абсолютно больше малого куска свинца хотя по удельному весу свинец тяжелее дерева. Аналогично будем говорить о телах, менее тяжелых по удельному весу и менее тяжелых абсолютно.

Определив эти термины, я позаимствую из науки механики два принципа. Первый,— что два абсолютно равных груза, двигающихся с равными скоростями, действуют с одинаковой силой или одинаковым моментом.

Под моментом в механике разумеется та сила, то качество, то действие, с которым двигатель двигает и движимое сопротивляется; эта сила зависит не только от простой тяжести, но и от скорости движения и от различного наклонения путей, по которым совершается движение, потому что тяжесть производит большее действие при опускании по более наклонному пути, чем по менее наклонному. В общем, какова бы ни была причина этого качества она сохраняет название момента; мне казалось, что это слово не является новостью в нашем языке, так как, если не ошибаюсь, часто говорят: «Это важное дело, а то имеет меньше значения», или — «Мы ценим пустые вещи и пренебрегаем имеющими значение». Эти метафоры, по моему мнению, взяты из механики⁹.

Так, например, два груза, равные по абсолютному весу и помещенные на двух равных плечах коромысла весов, остаются в равновесии и не опускаются, поднимая один другой; в самом деле, равенство расстояний их от центра, в котором укреплено коромысло и около которого они вращаются, заставляет эти грузы проходить при движении коромысла в данное время равные пространства, так как они движутся с одинаковой скоростью; следовательно, нет причины, почему бы один груз опустился более другого; поэтому они сохраняют равновесие, и моменты сил их остаются подобными и равными.  {47} 

Второй принцип заключается в том, что момент и сила тяжести возрастают вместе со скоростью движения, так что грузы абсолютно равные, но движимые с разной скоростью, обладают различными качествами, моментами и силами; при этом более мощным оказывается более быстрый груз в той мере, в какой скорость его больше скорости другого тела. Прекрасным примером этого служат весы с неравноплечим коромыслом; если на них положить абсолютно равные грузы, то последние будут давить неравно и развивать неравные усилия; груз, находящийся в большем расстоянии от центра, около которого вращается коромысло, опустится, подняв другой груз, причем движение поднимающегося груза будет медленным, а движение опускающегося — быстрым; такова сила или качество, которое скорость движения придает движущемуся телу и которое может быть восполнено соответствующим грузом, приданным медленнее движущемуся телу. Если, таким образом, одно плечо коромысла в десять раз длиннее другого, вследствие чего при вращении коромысла около центра конец его проходит в десять раз большее пространство, чем конец короткого плеча, то груз, помещенный на длинном плече, сможет поддержать и уравновесить другой груз, который в десять раз больше него по абсолютному весу; это происходит оттого, что при вращении коромысла меньший груз движется со скоростью в десять раз большей, чем скорость большего груза. При этом надо всегда понимать, что оба движения происходят при одинаковом наклоне, так что, если одно движущееся тело движется перпендикулярно к горизонту, то и другое движется по тому же направлению, если же движение одного происходит в горизонтальной плоскости, то и другое движется в той же плоскости; вообще оба движения имеют одинаковый наклон. Такое соотношение между тяжестью и скоростью существует у всех механических инструментов и принимается Аристотелем как принцип в его «Проблемах механики», почему мы можем принять за достоверное то положение, что неравные по абсолютной величине грузы могут взаимно уравновешиваться и приобретать равные моменты всякий раз, когда их вес будет обратно пропорционален скорости их движения, т. е. когда один груз будет во столько же раз легче другого, во сколько раз скорость его движения будет больше скорости другого¹⁰.

Установив это, мы можем уже начать исследовать, каковы те твердые тела, которые совсем погружаются в воду и идут ко дну, и каковы те тела, которые неизбежно всплывают, так что, будучи силой погружены в воду, возвращаются на поверхность ее и возвышаются над нею частью своего объема. Это мы сделаем, рассмотрев взаимодействие тел и воды, происходящее при погружении. Тело, увлекаемое вниз своей собственной тяжестью, вытесняет при погружении воду из тех мест, которые оно, идя вниз, последовательно занимает; вытесненная вода при этом поднимается и возвышается над своим прежним уровнем; но, будучи по природе своей телом  {48}  тяжелым, она противится этому подъему; и так как по мере погружения твердого тела поднимается все большее и большее количество воды, пока все тело не погрузится, то момент сопротивления воды подъему следует сравнить с моментом давящей тяжести твердого тела; если при этом момент сопротивления воды сравняется с моментом давящего твердого тела ранее его полного погружения, то, без сомнения, наступит равновесие, и тело перестанет погружаться; если же момент твердого тела будет постоянно превосходить момент сопротивления последовательно вытесняемой воды, то оно не только погрузится в воду, но под конец опустится до самого дна; если же, наконец, при погружении установится равновесие между моментами давящего твердого тела и сопротивления воды, то наступит покой, и тело сможет оставаться в воде неподвижным в любом месте.

Отсюда ясна необходимость сравнивать тяжесть воды и твердых тел; на первый взгляд может даже показаться, что такого сравнения достаточно, чтобы заключить и определить, какие тела будут всплывать и какие пойдут на дно, и заявить, что плавать будут те тела, которые по удельному весу легче воды, и пойдут на дно те, которые по удельному весу тяжелее воды; в самом деле, погружающееся тело вытесняет такой же объем воды, какой занимает его погруженная часть, так что кажется невозможным, чтобы тело, которое по удельному весу легче воды, совсем ушло в воду: оно не в состоянии поднять тяжесть большую, чем его собственная, а таковой несомненно обладает равный ему объем воды. Точно так же кажется неизбежным, что тяжелое тело падает на дно, так как оно обладает достаточной силой, чтобы вытеснить равный ему объем воды, который легче его по весу. Однако на деле происходит иначе, и хотя выводы эти верны, но основания, приведенные здесь, не без изъяна; иногда объем вытесняемой воды меньше объема погружающейся части тела, и тем меньше, чем уже наполненный ею сосуд; таким образом, может случиться, что тело совсем погрузится в воду, подняв воды одну десятую или двадцатую часть своего объема; и наоборот, ничтожное количество воды в состоянии поднять тело громадного объема, хотя бы это твердое тело было абсолютно тяжелее воды в сто или более раз, если только вещество его по удельному весу легче воды; таким образом, громадное бревно, которое весит, скажем, 1000 фунтов, может быть поднято и поддержано водой, которая не весит и 50 фунтов, и это непременно произойдет, если момент воды усилится быстротой движения.

Но так как подобные явления, излагаемые отвлеченно, нелегки для понимания, то следует подтвердить их особыми примерами. Для облегчения доказательства условимся, что сосуды, содержащие воду и предназначенные для помещения в них твердых тел, будут цилиндрическими или призматическими со стенками, перпендикулярными к плоскости горизонта, а твердые тела будут представлять собою прямые цилиндры или призмы и ничто иное.  {49} 

Условившись в этом, начнем доказывать истину вышеизложенного, опираясь на следующую теорему.

Объем воды, который поднимается при погружении призмы или цилиндра или опускается, вытесняя их назад, меньше объема погружающегося или вытесняемого тела, причем отношение первого объема ко второму равно отношению поверхности воды, окружающей тело, к сумме той же поверхности с площадью основания тела. Пусть ABCD — данный сосуд, в котором вода стоит на уровне EFG, пока тело HIК не погрузилось еще в воду, и предположим, что когда это произойдет, то уровень воды повысится до LM; тело HIK окажется при этом сполна под водою, объем же поднятой воды будет равен LG; эта последняя величина меньше по объему, чем погруженное тело HIK, и равна только части его EIK, которая находится ниже прежнего уровня EFG. Последнее доказывается тем, что если извлечь тело HIK, вода LG возвращается в объем EIK, который она занимала до погружения в нее призмы. Прикладывая теперь к равным объемам LG и ЕК один и тот же объем EN, найдем, что полученный объем ЕМ, состоящий из части призмы EN и воды NF, равен всему телу HIK, вследствие чего отношение объема LG к объему ЕМ равно отношению того же объема LG к объему тела HIK. Но объем LG так относится к объему ЕМ, как поверхность LM к поверхности МН, откуда явствует, что объем поднявшейся воды LG относится к объему погруженного тела HIK, как поверхность LM, т. е. поверхность воды, окружающей тело, ко всей поверхности НМ, составленной из указанной выше поверхности и площади основания призм HN. Если же мы предположим, что первоначальным уровнем воды является НМ и что погруженная призма HIK вынимается из воды и поднимается до положения ЕАО, вода же понижается с первоначального уровня HLM до EFG, то ясно, что, отнимая от призмы ЕАО, равной призме HIK, общий объем EN, мы получим, что верхняя часть НО первой призмы будет равна нижней части EIK второй призмы. Но отсюда следует, что объем воды LG равен объему НО и потому меньше объема всего тела, выступающего над водой, т. е. призмы ЕАО, и что отношение объема опускающейся воды LG к объему этой призмы равно отношению поверхности воды LM, окружающей тело, к той же поверхности, сложенной с основанием призмы АО.— Вот доказательство обеих частей вышеприведенного положения¹¹.  {50} 

Отсюда явствует, что объем воды, поднимающейся при погружении твердого тела или опускающейся при извлечении его, равен не всему объему тела, которое погружается или извлекается, а только некоторой части его, которая при погружении остается под первоначальным уровнем воды, а при извлечении — над соответствующим первоначальным уровнем, что и требовалось доказать.— Перейдем теперь к другим явлениям.

Прежде всего покажем, что если в один из сосудов условленной выше формы и какой угодно величины, безразлично — широкий или узкий, поместить цилиндр или призму, окруженные водой, то при поднятии тела отвесно окружающая вода опустится, и опускание воды будет так относиться к подъему призмы, как основание призмы относится ко всей поверхности окружающей воды.

Пусть в сосуд помещена призма ABCD, а остальное пространство заполнено водой, достигающей уровня ЕА, и пусть при поднятии тела AD и перемещении его в положение GM вода понижается с уровня ЕА до NO. Утверждаю, что понижение уровня воды, измеренное по линии АО, так относится к поднятию призмы по линии GA, как основание тела GH к поверхности воды NO. В самом деле, объем тела GABH, выступающий над первоначальным уровнем ЕАВ, равен объему опустившейся воды ENOA; мы имеем здесь, следовательно, две равновеликих призмы ENOA и GABH. Но у равновеликих призм отношение оснований равно обратному отношению высот; поэтому высота ОА так относится к высоте AG, Как площадь основания GH к поверхности воды NO¹². Таким образом, если поставить, например, колонну в обширный резервуар, полный воды, или в колодец, содержащий воды в объеме немного большем, чем объем колонны, то при подъеме и извлечении колонны из воды окружающая вода опустится, и опускание это будет так относиться к поднятию колонны, как площадь основания колонны к превышению площади основания резервуара или колодца над площадью основания колонны; если поэтому отверстие колодца будет только на одну восьмую больше основания колонны, а основание резервуара будет в двадцать пять раз больше основания колонны, то при поднятии колонны на один фут вода в колодце опустится на семь футов, а в резервуаре — только на одну двадцать четвертую часть фута.

Убедившись в этом, нетрудно будет понять и то, что призма или прямой цилиндр, состоящие из вещества, которое по удельному весу легче воды, будучи окружены со всех сторон водою, не остаются внизу, но поднимаются, хотя бы окружающей воды было очень мало, и абсолютный вес  {51}  ее уступал абсолютному весу тела. Пусть в сосуд CDFВ помещена призма AEFB, которая по удельному весу легче воды, и налита вода до уровня верхнего основания призмы; утверждаю, что если предоставить эту призму самой себе, то она поднимется, будучи вытеснена окружающей водой CDEA. В самом деле, вода СЕ по удельному весу тяжелее тела AF; поэтому отношение ее абсолютного веса к абсолютному весу призмы AF будет больше, чем отношение объема СЕ к объему AF (эти отношения были бы равны только в том случае, если бы удельный вес воды равнялся удельному весу вещества призмы). Но объем СЕ так относится к объему AF, как поверхность воды СА к поверхности или основанию призмы АВ; а это отношение, в свою очередь, равно отношению поднятия призмы при ее повышении к опусканию окружающей воды СЕ. Таким образом, отношение абсолютного веса воды СЕ к абсолютному весу призмы AF больше, чем отношение поднятия призмы AF к опусканию воды СЕ. Поэтому момент, составленный из абсолютного веса воды СЕ и скорости ее опускания, с которым она давит, вытесняет и поднимает тело AF, больше момента, составленного из абсолютного веса призмы AF и медленности ее поднятия, с которым она противится вытеснению, развиваемому моментом воды; следовательно, призма поднимается¹³.

Вслед за этим покажем подробно, насколько поднимаются тела, которые легче воды, т. е. какая часть их остается под водой и какая над поверхностью воды; но прежде докажем следующую лемму: отношение абсолютных весов твердых тел равно сложному отношению их удельных весов и их объемов.

Пусть имеем два тела А и В. Утверждаю, что отношение абсолютного веса тела А к абсолютному весу тела В равно сложному отношению удельного веса тела А к удельному весу тела В и объема тела А к объему тела В. Пусть отношение линии D к линии Е равно отношению удельного веса тела А к удельному весу тела В, а отношение Е к F равно отношению объема А к объему В. Ясно, что отношение D к F есть сложное отношение D к Е и Е к F; надо, следовательно, доказать, что отношение D и F выражает отношение абсолютного веса тела А к абсолютному весу тела В. Представим себе тело С, равное А по объему, и В — по удельному весу; так как объемы тел А и С одинаковы, то абсолютный вес тела А будет относиться к абсолютному весу тела C, как удельный вес тела А к удельному весу тела С или В, одинаковому для обоих тел, или как линия D к Е.  {52}  А так как С и В одинаковы по удельному весу, то отношение абсолютного веса тела С к абсолютному весу тела В будет равно отношению объема С или А к объему В, или отношению линии Е к F. Таким образом, отношение абсолютного веса тела А к абсолютному весу тела С равно отношению линий D и Е, а отношение абсолютного веса тела С к абсолютному весу тела В равно отношению линий Е и F. Отсюда ясно, что отношение абсолютного веса тела А к абсолютному весу тела В равно отношению линии D к линии F, что и требовалось доказать¹⁴.

Перейдем теперь к доказательству того, что цилиндр и призма, которые по удельному весу легче воды, будучи помещены в сосуд любой величины, не поднимаются при наполнении его водою до тех пор, пока вода не доходит до такого уровня, что отношение высоты тела к высоте стояния воды становится равным отношению удельного веса воды к удельному весу этого тела, и что при дальнейшем прибавлении воды тело поднимается.

Возьмем сосуд MLGN любой величины, поместим в него призму DFGE, которая по удельному весу легче воды, и предположим, что отношение удельного веса воды к удельному весу призмы равно отношению высоты DF к высоте FB. Утверждаю, что при наполнении сосуда водою до высоты FВ тело DG не поднимется и будет пребывать в равновесии, но что прибавление еще малого количества воды непременно его поднимет. Нальем в сосуд воды до уровня ABC; так как удельный вес тела DG относится к удельному, весу воды, как высота BF к высоте FD, т. е. как объем BG к объему GD, а отношение объема BG к объему GD, вместе с отношением объема GD к объему AF, дает отношение объема BG к объему AF, то отношение объема BG к объему AF равно сложному отношению удельного веса тела GD к удельному весу воды и объема GD к объему AF. Но такое сложное отношение удельного веса тела GD к удельному весу воды и объема GD к объему AF выражает, по предыдущей лемме, отношение абсолютного веса тела DG к абсолютному весу объема воды AF. Следовательно, отношение объема BG к объему AF равно отношению абсолютного веса тела GD к абсолютному весу объема воды AF; но объем BG относится к объему AF, как основание призмы DE к поверхности воды АВ, или как опускание воды АВ к поднятию тела DG; следовательно, отношение опускания воды к поднятию призмы равно отношению абсолютного веса призмы к абсолютному весу воды. Поэтому момент, составляющийся из абсолютного веса воды AF и скорости ее движения при понижении уровня, с которым она стремится вытолкнуть и поднять призму DG, равен моменту, составленному из абсолютного веса призмы DG и скорости движения, которым она обладала бы, будучи поднята; этим моментом она и  {53}  противится поднятию. Так как эти моменты равны, то между водою и твердым телом устанавливается равновесие. Ясно, что прибавление даже небольшого количества воды к имеющейся уже AF увеличивает ее вес и момент; поэтому призма DG будет вытолкнута и поднята, и только часть ее BF останется под водою, что и требовалось доказать¹⁵.

Из доказанного следует, что тела, которые по удельному весу легче воды, погружаются в воду только до тех пор, пока вес воды, взятой в объеме погруженной части тела, не становится равным весу всего тела. В самом деле, зная, что отношение удельного веса воды к удельному весу призмы DG равно отношению высоты DF к высоте FB, или тела DG к телу GB, легко доказать, что абсолютный вес воды, взятой в объеме тела BG, равен абсолютному весу тела DG. Действительно, по предыдущей лемме отношение абсолютного веса объема воды, равного объему BG, к абсолютному весу призмы DG равно сложному отношению объема BG к объему GD и удельного веса воды к удельному весу призмы; но отношение удельного веса воды к удельному весу призмы равно отношению объема DG к объему GB; следовательно, отношение абсолютного веса воды в объеме BG к абсолютному весу тела GD равно сложному отношению объема BG к объему GD и объема DG к объему GB, т. е. единице. Следовательно, абсолютный вес воды, взятой в объеме погруженной части призмы BG, равен абсолютному весу всего тела DG¹⁶.

Таким образом, если поместить твердое тело, которое по удельному весу легче воды, в сосуд любой величины и налить кругом воды до такой высоты, чтобы объем воды, равный объему погруженной части тела, весил столько же, сколько все тело, то это тело будет поддерживаться водою, независимо от того, будет ли количество ее огромным или ничтожным. Так, если поместить призму или цилиндр М, удельный вес которого составлял бы только три четверти удельного веса воды, в большой сосуд ABCD

и налить воды на три четверти его вышины, т. е. до уровня DA, то он будет поддерживаться водой и пребывать в равновесии; то же случится, если его поместить в сосуд ENSF, который был бы до того мал, что между сосудом и телом М оставалось только узкое пространство, способное вместить объем воды, составляющий лишь сотую часть объема М: он одинаково будет поднят и удержан водою, если налить последней, как и прежде, на три четверти вышины тела. Многим это покажется на первый взгляд совершенным парадоксом, и они подумают, что доказательство подобных явлений —  {54}  только софистика и обман; однако в справедливости изложенного они могут убедиться опытом. Тот же, кто вспомнит, как много значит скорость движения и как точно она возмещает недостаток или отсутствие тяжести, перестанет изумляться; в самом деле, поднятие тела М лишь в малой мере понижает большой объём воды ABCD; но оно сильно и в одно мгновенье опускает малый объем воды ENSF, хотя бы тело М было поднято на самую незначительную величину. Вследствие этого момент, слагающийся из небольшого абсолютного веса воды ENSF и большой скорости опускания, сравнивается с силой и моментом, слагающимся из огромной тяжести воды ABCD и крайней медленности ее опускания; при подъеме же тела М опускание малого количества воды ES происходит во столько раз быстрее, чем опускание большого объема воды АС, во сколько раз этот последний объем больше первого; это мы докажем следующим образом.

При подъеме тела М отношение его поднятия к опусканию окружающей воды ENSF равно отношению поверхности этой воды к поверхности или основанию тела М, а отношение этого последнего к поверхности AD равно отношению опускания воды АС к поднятию тела М; соединяя эти пропорции, получаем, что при подъеме тела М опускание воды ABCD так относится к опусканию воды ENSF, как поверхность воды EF к поверхности воды AD, или как весь объем воды ENSF ко всему объему ABCD, которые имеют одинаковые высоты; отсюда ясно, что при захвате и подъеме тела М вода ENSF превосходит по скорости движения воду ABCD во столько же раз, во сколько эта последняя превосходит ее количеством; моменты же их получаются при этом одинаковыми.

А для полного подтверждения и ясного объяснения этого явления рассмотрим прилагаемую фигуру, которая, если не ошибаюсь, может предохранить от о заблуждения некоторых механиков-практиков, строящих иногда свои изобретения на ложных основаниях. Здесь от широкого сосуда EIDF отходит узкая трубка ICAB; если налить в них воду до уровня LGH, то она в этом положении успокоится к удивлению того, кто не может сразу понять, почему тяжелый вес большого объема воды GD, давя вниз, не поднимает и не выталкивает малого количества воды, содержащегося в трубке CL, которое противится и препятствует этому подъему. Но мы перестанем изумляться, если представим себе, что вода GD опустилась до QO, и посмотрим, что сделалось с водою CL. Чтобы дать место воде, понизившейся с уровня GH до уровня QO, вода в трубке должна была бы подняться с уровня L до АВ, причем поднятие LB было бы во столько раз больше опускания GQ, во сколько раз ширина сосуда GD больше ширины  {55}  трубки LC, или, что то же самое, во сколько раз количество воды GD больше количества LC; но так как момент скорости движения одного движущегося тела возмещает момент тяжести другого, то что же удивительного в том, что быстрое поднятие малого количества воды CL сопротивляется медленному опусканию большого количества GD?

Здесь происходит, следовательно, точно то же, что в весах, где груз в 2 фунта уравновешивает груз в 200 фунтов всякий раз, когда пространство, проходимое первым грузом, в 100 раз больше пространства, проходимого вторым; а это бывает, когда одно коромысло весов в 100 раз длиннее другого. Пусть отпадет ложное мнение, что корабль держится лучше и легче в большом пространстве воды, чем в малом (как утверждает Аристотель в «Проблемах», отд. 23, предл. 11); напротив, верно и непреложно то, что корабль так же хорошо плавает в 10 бочках воды, как в океане.

Продолжая рассуждение, говорю, что из всего здесь до сих пор доказанного можно заключить, что тела, удельный вес коих более веса воды, не могут поддерживаться водою, в каком бы количестве ее ни взять. Мы видели, что момент, с которым твердое тело равного с водою удельного веса противодействует моменту некоторого давящего объема воды, может удержать тело в состоянии равновесия; тем менее, следовательно, вода может поднять тело, если оно тяжелее ее по удельному своему весу. Залитое водою до полного его погружения, такое тело останется на дне и будет сопротивляться поднятию с силою, равною излишку его абсолютного веса над абсолютным весом равного объема воды или другого вещества, равного воде по удельному весу. Какое бы большое количество воды мы ни прибавили сверх уровня, определяемого высотою погруженного тела, мы этим не сможем получить такого давления на погруженные части твердого тела, которое могло бы вытолкнуть тело из воды, так как сопротивление погружению тела получается только от тех частей воды, которые при движении тела сами приходят в движение, а таковыми являются только те, которые заключены между двумя горизонтальными параллельными плоскостями, заключающими высоту погруженного в воду тела.

Мне кажется, что предыдущим я достаточно наметил и пояснил путь к рассмотрению истинной, действительной, внутренней причины движения и покоя разных твердых тел в разных средах, в особенности в воде, показав, что на деле все зависит от перевеса тяжестей движущегося тела и среды. Что особенно важно, я разобрал пример, который для многих мог бы быть причиною сомнения и помешать признать за истину мои утверждения, а именно, каким образом, если причиною плавания и поднимания тела со дна на поверхность является перевес тяжести воды над тяжестью данного тела, количество воды, весом менее десяти фунтов, может поднять тело, весящее более ста фунтов; я доказал, что достаточно наличия разницы в удельном весе между средою и телом, отдельные же и абсолютные веса  {56}  могут быть какими угодно; таким образом, любое тело, будь только оно по удельному весу легче воды, может быть поднято десятью и менее фунтами воды, хотя бы оно само весило тысячу фунтов, и, наоборот, другое тело, если оно по удельному весу тяжелее воды, не может быть поднято и поддержано целым морем, хотя бы абсолютный вес его не превышал и одного фунта. Приведенные выше объяснения и примеры в достаточной мере выяснили и доказали все, относящееся к настоящему вопросу, чтобы стоило распространяться о нем в длинном трактате; если бы не необходимость рассеять указанное выше сомнение, то я остановился бы даже только на том, что доказывается Архимедом в первой книге о плавающих телах, где в общем устанавливаются те же самые положения, а именно: что тела легче воды всплывают, тяжелее воды — идут на дно, а равные по весу — остаются безразлично в любом месте, хотя и под водою¹⁷.

Но так как эта доктрина Архимеда, изложенная и рассмотренная синьором Франческо Буонамико в книге V О движении, гл. 29, им же опровергалась, а это в силу авторитета столь знаменитого и славного философа, могло бы возбудить сомнения в ее истинности, то я счел необходимым выступить на ее защиту, если только смогу, и снять с имени Архимеда те ошибки, которые ему приписывают. Буонамико отказывается от доктрины Архимеда прежде всего потому, что она не согласуется с мнением Аристотеля; при этом он прибавляет, что ему кажется удивительным, что вода должна превосходить весом землю, тогда как, наоборот, мы видим, что тяжесть в воде возрастает через прибавление земли. Далее, его совсем не удовлетворяют доводы Архимеда, так как на основании его доктрины нельзя понять причину, по которой судно или сосуд, плавающие на поверхности, опускаются на дно при наполнении водою; так как вес воды в сосуде равен весу всякой другой воды, то он должен был бы остаться на поверхности, а между тем он тонет. Он прибавляет далее, что Аристотель определенно опровергает древних, которые говорили, что легкие тела поднимаются, будучи подталкиваемы давлением более тяжелой окружающей среды: что, если бы это было так, необходимо было бы заключить, что все тела в природе тяжелы, и нет легких, так как подобное должно было бы случиться и с воздухом, и с огнем, помещенными в глубь воды. И хотя Аристотель допускает пульсацию стихий¹⁸, благодаря чему Земля принимает сферическую форму, но, по его мнению, это не может сдвинуть тяжелые тела с присущего им места, а скорее направляет их к центру, к которому (как он довольно туманно говорит далее) особенно стремится вода, если только она не встречает препятствия, и тяжестью его не вытесняется со своего места; но и в таком случае, если не прямо, вода все же по возможности направляется к центру. Вообще, если случается, что легкие тела от таких ударов идут вверх, то это, равно как и нахождение на поверхности, происходит в силу их природы. В заключение Буонамико говорит, что  {57}  согласен с Архимедом в его выводах, но не признает указанных им причин, которые он и пытается свести к легкому или трудному разделению сред и к действию стихий, так что когда движущееся тело превосходит мощностью среду, как, например, свинец воду, то он будет двигаться в ней, в противном же случае — нет.

Вот и все, что, насколько я мог собрать, выдвинуто синьором Буонамико против Архимеда. Он не взял на себя труда опровергнуть принципы и положения Архимеда, которые ведь ложны, если ложна самая доктрина, от которой они зависят, и удовольствовался приведением некоторых затруднений и указанием некоторых противоречий мнению и доктрине Аристотеля. Отвечая на эти возражения, скажу прежде всего: никто не может подвергать сомнению доктрину Архимеда только потому, что она отличается от аристотелевой, так как нет какого-либо основания противополагать авторитет одного философа другому. Там, где перед нами веления природы, одинаково доступные очам рассудка каждого человека, тот или другой авторитет теряет силу убедительности, уступая место силе разума.

Теперь перейду ко второму пункту, где приводится как абсурдное следствие из доктрины Архимеда, что вода должна быть тяжелее земли. На самом деле я не знаю, где Архимед сказал такую вещь, или как можно подобное утверждение извлечь из его положений; если бы мне это было доказано, то я, наверное, оставил бы его доктрину как совершенно ложную. Может быть, такой вывод был сделан Буонамико из приведенного им примера пустого сосуда, плавающего на поверхности, который идет ко дну, будучи наполнен водою. Подразумевая, что сосуд сделан из земли, он аргументирует против Архимеда следующим образом: ты говоришь, что тела, которые плавают, легче воды; этот сосуд из земли плавает, следовательно, он легче воды; значит, земля легче воды. Если таково его рассуждение, то на него нетрудно ответить, соглашаясь с тем, что сосуд легче воды, но отрицая второе следствие, т. е. что и земля легче воды. Плавающий сосуд занимает в воде место, равное не только объему земли, из которой он сделан, но равное объему земли и воздуха, наполняющего его пустоту. И если такое тело, составленное из земли и воздуха, легче соответственного объема воды, то оно будет плавать, что совершенно согласно с доктриною Архимеда; если теперь мы удалим воздух и наполним сосуд водою, так что, будучи помещен в воду, он останется только землею, т. е. будет занимать только тот объем, который имеет земля, послужившая для него материалом, то он пойдет ко дну, так как земля тяжелее воды, и это прекрасно согласуется с мнением Архимеда. Тот же результат получается при другом подобном опыте. При погружении на дно стеклянной бутылки, пока в ней есть воздух, чувствуется сильное сопротивление, так как не только стекло погружается в воду, но вместе с ним и большой объем воздуха, так что если взять такой же объем воды, какой составляется из стекла и  {58}  содержащегося в нем воздуха, то получается вес гораздо больший; поэтому бутылка погружается только значительным усилием; но если поместить в воду только одно стекло, т. е. бутылку, наполненную водою, то тогда стекло само опустится на дно, как превосходящее по тяжести воду.

Возвращаясь к первоначальному предложению, скажу, что земля тяжелее воды, почему тело из земли идет на дно; но можно сделать состав из земли и воздуха, который будет легче соответственного объема воды и останется на поверхности; и тот, и другой опыты отлично согласуются с доктриною Архимеда. Не встречая здесь никаких затруднений, я не хочу определенно утверждать, что синьор Буонамико из подобного вопроса вывел и приписал Архимеду нелепую доктрину, будто земля легче воды; хотя, по правде сказать, я не могу представить, какое другое обстоятельство навело его на ту мысль.

Возможно, что эта проблема (по моему убеждению, вымышленная) была вычитана синьором Буонамико у какого-либо другого автора, приписавшего такое странное свойство какой-то особой воде, и пущена им в ход для опровержения Архимеда вдвойне неправильно, так как Архимед подобной вещи не говорил, а тот, кто подобное говорил, не имел в виду обыкновенную воду.

Третьим затруднением в доктрине Архимеда является невозможность дать объяснение, почему судно или сосуд из дерева, которые в ином случае плавают, идут ко дну, будучи наполнены водою. Синьор Буонамико полагает, что деревянный сосуд, который по природе своей держится на поверхности, идет ко дну, наполненный водою, о чем он пространно рассуждает в следующей 30-й главе книги V; но я, не умаляя его странной доктрины, осмеливаюсь, защищая Архимеда, отрицать такой факт в уверенности, что дерево, которое по природе своей не тонет, не пойдет ко дну и выдолбленное и обделанное в форме какого угодно сосуда, а затем наполненное водою. Кто хочет произвести подобный опыт с другим удобным материалом, легко принимающим любую форму, может взять чистого воска и сделать из него шарик или другую плотную фигуру и затем прибавить к воску свинца в таком количестве, чтобы эти фигуры с трудом тонули, т. е. чтобы свинца на одно зернышко менее было бы уже недостаточно для их погружения. Придав тому же воску форму сосуда и наполнив его водою, найдем, что без свинца он не пойдет ко дну, а со свинцом опустится с медленностью; в общем налитая вода не внесет никакого изменения.

Я не отрицаю, что из дерева, по природе своей плавающего, могут быть сделаны суда, которые по заполнении водою тонут; но это происходит не от увеличения их веса водою, а от тяжести гвоздей или других железных частей; через соединение дерева и железа здесь получается тело, которое не легче, но тяжелее соответственного объема воды. Пусть уже синьор Буонамико перестанет отыскивать причины явления, которое не существует;  {59}  если он полагает, что опускание на дно наполненного водою деревянного сосуда подвергает сомнению доктрину Архимеда, по которой он не должен опускаться, и согласуется с доктриною перипатетиков, объясняющей, почему такой сосуд должен потонуть, то я выскажусь в совершенно обратном смысле: доктрина Архимеда истинна, так как вполне согласуется с опытами, сомнительна же другая, выводы из которой приспособляются к ложным заключениям. Что касается другого пункта, относящегося к тому же примеру, из которого видно, что синьор Буонамико подразумевает не только дерево в форме сосуда, но и массивные куски его, которые будучи наполнены, т. е., я полагаю, он хочет сказать — насыщены и пропитаны водою, опускаются в конце концов на дно, то это объясняется следующим образом. Пористое дерево, пока пустоты в нем наполнены воздухом или иной материей легче воды, представляет объем по удельному весу легче воды, как стеклянная бутылка, пока в ней есть воздух; но когда место легкой материи в порах и пустотах дерева займет вода, то может легко получиться тело, тяжелее воды, подобно тому как, заменив в стеклянной бутылке воздух водою, мы получаем соединение воды и стекла более тяжелое, нежели соответственный объем воды. Однако перевес тяжести заключается в самом веществе стекла, а не в воде, которая не может быть тяжелее самой себя; равным образом, когда из дерева после отнятия воздуха и заполнения его пор водою образуется соединение дерева и воды, тяжелее воды, то это происходит не в силу воды, проникшей в поры, но в силу вещества самого дерева, остающегося по удалении воздуха. Такое тело, согласно с доктриною Архимеда, пойдет ко дну, тогда как первоначальное, в согласии с ней же, плавало на поверхности.

Перехожу, наконец, к тому, что приведено как четвертое возражение Архимеду, а именно, что уже Аристотель опроверг древних, отрицавших положительную и абсолютную легкость, признававших на самом деле все тела тяжелыми и приписывавших всякое движение толчкам окружающей среды; и так как доктрина Архимеда примыкает к этому мнению, то должна быть осуждена и отвергнута. Во-первых, мне думается, синьор Буонамико приписывает Архимеду или выводит из его слов более того, что тот говорил или что можно извлечь из его положений; Архимед нигде не отрицает и не признает положительной легкости и даже не касается этого вопроса, почему и не следовало бы обвинять его в отрицании ее как причины или принципа самостоятельного движения огня и других легких тел. Архимед, показав, как тела тяжелее воды опускаются в ней, вследствие перевеса их тяжести над тяжестью воды, показал равным образом, как менее тяжелые тела идут вверх в той же воде вследствие перевеса тяжести последней; отсюда, самое большее, можно сделать заключение: как перевес тяжести движущегося тела над тяжестью воды есть причина его опускания, так перевеса тяжести воды над тяжестью тела достаточно,  {60}  чтобы оно не тонуло, а поднималось на поверхность. Архимед не рассматривает, существует ли еще какая-либо причина самопроизвольного движения, противная силе тяжести. Если полуденный ветер уносит барку с большею силою, чем течение реки, которое увлекает ее к югу, то движение ее будет направлено к северу; но если сила течения воды преодолевает силу ветра, то движение будет к югу; такое рассуждение справедливо, и напрасно стали бы опровергать его, говоря: ты неправильно приводишь нам как причину движения барки к югу течение воды, превосходящее силу полуденного ветра; неправильно потому, что и сила северного ветра, противоположного южному, может уносить барку к югу. Такие возражения излишни, так как тот, кто приводит как причину движения течение воды, вовсе не отрицает, что и ветер, дующий в том же направлении, может иметь то же действие, но лишь утверждает, что в случае преобладания силы течения воды над силою южного ветра барка будет двигаться к югу,— и говорит истину. Совершенно так же, когда Архимед говорит, что перевес тяжести воды над той, с какой движущееся тело идет вниз, заставляет тело подниматься со дна на поверхность, то он приводит истинную причину этого явления, но не утверждает и не отрицает существования иного свойства, противоположного тяжести называемой некоторыми легкостью, которая может быть в состоянии заставить некоторые тела двигаться вверх-Оружие синьора Буонамико должно быть направлено против Платона и других древних, которые совершенно отрицали легкость и, признавая все тела тяжелыми, говорили, что движение тела вверх происходит не от присущего ему внутреннего принципа, а единственно от воздействия среды; Архимед же со своей доктриною пусть останется незатронутым, так как он не дает повода к нападкам. Если это выступление мое в защиту Архимеда покажется кому-либо недостаточным, чтобы освободить его от возражений и доводов, выставляемых Аристотелем против Платона и других древних, могущих быть направленными и против Архимеда, видевшего в выталкивании водою причину возвращения на поверхность тел, которые легче нее, то я не отказался бы и от поддержки признаваемого мною истинным положения Платона и других, совершенно отрицающих легкость и утверждающих, что в элементарных телах нет другого внутреннего принципа движения, кроме как к центру Земли, и другой причины движения вверх (подразумевая такое, которое имеет подобие естественного движения), кроме выталкивания жидкой средой, более тяжелой, чем движущееся тело. Все противные доводы Аристотеля, думается, я мог бы полностью опровергнуть и постарался бы это сделать, если бы то было необходимо при обсуждении настоящего вопроса и не заняло бы слишком много места в этом кратком трактате. Скажу только, что если бы каким-либо из наших элементарных тел были присущи внутренний принцип и естественная наклонность стремиться от центра Земли и направляться к Луне,  {61}  то такие тела, без сомнения, шли бы вверх быстрее в среде, менее сопротивляющейся движению тела, т. е. более легкой и тонкой, какою, например, является по сравнению с водою воздух, в чем каждый может убедиться, вращая руку или доску,— в воздухе гораздо быстрее и легче, нежели в воде. Между тем не найдется ни одного тела, которое поднималось бы в воздухе быстрее, чем в воде; мы видим даже, что все тела, постоянно поднимающиеся в воде, совершенно утрачивают движение, достигнув пределов воздуха, не исключая и самого воздуха, который, быстро восходя в воде, останавливается в самом движении, как только достигает своей области, и медленно расходится в ней. Так как опыт показывает нам, что тела, последовательно менее и менее тяжелые, поднимаются в воде все быстрее, нельзя сомневаться, что и вещество огня быстрее поднимается в воде, чем в воздухе, каковой воздух, по наблюдениям, поднимается в воде быстрее, чем вещество огня в воздухе; отсюда приходим к неизбежному заключению, что то же вещество гораздо скорее поднимется в воде, нежели в воздухе, и что, следовательно, оно движется воздействием окружающей среды, а не внутренним принципом, заставляющим его удаляться от центра, к которому тяготеют другие тяжелые тела.

По поводу последнего заключения синьора Буонамико, в котором то явление, что одни тела опускаются, а другие нет, объясняется легкостью или трудностью разделения среды и соотношением элементов, я отвечу сначала на первую часть: ни в каком случае выставляемая причина не является действительной, так как в жидкой среде, как-то: воздухе, воде и других жидкостях нет противодействия разделению, но все они малейшей силою разделяются и проникаются, как я покажу ниже; таким образом, из сопротивления разделению не может возникнуть никакого действия, и его не существует. Что касается второго положения, то я скажу, что действие элементов в движущихся телах обнаруживается лишь в излишке или недостатке тяжести их по отношению к среде, ибо в своем действии элементы играют роль только как более тяжелые или как более легкие; поэтому все равно сказать, что еловое дерево не идет ко дну, потому что в нем преобладает воздух, или сказать, что оно легче воды. Непосредственная причина — его сравнительная легкость, а преобладание воздуха — причина меньшей тяжести, поэтому тот, кто приводит как причину преобладание определенного элемента, приводит причину причины, а не причину ближайшую и непосредственную. А кто же не знает, что истинная причина есть именно непосредственная, а не та, которая действует через посредство других?! Кроме того, тот, кто ссылается на тяжесть, приводит причину, осязательную для чувства, и нам весьма просто понять, что эбеновое или еловое дерево тяжелее или легче воды; но как наглядно доказать нам, что в них преобладает земля или воздух? — Для этого нет иного средства, как убедиться на опыте, плавают они или идут ко дну.  {62}  Таким образом, тот, кто не знает, что такое-то тело плавает, пока не узнает, что в нем преобладает воздух, не узнает, будет ли оно плавать, пока не увидит его плавающим, потому что нельзя узнать, преобладает ли в теле воздух иначе, как увидав, что оно плавает; итак, следовательно, нельзя узнать, что тело плавает иначе, как увидав его пребывающим на поверхности воды. Не будем поэтому отвергать того, хотя бы и небольшого облегчения, которое предлагает нашему разуму рассуждение, и примем за истину положения Архимеда: всякое твердое тело, которое тяжелее воды, пойдет ко дну, если оно легче нее, то обязательно будет плавать; тело остановится безразлично в любом месте внутри воды, если его тяжесть будет совершенно равна тяжести воды.

Установив и разъяснив эти положения, я хочу рассмотреть теперь, какое значение имеет различие в форме данного тела, по отношению к упомянутым движениям или покою, и возвращаюсь к утверждению: различие формы, придаваемой тому или другому телу, не может быть ни в коем случае причиною его опускания на дно или поднятия на поверхность; так что, если тело, которому придана, например, сферическая форма, идет в жидкости ко дну или к поверхности, то утверждаю, что и при всякой иной форме оно в той же жидкости опустится или поднимется, и такое его движение не может быть отнято или уничтожено большей шириной или другими изменениями формы.

Возможно, что ширина фигуры замедлит быстроту опускания или подъема в тем большей степени, чем более широкой и тонкой будет сделана фигура; но довести подобное изменение до такой степени, чтобы устранить дальнейшее движение того же вещества в той же воде,— это я признаю совершенно невозможным. В этом пункте я нашел много возражающих, которые произвели несколько опытов, между прочим, один с тонкой дощечкою и шариком из эбенового дерева, показав, как шарик в воде опускался на дно, а дощечка, тихонько положенная на воду, не тонула, но оставалась на поверхности, из чего заключили, подкрепив свое мнение авторитетом Аристотеля, что настоящей причиной покоя была ширина фигуры, неспособной по своему малому весу разделить и преодолеть противодействующую густоту воды, какое противодействие быстро преодолевается другой — круглой фигурой.

Это главный пункт настоящего вопроса, в котором я постараюсь доказать, что отстаиваю правильное воззрение. Начну с попытки исследовать при помощи точного опыта, действительно ли фигура не изменяет опускания или неопускания на дно одних и тех же тел, после того как я уже доказал, что большая или меньшая тяжесть тела по отношению к тяжести среды есть причина опускания и подъема. Когда мы хотим испробовать, какое влияние на это движение может иметь различие фигуры, то необходимо производить опыты с веществами, в которых не может иметь места  {63}  разница в тяжести; иначе, употребляя вещества, тела из которых могут быть разного удельного веса, мы останемся всегда при сомнительных выводах, встречаясь с разницей эффекта опускания или подъема, — происходит ли такая разница действительно от одной формы или же еще и от разницы в тяжести. Устраним это неудобство, взяв вещество, которому можно легко и удобно придать любой вид и форму. Затем, в высшей степени удобно брать вещество, наиболее близкое по тяжести к воде, потому что такое вещество является безразличным в отношении тяжести к опусканию или поднятию; следовательно, на нем всего быстрее обнаружится каждое малое различие, происходящее от изменения фигуры.

Чтобы достигнуть этого, всего пригоднее воск, который, не испытывая особого изменения от пропитывания водою, удобен также тем, что один и тот же кусок его легко превращается в любую фигуру; к тому же он па удельному весу немного легче воды и с прибавлением малой доли свинцовых опилок становится совершенно равным с нею по весу.

Приготовим из воска шарик величиною с апельсин или более, сделав его таким тяжелым, чтобы он оставался на дне, но настолько незначительно более тяжелым, чем вода, чтобы при отнятии небольшой частицы свинца он поднимался на поверхность, при прибавлении же ее возвращался на дно. Превратив затем тот же воск в тончайшую и широкую пластинку и проделав тот же опыт, увидим, как она, положенная на дно, с прибавлением крупинки свинца останется внизу, при отнятии свинца поднимается на поверхность, а при прибавлении снова опустится на дно. Подобное же произойдет с фигурами всех видов как правильными, так и неправильными, и среди них не встретится ни одной, которая поднималась бы, пока мы не отнимем от нее крупинки свинца, или пошла бы на дно, пока мы не прибавим его. В результате увидим, что вообще в движении не обнаружится никакой разницы, кроме увеличения или уменьшения быстроты; тела более широкие и плоские будут двигаться медленнее как при опускании на дно, так и при поднятии; другие тела, более узкие и плотные, будут двигаться быстрее. После этого я не могу понять, какое значение можно приписывать разнице фигур, если разнообразнейшие формы сами по себе не могут произвести того действия, какое производит отнятие или прибавление малейшей частицы свинца.

Представляя себе, что кто-нибудь из противников может подвергнуть сомнению произведенный мною опыт, обращаю внимание прежде всего на то, что фигура сама по себе, только как таковая, отдельно от вещества, ничего не производит; необходимо, чтобы она была соединена с веществом, и притом не со всяким веществом, а только с таким, с которым она может произвести желаемое действие. По опыту мы знаем, что острый и тонкий угол более пригоден для резания, чем тупой; однако это свойство обнаруживается лишь по отношению к веществу, способному резать, например  {64}  железу, ибо нож с острым и тонким лезвием режет хлеб и дерево лучше, чем нож с острием тупым и грубым; но кто вздумал бы взамен железа взять воск и сделать из него нож, конечно, не мог бы при таком веществе узнать, какое действие производит лезвие острое и лезвие тупое, потому что ни то, ни другое в данном случае не будет резать, ибо воск по своей мягкости не способен преодолеть твердость дерева или хлеба. Прилагая подобное рассуждение к нашему примеру, скажем, что разность фигур выкажет различие в эффекте опускания или неопускания лишь в соединении с веществом, но ни каким угодно, а только таким, которое по своей тяжести способно преодолеть сопротивление воды; но, если бы кто-нибудь взял пробковое или иное легчайшее дерево, неспособное по своей легкости преодолеть сопротивления плотности воды, и из такого материала сделал бы тела разной формы, то он напрасно стал бы наблюдать, как влияет форма на опускание тел, ибо все тела останутся на поверхности, и это не в силу свойства той или иной фигуры, но вследствие легкости вещества, лишенного того веса, который требуется, чтобы превзойти и преодолеть плотность воды.

Следовательно, если мы хотим видеть, как влияет различие в форме тела, то необходимо выбрать прежде всего вещество, способное преодолеть плотность воды; для этого необходимо взять материал, который, будучи обделан в форму шара, идет ко дну; выбрав для этой цели эбеновое дерево, сделали из него маленькую тонкую дощечку и показали, что, положенная на поверхность воды, она остается, не опускаясь на дно; сделав из того же дерева шарик не более ореха величиною, нашли, что он не остается на поверхности, но тонет. Из этого опыта, по-видимому, можно заключить, что ширина фигуры в плоской дощечке и есть причина того, что она не опускается вниз, ибо шарик из того же материала, отличающийся от дощечки только фигурою, в той же воде идет ко дну. Это рассуждение и этот опыт представляются весьма вероятными и правдоподобными, и не удивительно, что многие, убежденные тем, что сами видели, согласятся со сделанными отсюда выводами; однако же, думается, я в состоянии установить, что тут допускается погрешность.

Начиная рассматривать по частям все приведенное, скажу, что фигуры, просто как фигуры, не только не оказывают влияния на тела в природе, но и не существуют отдельно от субстанции тел, и я ни в коем случае не предполагал их в отвлечении от материи; я свободно допускаю, что если мы хотим испробовать, какова будет разница результатов в зависимости от разницы фигур, то их надо прилагать к веществам, которые не препятствовали бы проявлению действия этих разных фигур; признаю и заявляю, что поступил бы неправильно, если бы захотел исследовать, какое значение может иметь острота лезвия ножика из воска в применении к разрезыванию им дуба, ибо не существует остроты, соединенной с  {65}  воском, которая могла бы разрезать твердейшее дерево. Но нелишним может оказаться произвести опыт с подобным ножом, разрезая им простоквашу или другую подобную, легко поддающуюся воздействию материю; для такого вещества, напротив, чтобы узнать разницу, происходящую от более или менее острых углов, гораздо пригоднее воск, нежели сталь, ибо простокваша одинаково легко разрезывается и острой бритвой и тупым ножом. Поэтому необходимо принимать во внимание не только твердость, плотность и тяжесть тел, которые в виде разных фигур должны разделять другие вещества и проникать в них, но учитывать и сопротивление этих последних веществ разделению и проникновению в их среду. Так как я для опыта по предмету нашего разногласия выбрал вещество, которое преодолевает сопротивление воды и при всех формах опускается на дно, то мои противники не могут представить мне никакого возражения, тем более, что я предложил способ более утонченный, чем они, при котором устранены все иные причины опускания или неопускания на дно и сохранено единственное и простое различие фигур, и показал, как все эти фигуры опускаются единственно от увеличения этого веса на один гран, по отнятии же добавочного веса возвращаются на поверхность. Неправильно было бы поэтому возражение (возвращаясь к приведенному примеру), что я пожелал исследовать влияние остроты на разрезывание при помощи веществ, не способных резать; напротив, я выбрал вещества, вполне отвечающие нашей задаче, и не подвергал их никаким изменениям, кроме тех, которые относятся к фигуре тела, то более тупой, то более острой.

Но будем продолжать дальше и отметим, что в рассуждение было действительно без особой надобности введено соображение относительно необходимости выбирать вещество, пригодное для нашего опыта, именно соображение, что как острота достаточна для резания только в соединении с веществом твердым и способным преодолеть сопротивление дерева или чего-либо иного, что мы намереваемся резать, точно так же и движение в воде должно и может познаваться на веществах, способных превзойти сопротивление воды и преодолеть ее плотность. Если я и говорю, что крайне необходимо делать различие между веществами при выборе того, из которого предполагают делать разные фигуры для разрезания того или иного тела, в соответствии с большей или меньшей плотностью и твердостью этих тел, то затем прибавлю, что такое различие, выбор и предосторожность представляются бесполезными и излишними, если разрезываемое или разделяемое тело не представляет никакого сопротивления и совсем не противится разрезыванию и разделению; если бы, например, предполагалось резать ножами туман или дым, то мы могли бы одинаково пользоваться как картоном, так и дамасской сталью. Так как вода не представляет никакого сопротивления для проникновения в нее любого твердого  {66}  тела, всякий выбор вещества является излишним и ненужным; и когда я говорил выше о том, что хорошо избирать вещество, схожее по плотности с водою, то это потому, чтобы было необходимо преодолевать не плотность воды, но ее тяжесть, в силу которой она единственно противится погружению твердых тел. Тому, кто видит причину сопротивления в плотности, скажу, что при внимательном рассмотрении мы найдем, что все твердые тела, как те, которые идут на дно, так и другие, которые плавают, одинаково пригодны и способны привести нас к познанию истины в нашем споре. От веры в такой вывод меня не отвратят опыты, могущие еще быть выставленными против меня над разными сортами дерева и пробки или тонкими пластинами из разного рода камня, металла и вообще вещества, стремящегося по своей природной тяжести к центру Земли, хотя бы все они и были неспособны, вследствие ли фигуры (как полагают мои противники) или по своей легкости, проникнуть в среду водяных частиц, разрушив их соединение между собою, и остаются, не погружаясь в воду, на ее поверхности; не убедит меня и авторитет Аристотеля, который во многих местах утверждает противное тому, что показывает мне опыт.

Итак, возвращаюсь к утверждению, что нет твердого тела, ни такой легкости, ни такой фигуры, чтобы, будучи положено на воду, оно не разделяло частиц и не проникало в нее; напротив, тот, кто внимательным взглядом станет наблюдать тонкие деревянные дощечки, увидит, что частью своей толщины они находятся под водою, а не только соприкасаются своей нижней поверхностью с поверхностью воды, что было бы неизбежно, если признать правильным мнение тех, которые говорят, что такие дощечки не тонут, ибо не способны преодолеть сцепление частиц воды; они увидят затем, что тончайшие пластинки эбена, камня или металла, оставаясь на поверхности, не только разрушают сплошность воды, но всей своей толщиной остаются ниже поверхности воды и тем ниже, чем тяжелее их вещества, так что тонкий лист свинца остается ниже поверхности окружающей воды приблизительно на двенадцатикратную свою толщину, а золото опускается в воду на глубину почти в двадцать раз большую, чем толщина его пластинки, как это я и покажу ниже.

Но продолжим доказательство того, что вода уступает и позволяет проникнуть в нее каждому легчайшему твердому телу, а вместе с тем покажем, как и на веществах, которые не тонут, можно убедиться, что фигура тела не оказывает влияния на опускание или неопускание его на дно, так как вода свободно проникается любою фигурою.

Сделаем конус или пирамиду из кипариса, ели или иного дерева подобного веса, или же из чистого воска; пусть эта фигура будет достаточной высоты, например в пядь или более; поместим ее в воду основанием книзу. Мы увидим, во-первых, что пирамида проникнет в воду, чему совсем не помешает ширина основания; однако она не вся погрузится, а будет  {67}  выставлять из воды вершину, откуда ясно, что такое твердое тело останавливается в погружении не по невозможности разделить сцепление частиц воды, так как оно уже разделило водяные частицы своей широкой стороной, по мнению наших противников, наименее способной разделять. Когда пирамида установится, заметим, какая часть ее находится над водою; обратив ее затем острым концом вниз, увидим, что она проникает в воду не более, чем прежде; напротив, если отметим, до какой черты она погрузилась, каждое лицо, знакомое с геометрией, будет в состоянии вычислить, что части, остающиеся над водой и в том и в другом опыте совершенно равны по объему, откуда вытекает, что острая фигура, казавшаяся более приспособленной для разделения воды и проникновения в нее, разделяет ее не более, чем фигура широкая и плоская.

Кто захочет произвести еще более наглядный опыт, пусть сделает из того же материала два цилиндра — один длинный и тонкий, а другой короткий, но более широкий, и опустит их в воду не боком, но прямо, основанием вниз; измерив тщательно части того и другого, он увидит, что в каждом из цилиндров погруженная часть по отношению к той, которая остается вне воды, сохраняет в точности ту же пропорцию и что у длинного и легкого цилиндра погружается не большая часть, чем у более объемистого и широкого, хотя последний и опирается на большее пространство поверхности воды, чем первый; итак, различие фигуры не облегчает и не затрудняет опускания и проникновения в воду, а следовательно, не может быть и причиною опускания или неопускания на дно. Подобное же отсутствие влияния разности фигур при подъеме тел со дна на поверхность обнаруживается, если возьмем воск, прибавим к нему достаточное количество свинца, чтобы он сделался определенно тяжелее воды, сделаем из него шарик и опустим его на дно; после того привяжем к нему столько пробки или другого легкого вещества, чтобы последнего было как раз достаточно для всплывания воска на поверхность; при раскатывании затем воска в широкую пластинку и при любом ином изменении его формы найдем, что та же пробка таким же образом поднимает его вверх.

Но мои противники не удовлетворяются этим, говоря, что для них мало значат все мои приведенные до сих пор рассуждения. Основываясь на одном своем примере, в котором вещество и фигуры, избранные ими, были плоская дощечка и шарик эбенового дерева, причем, как они показали, последний идет ко дну, а первая остается на поверхности, они утверждают, что так как вещество одно и то же, различие же заключается лишь в фигурах тел, то они и достигли своей цели, наглядно и окончательно доказав то, что им требовалось. Тем не менее я верю и, надеюсь, в состоянии показать, что такой опыт не заключаете себе ничего, противного моим выводам.

Во-первых, неверно, что шарик идет ко дну, а дощечка нет, потому что дощечка так же тонет, как и всякая иная фигура, если с ней поступить  {68}  так, как то требуется по условиям нашей задачи, т. е. если она будет положена в воду.

Существо нашего спора таково: противники полагают, что фигура вносит изменение в способность твердых тел подниматься или не подниматься, опускаться или не опускаться в жидкой среде, например в простой воде, таким образом, что, например, твердое тело сферической формы пойдет ко дну, а при придании ему иной фигуры — не пойдет; я, полагая противное, утверждаю, что твердое тело, которое, имея сферическую форму, упадет на дно, упадет туда и при всякой иной форме. Но быть в воде — это значит быть помещенным в воду; а, по определению понятия места тем же Аристотелем, быть помещенным — значит быть окруженным поверхностью объемлющего тела; следовательно, обе фигуры тогда только будут в воде, когда поверхность воды их окружает и объемлет. Но, когда противники показывают эбеновую дощечку, не опускающуюся на дно, они кладут ее не в воду, а сверх воды, где она, удерживаемая некоторым препятствием (как это выяснится ниже), и остается окруженная частью водою, частью же воздухом, каковое обстоятельство противно нашему условию, согласно которому тела должны быть в воде, а не частью в воде, частью в воздухе.

А что это именно так, видно из самой постановки вопроса, касающегося как тел, которые должны тонуть, так и тех, которые со дна должны подниматься на поверхность; а кто же не признает, что вещи, помещенные на дно, должны быть окружены водою?

Заметим, далее, что эбеновая дощечка и шарик, положенные в воду, оба пойдут ко дну, но шарик быстрее, а дощечка медленнее, и тем медленнее, чем она шире и тоньше; и причиной такого замедления является действительно ширина фигуры. Но дощечки, которые медленно опускаются, те же самые, которые, легко положенные на воду, плавают; следовательно, если бы утверждение противников было правдою, то одна и та же фигура в одной и той же воде была бы причиною то покоя, то медленности движения, что невозможно, потому что каждая особая фигура, опускающаяся на дно, необходимо имеет собственную и присущую ей от природы медленность, в соответствии с которой она опускается; увеличенная или уменьшенная медленность движения не свойственна ее природе; поэтому, если дощечка, скажем, в квадратную пядь, опускается естественно с медленностью, которую мы обозначим семью градусами, то невозможно, чтобы она опускалась с десятью или двадцатью градусами медленности, если только какое-нибудь новое препятствие не будет тому причиною. Еще менее может она по причине той же фигуры успокоиться и остаться совершенно лишенной движения; каждый раз, когда она останавливается, необходимо искать какое-либо встретившееся препятствие, независимое от ширины фигуры. Итак, что-то иное, чем форма, удерживает эбеновую  {69}  дощечку над водой, потому что форма влияет единственно на замедление движения, почему дощечка и опускается медленнее шарика. Поэтому в рассуждении своем я и говорю, что истинная и единственная причина опускания на дно эбена — это перевес его тяжести над весом воды, большей же или меньшей медленности движения — более широкая или более сжатая фигура; но об остановке движения никоим образом нельзя сказать, чтобы причиною ее было свойство фигуры, потому что, если и будем достигать большой медленности, по мере того как расширяется и утончается фигура, то все же нельзя представить себе такого огромного расширения, которому не соответствовала бы чрезвычайная медленность, не достигающая, однако, полного отсутствия движения; фигуры, выставляемые противниками для доказательства покоя, на самом деле идут ко дну.

Я не могу умолчать о другом доказательстве, основанном также на опыте, из которого, если я не ошибаюсь, можно определенно заключить, что ширина фигуры и сопротивление воды разделению не производят никакого действия на движение или покой тела в воде. Выберем дерево или другой материал, шарик из которого поднимается со дна на поверхность медленнее, нежели опускается на дно шарик эбенового дерева, из чего заключаем, что эбеновый шарик быстрее разделяет воду при погружении, чем другой при подъеме; пусть выбранное вещество будет ореховое дерево. Сделаем теперь из ореха дощечку, совершенно сходную и одинаковую с остающейся на поверхности эбеновой дощечкой наших противников; если правда, что она остается там благодаря неспособности своей фигуры по ее ширине разделить водяные частицы, то ореховая дощечка, будучи помещена на дно, без всякого сомнения, должна будет остаться там, как неспособная в силу той же особенности фигуры преодолеть ту же плотность воды. Но, если мы найдем и на опыте увидим (а оно так и будет), что не только дощечка, но и всякая иная фигура из того же ореха будет подниматься на поверхность, пусть мои противники перестанут приписывать плавание эбена форме дощечки, так как сопротивление воды одинаково наверху и внизу, а сила подъема орехового дерева на поверхность менее силы опускания эбенового дерева ко дну.

Сверх того, замечу следующее: сравнив золото с водою, найдем, что оно превосходит ее по весу в 20 раз; отсюда сила и импульс, с которыми золотой шарик идет ко дну, очень велики.

С другой стороны, нет недостатка в веществах, как-то: простой воск и дерево разного рода, которые по тяжести разнятся едва на два процента от воды; поэтому они поднимаются в воде очень медленно: стремление их к подъему раз в тысячу слабее, нежели стремление золота опуститься; и все же тонкая золотая пластинка плавает, не опускаясь на дно, в то время как мы не можем сделать из воска или дерева пластинки, которая, будучи положена на дно, осталась бы там без движения. Теперь, если фигура  {70}  может воспрепятствовать разделению воды и помешать опусканию золота, имеющего большое стремление тонуть, то почему ее не будет достаточно, чтобы воспрепятствовать разделению воды другим веществом при его подъеме, хотя оно при этом обладает едва ли одной тысячной силы стремления золота ко дну?

Необходимо, следовательно, признать, что поддерживает тонкую пластинку золота и эбеновую дощечку что-то такое, чего недостает другим пластинкам и дощечкам из веществ легче воды, ибо они, будучи помещены на дно и оставлены на свободе, беспрепятственно всплывают на поверхность; но они обладают плоской и широкой фигурой; следовательно, не фигура удерживает золото и эбен на поверхности. Какая же здесь действует причина? Я сказал бы, что это нечто противоположное причине, по которой тело опускается на дно, так как опускание на дно и нахождение на поверхности суть явления противоположные, а причины противоположных явлений также должны быть противоположными.

Но, так как причиною опускания на дно эбеновой дощечки и тонкой золотой пластинки, когда они тонут, является, без всякого сомнения, их большая по сравнению с водою тяжесть, то необходимо признать, что причиною их нахождения на поверхности, когда они плавают, является легкость, которая в этом случае, каким-то до сих пор незамеченным образом присоединяется к дощечке, делая ее не такой, какой она была ранее, когда тонула, т. е. не более тяжелой, чем вода, а более легкой. Но эта новая легкость не может зависеть от фигуры, как потому, что фигуры не прибавляют и не отнимают веса, так и потому, что в дощечке не происходит никакого изменения в фигуре, когда она идет на дно и когда плавает на поверхности.

Возьмем теперь опять тонкую золотую или серебряную пластинку или дощечку из эбенового дерева и положим их легонько на воду так, чтобы они остались там, не погружаясь, и будем наблюдать, что при этом происходит. Прежде всего увидим, насколько неосновательны слова Аристотеля и моих противников, что они останутся на поверхности по неспособности разделить противодействующую плотность воды и проникнуть в нее, ибо наглядно выяснится, что эти пластинки не только проникнут в воду, но будут значительно ниже ее поверхности; вода кругом этих пластинок возвышается, образуя нечто вроде вала, в глубине которого те плавают, и сообразно тому, во сколько раз вещество этих пластинок будет тяжелее воды — в два, четыре, десять или двадцать раз,— и поверхность их будет ниже общей поверхности окружающей воды на величину, во столько-то и столько-то раз превосходящую их собственную толщину, как то впоследствии будет показано.

Пока для лучшего усвоения сказанного рассмотрим прилагаемый чертеж, на котором поверхность воды обозначена линией BDLF; если положим  {71}  на нее дощечку из вещества тяжелее воды так осторожно, чтобы она не потонула, то она не только не останется сверху, но всей своей толщиной войдет в воду и опустится еще, как то показано на чертеже для дощечки OIAI, которая всей своей толщиной погружается в воду, а вокруг нее остаются валики LA, DO воды, поверхность которой значительно выше поверхности дощечки. Теперь мы видим, насколько справедливо мнение, будто пластинка не идет ко дну по причине неспособности ее фигуры преодолеть плотность воды! Но, если она уже преодолела сплошность воды и по своей природе тяжелее воды, то по какой же причине она не продолжает погружаться, а останавливается и остается как бы подвешенной в той впадине, которая образовалась в воде от ее тяжести? Отвечаю: по той причине, что при погружении пластинка, после того как поверхность ее придет в соприкосновение с водой, теряет часть своего веса, а остальной вес утрачивает по мере погружения и опускания ниже уровня воды, которая образует со всех сторон род валика; и такая потеря происходит вследствие того, что пластинка увлекает и опускает с собою прилегающий к ней воздух, который затем и заполняет впадину между валиками воды; в этом случае опускается и помещается в воде не только одна дощечка из эбена или железа, но соединение эбена или железа и воздуха, почему и получается тело, уступающее по тяжести воде, в противоположность тому, что имеет место для простого эбена или золота. И если внимательно рассмотрим, каково в качественном и количественном отношении то тело, которое в данном опыте входит в воду, составляя противовес ее тяжести, то найдем, что к нему принадлежит все то, что находится ниже уровня воды, т. е. что это есть агрегат, или соединение, например эбеновой дощечки и почти такого же объема воздуха, свинцовой пластинки и десяти или двенадцати равных ей объемов воздуха и т. д. Но, синьоры противники, в нашем вопросе предполагается тождество вещества; изменению могла подлежать только фигура; поэтому отнимите этот воздух, который, соединяясь с дощечкой, делает ее другим телом, более легким, чем вода, и положите в воду простой эбен; наверное, вы увидите, что дощечка пойдет на дно; если же этого не случится, то вы выиграли спор. А чтобы отделить воздух от эбена, нам достаточно будет слегка смочить тою же водой поверхность взятой дощечки, потому что, как только между дощечкой и воздухом будет помещена вода, другая окружающая вода без помехи сольется с нею и примет в себя, как то и подобает, один простой эбен.

Но я уже предчувствую, как кто-нибудь из противников возражает, что они и не ожидали ничего иного, раз дощечка была смочена, так как  {72}  прибавленный вес воды делает пластинку более тяжелой, чем прежде, и тянет ее на дно, но что добавление веса противно нашему условию, согласно которому вещество должно оставаться тем же самым.

На это отвечу, во-первых, что, рассматривая вопрос относительно влияния формы на тела, помещенные в воду, никто не должен ставить условием помещение их в воду без смачивания; со своей стороны, я не требую ничего иного, кроме того, чтобы с дощечкою поступали так же, как с шариком. Сверх того, неверно, что дощечка идет ко дну в силу прибавления новой тяжести только от того, что она слегка смочена водою, потому что я могу налить на дощечку, пока она находится на поверхности, десять или двадцать капель воды, и эти капли, если они не соединятся с окружающей водой, не отягчат ее настолько, чтобы она потонула; но, если вынуть дощечку и, стряхнув с нее всю налитую на нее воду, одной только мельчайшей каплею смочить ее поверхность и опять положить дощечку на воду, то она, без сомнения, потонет, так как окружающая вода притечет и покроет ее, не задерживаемая более воздухом, каковой, вследствие введения легкого покрова воды, мешающего его непосредственному соприкосновению с эбеном, беспрепятственно отделяется и совсем не противится притоку воды. Иначе говоря, пластинка опустится свободно потому, что вся окажется окруженной и покрытой водою, как только ее верхняя часть, уже смоченная водой, коснется уровня общей поверхности воды. Говорить, что вода может увеличить тяжесть тел, в ней помещающихся, совершенно нелепо, так как вода в воде не имеет никакой тяжести, ибо она в ней не опускается. Поэтому, если захотим хорошенько рассудить, какое действие оказывает некоторое огромное количество воды, расположенное над находящимся в ней тяжелым телом, то найдем по опыту, что она, наоборот, скорее уменьшает, и в значительной мере, его вес; мы можем поднять в воде со дна тяжелый камень, а, удалив воду, не сможем сделать этого. На это мне возразят, что хотя расположенная поверх находящихся в ней тел вода не прибавляет им тяжести, но она прибавляет тяжесть тем, которые плавают и находятся частью в воде, частью в воздухе, как то видим на примере медного сосуда, который, пока не содержит воды и наполнен воздухом, остается на поверхности, но налитый водою становится таким тяжелым, что опускается на дно,— и это по причине прибавления новой тяжести. На это я отвечу, как и ранее, что не тяжесть воды, содержащейся в сосуде, тянет его на дно, но собственная тяжесть меди, превосходящая по удельному весу воду, и что если бы сосуд был сделан из вещества легче воды, то океана было бы недостаточно, чтобы его потопить. Да позволено мне будет вновь подчеркнуть как основной и главный пункт нашего вопроса, что воздух, содержавшийся внутри сосуда до заполнения его водою, и поддерживал его на поверхности, ибо из него и меди образовалось соединение, более легкое, чем соответственный объем воды; место  {73}  же, занимаемое сосудом, пока он плавает, равно не одной меди, но вместе и меди и воздуху, заполняющему часть сосуда, находящуюся ниже уровня воды. Когда затем наливается вода, то воздух вытесняется и получается соединение меди и воды по удельному весу тяжелее простой воды, но вовсе не в силу налитой воды, которая не имеет большего удельного веса, чем всякая другая вода, а вследствие собственной тяжести меди и удаления воздуха. Если бы кто-нибудь утверждал, что медь, по природе своей тонущая, которой придана форма сосуда, приобретает поэтому способность оставаться на воде, не опускаясь, я скажу, что это неверно, потому что медь, которой придана любая форма, всегда тонет, лишь бы то, что опускается в воду, было простой медью; что не фигура сосуда заставляет плавать медь, но то обстоятельство, что опускается в воду непросто медь, но агрегат меди и воздуха. Так же не менее ложно и то, что тонкая пластинка из меди или эбена плавает в силу широкой и плоской фигуры, но вполне верно, что она остается, не погружаясь, потому что опускается в воду не чистая медь или простой эбен, но агрегат меди и воздуха или эбена и воздуха. И это нисколько не противно моим заключениям, когда я, тысячу раз наблюдая металлические сосуды и тонкие пластинки тяжелых веществ, плавающие в силу связанного с ними воздуха, утверждаю, что не фигура является причиною опускания или неопускания на дно тел, помещенных в воду. Не могу умолчать, но прямо скажу противникам, что их новое требование — не допускать, чтобы поверхность дощечки была смочена,— может навести лиц сторонних на мысль, что их аргументы в защиту своего мнения весьма скудны, тем более, что такое смачивание, по существу нашего вопроса, не должно бы огорчать их или вообще иметь какое-либо значение, так как спор возник относительно плавания льдин, сухость поверхности которых легко может быть оспариваема; к тому же, суха поверхность льда или смочена, льдины все же плавают и, как утверждают противники, в силу их фигуры.

Может быть, кто-нибудь вздумает сказать, что после смачивания верхней поверхности эбеновой дощечки она, сама по себе неспособная разделить воду и проникнуть в нее, увлекается книзу, если и не тяжестью смачивающей воды, то, по крайней мере, тем стремлением и склонностью, которые верхние части воды имеют к воссоединению и слиянию, и стремлением этих частей дощечка как бы увлекается книзу.

Но и такое слабое обоснование совсем отпадет, если принять во внимание, что, какова склонность верхних частей воды к соединению, таково же противодействие нижних частей их разъединению; ни верхние не могут соединиться с нижними, не надавив книзу дощечку, ни последняя не может опуститься, не разделив частей находящейся ниже воды, откуда вытекает, как необходимое следствие, что по подобным причинам дощечка не должна опуститься. Притом же все только что сказанное о верхних  {74}  частях воды с таким же правом может быть отнесено и к нижним, которые, стремясь к соединению, выталкивают дощечку кверху.

Может быть, кто-нибудь из синьоров, не согласных со мною, удивится моему утверждению, что прилегающий сверху воздух в состоянии поддержать пластинку меди или серебра, которая держится на воде; выходит, что я хочу приписать воздуху как бы свойство магнита — поддерживать тяжелые тела, с которыми он соприкасается¹⁹. Желая; насколько это мне возможно, разрешить все затруднения, я думал, каким бы иным наглядным опытом показать, что действительно малое количество прилегающего сверху воздуха поддерживает тела, которые, будучи по природе своей склонными опускаться на дно, положенные легко на воду, не тонут, если ранее не смочены водою; и я нашел, что, если такое тело опустилось на дно, то, ничем не трогая его, но прибавив к нему в небольшом количестве воздух, который бы прикоснулся к его вершине, можно добиться не только того, что, как мы видели ранее, воздух будет поддерживать тело, но даже поднимет и поведет его вверх, где оно остановится и будет пребывать в покое, пока не отнимется помощь соприкасающегося с ним воздуха. Для этого опыта я взял восковой шарик с чистой и гладкой поверхностью и сделал его путем прибавления свинца настолько тяжелым, чтобы он очень медленно опускался на дно; осторожно положенный в воду, он погружается почти весь, оставляя видной только верхушку, которая, пока соприкасается с воздухом, поддерживает шарик наверху; но если отнять этот воздух, смочив шарик, то последний опускается на дно и там остается. Постараемся теперь той же силой воздуха, которая поддерживала шарик, привести его обратно наверх и там задержать. Для этого опустим в воду отверстием вниз опрокинутый стакан, который захватит с собою заключающийся в нем воздух; направляя его сперва к шарику и опуская до тех пор, пока не заметим через прозрачное стекло, что содержащийся в стакане воздух достиг верхушки шарика, медленно вынем затем стакан; при этом мы увидим, что и шарик поднимется и остановится наверху, если отделим стакан от воды так осторожно, чтобы она не взволновалась. Следовательно, между воздухом и другими телами существует известная связь, которая держит их в некотором соединении, так что они отделяются друг от друга только с некоторым усилием. Подобное же явление наблюдается и с водою: если погрузим в нее какое-нибудь тело так, чтобы оно омылось кругом водою, то, вынимая его осторожно обратно, увидим, как вода последует за ним и поднимется заметно над своей поверхностью, прежде чем отделится от тела. Точно так же и твердые тела, имеющие совершенно одинаковую поверхность и столь плотно прилегающие одно к другому, что между ними не остается воздуха, который, рассеиваясь при их разделении, позволяет окружающей среде заполнять образующееся между телами пространство,— крепко  {75}  соединяются и отделяются друг от друга только с большим усилием. Но так как воздух, вода и другие жидкости при прикосновении к твердым телам весьма легко облекают их, причем их поверхность в совершенстве уподобляется поверхности облекаемого твердого тела, то поэтому на них чаще и нагляднее обнаруживается действие такого соединения и прилегания, чем на телах твердых, поверхности которых редко прилегают одна к другой надлежащим образом. Такова, следовательно, та магнетическая сила, которая плотно соединяет все тела, соприкасающиеся при отсутствии между их поверхностями податливых жидкостей; и, кто знает, не это ли теснейшее соприкосновение является достаточной причиной цельности и сплошности частей тел в природе?

Теперь, продолжая мое рассуждение, скажу: не следует ссылаться на связность частей воды между собою, благодаря которой они сопротивляются и противодействуют разделению и рассеиванию, потому что такой связности и противодействия не существует; если бы они существовали, то во внутренних слоях воды они сказывались бы не в меньшей степени, нежели в ближайших к поверхности, так что та же дощечка, встречая всюду одинаковое противодействие и задержку, могла бы останавливаться равно хорошо среди воды, как и на поверхности, чего не бывает на самом деле. К тому же, какое сопротивление разделению можно приписать воде, если мы видим, что невозможно найти такое тело, какого бы то ни было состава, формы и величины, которое, помещенное в воду, осталось бы неподвижным благодаря связности частей воды между собою, а не двигалось вверх и вниз сообразно имеющей в данном случае место причине движения? И какого лучшего опыта в подтверждение сказанного будем искать, когда ежедневно видим, как мутная вода, налитая в сосуды для питья, в течение нескольких часов, как говорят, еще беловата, а по прошествии четырех — шести дней становится совершенно чистой и прозрачной? Ее сопротивление не может задержать даже тончайших неосязаемых атомов песка, которые по ничтожности своей силы употребляют шесть дней, для того чтобы опуститься вниз на пространство в поллоктя.

Кто-нибудь может сказать, что ясным доказательством сопротивления воды разделению и является то, что такие легкие тельца употребляют шесть дней, чтобы опуститься на такое короткое пространство; но это не противодействие разделению, а лишь замедление движения, и было бы наивно говорить, что какое-нибудь тело противится разделению и в то же время допускает себя разделить. Для противников недостаточно приводить случаи замедленного движения, им необходимо найти пример, где движение совершенно устраняется, и наступает покой; необходимо, следовательно, найти такие тела, которые останавливались бы в воде, указывая тем на ее сопротивление разделению, а не только такие, которые  {76}  движутся с замедлением. Какова же эта плотность воды, в силу которой она противится разделению? Какое суждение будем мы иметь о ней (о чем я говорил и раньше) после того, как, стараясь со всей тщательностью привести вещество настолько близко по весу к воде, чтобы оно, хотя бы в форме широкой пластинки, осталось подвешенным между водяными слоями,— не можем достигнуть этого, хотя и подойдем к тождеству веса настолько близко, что количество свинца с четвертую часть зернышка проса, прибавленное к этой широкой пластинке, весящей на воздухе от четырех до шести фунтов, заставляет его тонуть, а отнятое — подниматься на поверхность? Я не знаю (если правильно то, что мною сказано, а это несомненная истина), какую ничтожную способность или силу надо отыскать или вообразить, чтобы противодействие воды разделению и рассеянию ее частиц было не меньше этой силы, из чего необходимо заключить, что противодействие это равно нулю. Если бы оно действительно было сколько-нибудь осязательным, то мы могли бы сделать из вещества, по тяжести равного воде, такую широкую пластинку, которая не только оставалась бы между водяными слоями, но и не могла бы без значительного усилия опуститься или подняться. Ту же истину мы можем извлечь из другого опыта, показав, как вода подобным же образом поддается разделению поперек. Если в спокойную стоячую воду поместим какое-нибудь плавающее тело огромного объема и потянем его осторожно, с помощью хотя бы одного женского волоса, то мы сможем перевести его с одного места на другое без всякого препятствия, хотя бы фигура его была любая, захватывающая большое пространство воды (например, большое бревно, положенное поперек). Кто-нибудь может возразить мне, что если бы сопротивление воды разделению равнялось, как я утверждаю, нулю, то кораблям не требовалось бы столько силы весел и парусов, чтобы передвигаться с места на место даже в спокойном море или в стоячих озерах. Тому, кто сделал бы подобное возражение, я отвечу, что вода противится и противодействует не просто разделению, но быстрому разделению, с тем большею силою, чем больше скорость. Причина такого противодействия заключается вовсе не в плотности или другом свойстве, абсолютно противящемся разделению, но в том, что разделяемые части воды, чтобы дать место телу, которое в ней движется, должны перемещаться отчасти направо, отчасти налево и еще отчасти вниз, и это делается не только с водой впереди корабля или другого тела, плывущего по воде, но и с водой, находящейся позади корабля и следующей за ним, потому что корабль в своем движении вперед, чтобы освободить место, способное вместить его объем, должен носовой частью оттеснить ближайшие части воды направо и налево, передвигая их в этом направлении на пространстве до половины своего корпуса; и такой же обратный путь должны пройти части воды, которые, следуя за кормою, устремляются от наружных  {77}  частей судна к середине, чтобы последовательно заполнять места, которые корабль освобождает при движении вперед. Теперь, так как все движения совершаются во времени и более длинное пространство тело проходит и в более продолжительный срок, так как, далее, признано за истину, что тело, движущееся с определенною силою и проходящее в некоторое время определенное пространство, может пройти такое же пространство в более краткий срок лишь при условии приложения большей силы, то понятно, почему более широкие суда движутся медленнее, чем узкие, если движущая сила одинакова, и почему судно требует тем большей силы весел или ветра, чем быстрее оно должно двигаться.

И не существует плавающего в воде тела такого большого размера, чтобы оно не могло быть приведено в движение помощью ничтожной силы; верно лишь то, что меньшая сила движет его медленнее, но, если бы сопротивление воды разделению было хотя в какой-нибудь мере ощутительно, следствием было бы то, что этот объем при известной ощутительной силе сопротивления остался бы совершенно неподвижным, чего не случается. Скажу более, когда мы займемся более внимательным исследованием природы воды и других жидкостей, то мы, быть может, откроем, что строение их таково, что они не только не противятся разделению, но что в них нет ничего, что подлежало бы разделению; сопротивление, ощущаемое при движении в воде, может быть уподоблено тому затруднению, какое мы испытываем, продвигаясь через большую толпу народа, где встречаем препятствие не вследствие трудности разделения, так как мы не разделяем никого из составляющих толпу, но вследствие необходимости раздвигать в стороны отдельных и не связанных друг с другом людей; такое же сопротивление мы испытываем, вытаскивая дерево из песчаной кучи, не потому, что надо разделять части песка, а потому, что надо поднимать и передвигать их. Существуют два рода проникновения одних тел через другие: одно — через тела, части коих связаны, и тут разделение представляется необходимым, другое — через тела, представляющие собрание частиц, не связанных, а только прилегающих друг к другу; здесь требуется не разделение, но лишь передвижение. Пока я еще не решил окончательно, следует ли считать воду и другие жидкости состоящими из частиц, связных или только прилегающих друг к другу; скорее я склонен признать частицы их только прилегающими друг к другу (если в природе нет других родов соединения, кроме связности и тесного соприкосновения), к чему приводит меня нахождение большого различия между соединением частей твердого тела и соединением этих же частей, когда то же самое тело сделано жидким и текучим. Если, например, я возьму кусок серебра или другого металла в холодном и твердом виде, то, разделяя его на две части, я почувствую сопротивление не только такое,  {78}  какое чувствовалось бы при передвижении их, но несравненно большее, зависящее от величины той силы, — каково бы ни было ее существо, — которая держит частицы связными; если захотим разделить обе половины на две части и так последовательно далее, то постоянно будем встречать подобное же сопротивление, но тем меньшее, чем мельче разделяемые части; когда же, наконец, мы прибегнем к тончайшим и острейшим инструментам, каковы тончайшие частицы огня, и посредством их расплавим металл до последних его мельчайших частиц, то в них не останется более не только сопротивления разделению, но даже и возможности к дальнейшему разделению, по крайней мере, орудиями более грубыми, чем частицы огня; какая пила или нож, погружаемые в хорошо расплавленное серебро, найдут что-либо для деления после участия огня? Все вещество уже будет приведено к тончайшим неделимым частицам; если при этом все же останутся части, способные к дальнейшему делению, то достигнуть его мы можем не иначе, как через посредство делительных инструментов еще более острых, чем огонь; но не таковы железные прутики и пластинки, которыми мы мешаем расплавленный металл. Я признаю в воде и других жидкостях такое же строение и расположение частиц и неспособность последних к разделению по причине их тончайшей сущности; если они и не окончательно неделимы, то, по крайней мере, не могут быть разделены доскою или другим твердым телом, служащим орудием в наших руках, так как режущее орудие должно быть тоньше разделяемого твердого тела. Итак, твердые дела, плавающие в воде, только движутся в ней, но не разделяют ее частей, которые уже разделены до крайних пределов и лишь в силу тесного прилегания держатся вместе; эти мельчайшие частицы дают место каждому малому телу, которое опускается в воду, ибо как бы мало и легко оно ни было, спустившись из воздуха и достигнув поверхности воды, оно находит еще более мелкие частицы воды с еще меньшим сопротивлением движению и вытеснению их, чем его собственная давящая и вытесняющая сила, почему оно и погружается и приводит в движение соответствующую своей силе часть воды. Таким образом, в воде нет никакого сопротивления разделению, так как нет частиц, которые могли бы быть разделяемы. Теперь добавлю, что если бы мы нашли какое-либо малейшее сопротивление (что совершенно ложно), желая при помощи волоса привести в движение большое плавающее тело или прибавлением ничтожной части свинца опустить на дно и, обратно, отнятием свинца заставить подняться на поверхность большую пластинку вещества, вполне сходного с водою по тяжести (чего также не случится, если действовать осторожно), то необходимо заметить, что это сопротивление есть нечто совсем отличное от того, которое противники приводят как причину плавания полосок свинца или эбеновых дощечек, потому что можно сделать эбеновую доску, которая, будучи положена на воду,  {79}  станет плавать, и чтобы потопить ее, недостаточно будет и ста гран свинца; но если потом смочить эту доску водою, то она не только опустится без всякого свинца, но и никакая пробка или другое легкое тело, прикрепленное к ней, не сможет удержать ее от погружения на дно. Отсюда видно, что если мы даже допустим наличность в субстанции воды какого-то малого сопротивления разделению, то оно совершенно ничтожно по сравнению с причиной, удерживающей на воде дощечку и обладающей силою в сто тысяч раз большей той, какую можно предположить в частицах воды. Пусть также не говорят мне, что только поверхность воды обладает свойством сопротивления, а не внутренние части, или что такое сопротивление, вероятно, больше при начале разделения, как то, по-видимому, имеет место при движении, когда тело оказывает более сопротивления при начале движения, нежели при продолжении его, потому что, во-первых, я предложу привести воду в движение и перемешать верхние слои со средними и нижними, или, устранив верхние слои, воспользоваться только средними — все равно, результат получится одинаковый. Волос, тянущий по воде бревно, должен разделять именно верхние ее части, а также начать движение, и все же он начинает его и разделяет воду; наконец, поместив дощечку среди воды, продержим ее там в покое некоторое время, а затем опустим; она тотчас же начнет движение вниз и продолжит его до самого дна; но и дощечка, остающаяся поверх воды, не должна начинать движения или разделения водяных частиц, так как на известную глубину она уже погрузилась.

Итак, признаем правильным и несомненным тот вывод, что вода не оказывает никакого сопротивления простому разделению и что невозможно найти такое твердое тело, какой бы то ни было формы, которое, будучи помещено в воду, было бы лишено возможности благодаря плотности последней двигаться вниз и вверх сообразно тому, превосходит ли оно воду по весу или уступает ей, хотя бы такой излишек или разница были неощутимы. Когда же мы видим, как доска из эбена или другого вещества тяжелее воды останавливается на границе воды и воздуха, не погружаясь, то, чтобы открыть причину такого явления, мы должны будем прибегнуть к чему-либо другому, а не к ширине фигуры, неспособной преодолеть сопротивления, оказываемого водою разделению, ибо такого сопротивления не существует, а тому, что не существует, нельзя приписывать никакого действия.

Итак, остается признать вполне правильным то, что уже было сказано выше, а именно: указанное явление происходит по той причине, что помещается в воду не то тело, которое тонет, ибо тонет чистая эбеновая доска, которая, будучи тяжелее воды, идет ко дну,— кладется же на воду соединение эбена и некоторого количества воздуха, которое по удельному весу легче воды и потому не опускается.  {80} 

Подтверждаю еще более то, что сказано. Мы согласились, синьоры противники, что тяжесть твердого тела, большая или меньшая по отношению к тяжести воды, есть истинная и действительная причина его движения в воде вниз и вверх. Теперь, если вы желаете показать, что кроме названной причины существует еще другая, настолько сильная, что может помешать движению ко дну опускающегося из-за своей тяжести тела или даже изменить это движение, и выставляете как такую причину ширину фигуры тела, вы обязаны каждый раз, как хотите показать опыт, сначала удостовериться, что тело, помещаемое вами в воду, действительно по удельному весу не легче воды, ибо, если вы этого не сделаете, каждый с основанием может сказать, что не фигура, а легкость тела есть причина его плавания. Но я говорю вам, что когда вы показываете, как кладете в воду эбеновую дощечку, в действительности вы кладете тело по удельному весу не большее, но меньшее воды, ибо вместе с эбеном идет в воду некоторый объем воздуха в соединении с дощечкою, который настолько легок, что из обоих образуется соединение легче воды; отнимите теперь воздух и положите в воду один эбен, т. е. тело тяжелее воды, и если оно не пойдет ко дну, то вы рассуждаете правильно, я же ошибался.

Теперь, после того как найдена истинная причина плавания тел, которые как более тяжелые должны бы были идти ко дну, мне кажется, что для полного и ясного познания этого вопроса было бы хорошо на опыте раскрыть те особые условия, с которыми связаны подобные явления, рассмотрев, какие пропорции должны иметь разные фигуры из разных веществ в соответствии с тяжестью воды, чтобы в силу пристающего к телу воздуха удерживаться на поверхности.

Для большей ясности, пусть имеем сосуд DENE, содержащий воду, и пластинку или дощечку, толщина которой определяется линиями IС, OS; пусть она сделана из вещества тяжелее воды, так что при помещении на поверхность воды она опускается ниже уровня воды в сосуде, оставляя по сторонам валики АI, ВС предельной величины, т. е. такой, что если пластинка опустится еще хотя на самое ничтожное расстояние, то валики не удержатся, но, вытеснив воздух AICB, растекутся над поверхностью IС и затопят пластинку. Величина AI или ВС есть, следовательно, наибольшая глубина, которую допускают валики воды. Теперь я говорю, что на основании этой величины и отношения веса веществ к весу воды мы легко можем найти, какой предельной толщины могут достигать названные пластинки из разного материала, чтобы продолжать удерживаться на воде. Положим, что вещество пластинки IS будет вдвое тяжелее воды; в таком случае пластинка из этого вещества может иметь толщину, приблизительно равную высоте AI, что докажем следующим образом. Пусть тело IS по удельному весу вдвое тяжелее воды и имеет форму правильной призмы или цилиндра, т. е. имеет две плоских поверхности,  {81}  верхнюю и нижнюю, совершенно сходные, равные и перпендикулярные к боковым поверхностям; пусть, далее, толщина его —IO равна максимальной высоте валиков воды. Утверждаю, что, будучи положено на воду, тело это не потонет, ибо, если высота AI равна высоте IO, то объем воздуха ABCI будет равен объему тела CIOS, и весь объем AOSB — двойному объему IS; а так как объем воздуха АС не увеличивает и не уменьшает тяжести объема IS, и взятое нами тело IS вдвое тяжелее воды, то отсюда вытекает, что количество воды, занимающее пространство объема AOSB, состоящего из воздуха AICB и твердого тела IOSC, весит ровно столько же, сколько весит весь погрузившийся объем AOSB. Но когда объем воды, равный объему погрузившейся в воду части твердого тела, весит столько же, сколько все это тело, то оно более не опускается, но останавливается, как было доказано Архимедом, а также и нами; следовательно, тело IS не опустится более, но остановится.

Если тело IS будет превосходить воду по удельному весу в полтора раза, то оно останется наверху все время, пока его толщина не превысит двойной предельной высоты валиков, т. е. AI. Так как вес тела IS равен полуторному весу воды, а высота OI равна двойной высоте IA, то погрузившееся тело AOSB будет по объему в полтора раза более тела IS. А так как воздух АС не увеличивает и не уменьшает веса тела IS, то количество воды, занимающее пространство погрузившегося объема AOSB, весит столько же, сколько этот погрузившийся объем; следовательно, объем этот остановится. И вообще всякий раз, когда отношение излишка удельного веса тел над весом воды к весу воды будет равно отношению высоты водяного валика к толщине тела, последнее не пойдет ко дну, при несколько же большей толщине — потонет.

Если тело IS тяжелее воды и имеет такую толщину, что отношение высоты валика AI к толщине тела 10 равно отношению излишка веса этого тела IS над весом объема воды, равного объему IS, к общему весу объема воды, равного объему IS, то утверждаю, что тело IS не потонет, при всякой же большей толщине пойдет ко дну. Как AI относится к IO, так и излишек веса тела IS над весом объема воды, равного объему IS, относится к такому же объему воды, откуда вытекает, что как AO относится к OI, так и вес тела IS относится к весу воды, взятой в объеме, равном IS; обратно, отношение веса воды в объеме IS к весу тела IS будет равняться отношению IO к ОА, но как IO относится к ОА, так относится и объем воды IS к объему воды, равному объему ABSO, или вес объема воды IS к весу объема воды AS; следовательно, вес тела IS равен весу объема воды, равного объему AS; но вес тела IS тот же, что и вес тела AS, составленного из тела IS и воздуха  {82}  ABCI; с другой стороны, все составное тело AOSB весит столько же, сколько весит вода, которая занимала бы место этого соединенного тела AOSB; а посему получится равновесие и покой, и тело IOSC более не погрузится²⁰. Если бы толщина тела увеличилась, то следовало бы увеличить и высоту валиков AI, чтобы сохранить требуемое отношение; но, согласно условию, высота валика AI есть наибольшая, какую только допускает природа воды и воздуха; при увеличении ее вода вытеснит воздух, прилегающий к поверхности тела IС, и заполнит пространство AICB. Следовательно, тело большей толщины, чем IO, и того же вещества, как тело IS, не останется наверху, но опустится на дно, что и требовалось доказать. Из только что мною доказанного могут быть сделаны многие выводы, подтверждающие истинность моего основного положения, которые также покажут, насколько несовершенны были до сего времени суждения по данному вопросу.

Прежде всего из доказанного вытекает, что все вещества, даже самые тяжелые, могут удерживаться на воде, не исключая и золота, самого тяжелого из всех известных нам тел. Приняв во внимание, что вес золота в двадцать раз больше воды, и определив максимальную высоту валика, который может образовать вода, не разрушая воздушного покрова, одевающего поверхность помещаемого на воду тела, сделаем золотую пластинку такой толщины, чтобы последняя не превышала девятнадцатой части высоты названного валика; пластинка, положенная осторожно на воду, останется на поверхности, не опускаясь на дно. Если, например, взять эбен, удельный вес которого относительно воды равен одной и одной седьмой, то наибольшая толщина, какую можно придать эбеновой дощечке, чтобы она оставалась, не погружаясь, будет в семь раз больше высоты валика; медь же, которая в восемь раз тяжелее воды, будет плавать всякий раз, когда толщина ее пластинки не превысит одной седьмой части высоты валика.

Не хочу обойти молчанием и не отметить, как второй вывод из доказанного, что размеры поверхности не только не являются причиною плавания тяжелых тел, которые в ином виде погружаются, но и не влияют нисколько на определение того, каковы должны быть те пластинки из эбена, железа или золота, которые могут оставаться на поверхности; при таком определении следует принимать во внимание одну лишь толщину фигур из эбена, золота и т. д., оставляя совершенно в стороне соображения о длине и ширине, как не оказывающих никакого влияния на данное явление. Уже было выявлено, что причиною плавания таких пластинок служит единственно уменьшение их веса по отношению к весу воды благодаря присоединению воздуха, который вместе с ними опускается и занимает место в воде; когда это место, занятое в воде ранее, чем окружающая вода разольется и заполнит его, вытесняет столько воды, сколько весит  {83}  пластинка, то она остается подвешенной на воде и не тонет. Теперь видно, от которого из трех измерений тела зависит решение вопроса — каков должен быть объем тела, дабы помощи присоединенного к нему воздуха было достаточно, чтобы сделать его по удельному весу легче воды, отчего оно и останется непогруженным; мы нашли, что длина и ширина несомненно не принимают никакого участия в этом определении, но единственно высота или, если угодно, толщина, так что если взять пластинку или дощечку, например из эбена, толщина которой находилась бы в определенной нами пропорции к предельной высоте водяного валика, то она будет плавать, чего не случится при увеличении ее толщины; скажу, далее, что, сохраняя ее прежнюю толщину, мы можем увеличить ее поверхность в два, четыре, десять раз или уменьшить ее разделением на четыре, шесть, двадцать или даже сто частей — и все же она останется таким же образом на поверхности. Но если хотя на один волос увеличится ее толщина, то она потонет, хотя бы поверхность ее увеличилась в сотни и тысячи раз. Итак, истинная причина есть та, присутствие которой производит данное действие, а отсутствие прекращает его; увеличение же или уменьшение каким бы то ни было способом ширины и длины тела не производит и не задерживает опускания на дно; следовательно, увеличение или уменьшение поверхности не оказывает никакого влияния на то, пойдет ли тело ко дну или нет. Тот факт, что при сохранении указанным выше способом найден-ной пропорции между высотою валика воды и высотою тела большая или меньшая поверхность не вносит никакой разницы, вытекает из доказанного выше, а также из того, что объемы призм и цилиндров с одинаковым основанием относятся друг к другу, как их высоты; поэтому все цилиндры и призмы, большие и малые дощечки, если только все они имеют одинаковую толщину, сохраняют одно и то же отношение к прилегающему воздуху, имеющему основанием поверхность дощечки, а высотою — высоту водяного валика, так что из дощечки и воздуха постоянно получаются тела, одинаковые по весу с весом воды, взятой в объеме этих тел, составленных из воздуха и дощечки; поэтому-то все такие тела и остаются на поверхности. Заметим, в-третьих, что всякая фигура из какого угодно вещества, даже тяжелее воды, может благодаря валику удержаться от погружения на дно, но некоторые фигуры, хотя бы из тяжелейшего вещества, могут даже оставаться целиком над водой, смочив только нижнюю свою поверхность, соприкасающуюся с водой; такими именно будут все фигуры, которые от основания идут вверх суживаясь, чему в пример приведем теперь пирамиды и конусы, имеющие между собою много общего. Итак, покажем, как можно сделать пирамиду или конус какого угодно предложенного вещества, которые, будучи опущены основанием на воду, не только не тонут, но смачивают водою только свое основание. Для объяснения этого необходимо сначала доказать следующую лемму, а именно:  {84}  тела, объемы которых обратно пропорциональны их удельному весу, равны по абсолютному весу.

Пусть даны два тела АС и В, причем объем АС так относится к объему В, как удельный вес тела В к удельному весу тела АС. Утверждаю, что абсолютный вес тел АС и В одинаков, т. е., что они равны по тяжести. Если бы объем АС был равен объему В, а удельный вес В был бы равен удельному весу АС, то тогда оба тела, будучи равными как по объему, так и по удельному весу, весили бы одно совершенно столько же, сколько другое. Но объемы тел не равны; объем АС больше, и пусть в нем часть С равна по объему В. Так как объемы В и С равны, то абсолютный вес В будет относиться к абсолютному весу С так же, как удельный вес В относится к удельному весу С или же к удельному весу СА, ибо у последних он одинаков; но какое отношение существует между удельным весом В и удельным весом СА, такое же по заданию существует между объемами СА и В или СА и С, равным В; итак, абсолютный вес В относится к абсолютному весу С так же, как объем СА относится к С; но каково отношение объема СА к С, таково же и отношение абсолютного веса АС к абсолютному весу С; следовательно, между абсолютными весами тел В и С существует то же отношение, что и между абсолютными весами тел АС и С; следовательно, два тела АС и В имеют совершенно одинаковый абсолютный вес, что и требовалось доказать²¹.

Доказав это, утверждаю, далее, что из любого предложенного вещества возможно сделать пирамиду или конус с любым основанием, которые, будучи опущены на воду, не потонут и смочат в воде только свое основание. Пусть максимальная возможная высота валика будет DB, а диаметр основания конуса, сделанного из какого-либо определенного вещества, — линия ВС, перпендикулярная к DB. Предположим, что то отношение, которое существует между удельным весом вещества, из коего сделан конус или пирамида, и удельным весом воды, равно отношению высоты валика DB к одной трети высоты пирамиды или конуса ABC, построенных на основании с диаметром ВС; утверждаю, что такой конус ABC и всякий другой, меньшей высоты, останутся на поверхности воды, не погружаясь. Проведем линию DF, параллельную ВС, и построим призму или цилиндр DС, который будет в три раза более конуса ABC. Цилиндр DC относится к цилиндру ЕС так же, как высота DB к BE, цилиндр же СЕ относится к конусу ABC, как высота ЕВ к третьей части высоты конуса; поэтому  {85}  цилиндр DC относится к конусу ABC, как высота DB к трети высоты BE; но отношение DB к трети BE есть отношение удельного веса конуса AВС к удельному весу воды; следовательно, отношение объема тела DC к объему конуса ABC равно отношению удельного веса этого конуса к удельному весу воды; поэтому на основании предыдущей леммы конус ABC абсолютно весит столько же, сколько объем воды, равный объему DC; но вода, которая опусканием конуса ABC вытесняется со своего места, занимает как раз место DC и по весу равняется давящему на нее конусу; поэтому установится равновесие, и конус останется без дальнейшего погружения. Ясно, что если мы сделаем при том же основании конус меньшей высоты, то он будет легче и тем скорее останется непогруженным²².

Ясно также, как могут быть построены конусы и пирамиды из любого вещества тяжелее воды, которые, будучи помещены в воду вершиною или острием вниз, остановятся, не погружаясь на дно. Припомним все то, что было доказано выше относительно призм и цилиндров, и построим на основаниях, одинаковых с основанием этих цилиндров, конусы из того же вещества, но в три раза выше; они останутся наверху, так как по весу и объему они будут равны цилиндрам, а имея одинаковое с ними основание, захватят наверху одинаковые объемы воздуха, содержащегося между валиками. То, что в виде примера доказано относительно призм, цилиндров, конусов или пирамид, может быть доказано и относительно тел всякой иной формы, но для этого пришлось бы написать целый том, если пожелать включить туда специальные доказательства для всех тел и их сегментов — так велико их число и разнообразие свойств и признаков. Чтобы не растягивать настоящего трактата до бесконечности, я хотел бы ограничиться тем, что сказано выше, полагая, что каждый, обладающий хотя бы средним развитием, понял, что нет такого тяжелого вещества, вплоть до самого золота включительно, из которого нельзя было бы сделать разнообразных фигур, которые поддерживаются и не опускаются на дно в силу пристающего к ним верхнего воздуха, но отнюдь не вследствие сопротивления воды проникновению. Чтобы устранить такое заблуждение, я покажу, далее, как конус или пирамида, помещенные вершиною вниз, не пойдут ко дну, и они же, помещенные основанием вниз, потонут, и будет невозможно заставить их подняться на поверхность. Если бы именно трудность разделить воду задерживала опускание, должно было бы случиться как раз обратное, так как тот же конус гораздо более приспособлен разделять и проникать в воду своей острейшей верхней частью, нежели широким плоским основанием.  {86} 

Для того чтобы доказать это, возьмем конус ABC по удельному весу в два раза больше воды, и пусть высота его будет равна тройной высоте валика DACE. Утверждаю, во-первых, что помещенный осторожно в воду вершиной вниз конус не опустится на дно: воздушный цилиндр, заключающийся между валиками DACE, равен по объему конусу ABC, так что весь объем тела, составленного из воздуха DACE и конуса ABC, будет вдвое более конуса ABC; так как конус ABC сделан из вещества вдвое тяжелее воды, то вода в объеме, занимаемом всем телом DABCE, помещающимся ниже уровня воды, весит столько же, сколько конус ABC; отсюда установится равновесие, и конус ABC не потонет.

Далее, утверждаю, что тот же конус, помещенный основанием в воду, упадет на дно, и невозможно, чтобы он каким бы то ни было образом остался на поверхности. Так, пусть конус ABD будет по удельному весу вдвое тяжелее воды, а высота его — втрое более высоты валика LB. Как уже было выяснено выше, то, что тяжелее воды, не остается на ее поверхности; но так как цилиндр, заключающийся между валиками LBDP, равен конусу ABD, а вещество конуса вдвое тяжелее воды, то ясно, что вес этого конуса будет в два раза больше, чем вес объема воды, равного цилиндру LBDP, почему конус не останется в прежнем положении, но потонет.

Говорю, далее, что во многих случаях конус остановится, погрузившись частью в воду, что можно понять путем сравнения с водою как затонувшей части тела, так и той, которая остается вне воды. Предположим, что у конуса ABD затопляется часть NTOS, выступает же над водой вершина NSF; пусть высота конуса FNS будет равна половине всей высоты конуса FTO или менее половины. Если она будет превышать половину, то конус FNS будет более половины цилиндpa ENSС, так как высота конуса FNS будет составлять более чем полторы высоты цилиндра ENSC. Так как, по заданию, вещество конуса по удельному весу вдвое тяжелее воды, то вода, содержащаяся между валиками ENSС, будет по абсолютному весу легче конуса FNS, откуда следует, что весь конус не может быть Удержан валиком; находящаяся под водою часть NTOS, которая по удельному весу вдвое тяжелее воды, будет тянуть вниз, так что, наконец, весь конус FTO, т. е. как затонувшая, так и верхняя его часть пойдут ко дну. Если, далее, высота конуса FNS будет равна половине высоты конуса FTO, то эта же высота конуса FNS будет составлять полторы высоты EN, а посему ENS С будет равен двойному конусу FNS; вода в объеме, равном цилиндру ENSC, весила бы столько, сколько весит часть конуса FNS; но так как другая затонувшая часть NTOS вдвое тяжелее воды, то вода  {87}  в объеме сложного тела, составленного из цилиндра FNSC и тела NTOS, будет весить меньше, чем конус FTO, именно на столько, сколько весит объем воды, равный телу NTOS; следовательно, конус еще опустится. Если, наконец, тело NTOS будет в семь раз более конуса FNS, цилиндр же ES будет вдвое более последнего, то отношение объема тела NTOS к цилиндру ENSC будет равно 7:2; следовательно, весь объем, составленный из цилиндра ENSС и тела NTOS, будет значительно меньше удвоенного объема тела NTOS; стало быть, одно тело NTOS весит значительно более, нежели вода в объеме сложного тела ENSC и NTOS; отсюда вытекает, что если даже отнять и устранить часть конуса, а именно FNS, то одно остающееся тело NTOS пойдет ко дну. И чем далее погружается конус FTO, тем более становится для него невозможным удержаться на поверхности при все увеличивающейся погружающейся части NTOS и уменьшающемся объеме воздуха, заключенного между валиками, которые сближаются, по мере того как конус утопает. Следовательно, такой конус, который, будучи обращен основанием вверх, а вершиной вниз, удерживается и не идет ко дну, при помещении в воду основанием вниз непременно затонет. Итак, далеки от истины суждения тех, кто видел причину плавания в сопротивлении воды разделению, как в принципе пассивном, и в ширине фигуры, которой вода должна быть разделена, как в принципе действенном.

Перехожу теперь, в-четвертых, к установлению и доказательству моим противникам следующего предложения, а именно, что возможно сделать твердые тела любой фигуры и любой величины, которые по природе своей идут на дно, но с помощью воздуха, содержащегося между валиками, остаются наверху, не погружаясь.

Истина этого предложения достаточно обнаруживается на примере всех твердых фигур, оканчивающихся в своей верхней части плоской поверхностью.

Если мы сделаем такие фигуры из какого-нибудь вещества, равного воде по удельному весу, и поместим их в воду, так что ею покроется весь объем, то ясно, что такие тела могут оставаться в покое во всяком месте при условии, что удельный вес материала в точности соответствует весу воды; вследствие этого они могут остаться и на поверхности воды, не образуя даже никакого валика. Теперь, если такие фигуры благодаря веществу, из коего они сделаны, способны оставаться на поверхности, хотя и лишены помощи валиков, то ясно, что можно настолько увеличить вес тел, не увеличивая их объема, насколько велик вес воды, содержащейся внутри валиков, образующихся вокруг их верхней плоской поверхности; с помощью валика они задержатся на поверхности, но, будучи смочены, пойдут на дно, сделавшись более тяжелыми, чем вода. Относительно фигур, кончающихся наверху плоскостью, вполне понятно, как приданный им или отнятый валик может устранить или вызвать опускание, но что касается  {88}  тел, которые идут кверху, утончаясь, то кто-нибудь может, и, по-видимому, не без основания, усумниться, чтобы с ними можно было сделать то же самое, в особенности, если они оканчиваются острою вершиною, как, например, узкие конусы или пирамиды. Относительно этих последних как более сомнительных, чем все другие, я постараюсь доказать, что и они подчинены тому же условию опускания или неопускания на дно вне зависимости от величины.

Пусть ABD будет конус из вещества, равного воде по удельному весу; ясно, что помещенный весь в воду он останется в покое во всяком месте (предполагая, что он весит ровно столько же, сколько вода, чего на самом деле почти невозможно достигнуть), при добавлении же самой малой тяжести — пойдет ко дну. Но если он будет опускаться вниз тихо, то утверждаю, что образуется валик ESTO, и вне воды останется верхушка конуса AST тройной высоты по сравнению с высотой валика ES; это следует из того, что при весе вещества конуса, равном воде, затонувшая часть SBDT остается безразличной к движению вверх или вниз, конус же AST, будучи по объему равным воде, помещающейся внутри валика ESTO, будет равен ей также и повесу; посему во всем наступит равновесие, а следовательно, и покой. Теперь возникает сомнение в том, можно ли сделать конус ABD более тяжелым, так, чтобы, помещенный в воду, он стремился ко дну, но не с такой силой, чтобы у валика была отнята способность удержать его от затопления. Основание для сомнения следующее: когда конус ABD равен воде по удельному весу, то валик ESTO поддерживает его не только в том случае, если его верхушка AST имеет высоту, в три раза большую высоты валика ES, но в еще большей степени, если вне воды остается меньшая часть, потому что хотя при погружении конуса верхушка AST уменьшается в объеме, равно как и валик ESTO, однако верхушка уменьшается в большей пропорции, чем валик, сокращаясь по всем трем направлениям, валик же только по двум, сохраняя постоянно одну высоту; говоря иначе, объемы конусов уменьшаются пропорционально кубам линий, образующих последовательно диаметры оснований вы-ступающих конусов, объем же валиков уменьшается пропорциональна квадратам тех же линий; отсюда верхушки будут всегда в полуторном отношении к цилиндру, заключенном между валиками. Таким образом, если, например, высота выступающей части вдвое больше высоты валика или равняется ей, то цилиндр, содержащийся между валиками, будет в достаточной мере превышать ее, представляя полуторный или тройной ее объем,  {89}  почему и приобретет силу, чтобы поддержать весь конус, при том условии, что затонувшая часть его не увеличивается в весе. Однако когда прибавляется какая-нибудь тяжесть ко всему конусу, так что и затонувшая часть его получает некоторый излишний вес сравнительно с водою, то остается неясным, может ли цилиндр, заключающийся между валиками, при погружении конуса прийти к такому соотношению с выступающей верхушкой и к такому перевесу его объема над ее объемом, чтобы быть в состоянии уравновесить излишек удельного веса конуса над весом воды. Сомнение возникает оттого, что, хотя при опускании конуса выступающая часть его AST уменьшается, вследствие чего уменьшается также излишек веса тела над весом воды, но в то же время суживается валик и уменьшается объем ограниченного им цилиндра. Все же здесь будет доказано, что конус ABD любой величины, сделанный первоначально из вещества, вполне равного воде по тяжести, и при прибавлении некоторого веса, благодаря которому он стремится вниз, будучи помещенным в воду, может с помощью валиков покоиться, не утопая.

Пусть ABD будет конус любой величины из материала, по удельному весу равного воде. Ясно, что опущенный осторожно в воду он остановится, не утонув, и вне воды останется его верхушка AST тройной высоты по сравнению с высотою валика ES. Предположим теперь, что конус ABD опустится еще ниже, так что над водою останется только верхушка AIR, половинной высоты по сравнению с AST, окруженная валиком CIRN. Так как объем конуса AST относится к объему конуса AIR, как куб линии ST к кубу линии IR, объемы же цилиндров ES ТО и CIRN относятся один к другому, как квадраты линий ST и IR, то объем конуса AST будет в восемь раз больше конуса ATR, а объемы цилиндра ESTO в четыре раза больше цилиндра CIRN; но конус AST равен цилиндру ESTO, следовательно, цилиндр CIRN будет вдвое более конуса AIR, и вода, содержащаяся внутри валика CIRN, и по объему и по весу будет вдвое превышать конус AIR и сможет поэтому поддержать вес, вдвое больший веса конуса AIR. Поэтому если весь конус ABD увеличится в весе на столько, сколько весит конус AIR, что составит одну восьмую веса конуса AST, то он еще может быть поддержан валиком CIRN, но без него пойдет ко дну, сделавшись от прибавления веса, равного одной восьмой веса конуса AST, тяжелее воды.

Если бы высота конуса AIQ составляла две трети высоты конуса AST_y то объемы конусов AST и AIR относились бы друг к другу, как 27:8,  {90}  а объемы цилиндров ESTO и CIRN, как 9:4 или 27:12, следовательно, объем цилиндра CIRN относился бы к объему конуса AIR, как 12:8, излишек же объема цилиндра CIRN над объемом конуса AIR к объему конуса AST, как 4:27; таким образом, если к конусу ABD прибавить такую тяжесть, которая бы равнялась ⁴/²⁷ веса конуса AST, что составит немного более ¹/₇ части, то он останется на поверхности, и высота выступающей из воды верхушки будет равна двойной высоте валика. То, что здесь доказано относительно конусов, может быть применено и к пирамидам, хотя бы те и другие были весьма остры; отсюда можно заключить, что совершенно то же самое еще легче произойдет со всякими иными фигурами, которые оканчиваются менее острыми вершинами и поддерживаются валиками большого объема.

Следовательно, фигуры любой величины могут опускаться или не опускаться на дно в зависимости от того, будут ли их вершины смочены водою или нет; а так как это явление общее для всех видов фигур без всяких исключений, то, значит, фигура не оказывает никакого влияния на явление опускания в одном случае и неопускания в другом, которое происходит единственно от присоединения или отнятия прилегающего сверху воздуха. Всякий, кто рассмотрит внимательно и, как говорится, непредубежденным глазом это дело, признает указанную выше причину за истинную, естественную и первичную причину нахождения тел на поверхности или их опускания, каковая сводится к избытку или недостатку тяжести воды над тяжестью тела, помещаемого в воду. Как полоса свинца толщиною в ручку ножа, будучи помещена в воду одна, идет ко дну, но с привязанной к ней сверху пробкою пальца в четыре толщиной остается на поверхности, потому что теперь тело, помещаемое в воду, будет уже не тяжелее, но легче воды, так и эбеновая дощечка, по природе своей более тяжелая, чем вода, опускается, если кладется в воду одна; если же она помещается на воду в соединении со слоем воздуха, опускающегося вместе с эбеном, и притом в таком количестве, что образовавшееся соединение легче объема воды, соответствующего объему части тела, уже опустившейся и находящейся ниже уровня воды, то она не пойдет ко дну, но остановится и не по какой иной причине, кроме универсальной и всеобщей, а именно: тела, которые по удельному весу легче воды, не идут ко дну.

Отсюда тот, кто взял бы свинцовую пластинку, примерно в палец толщиной и в ладонь в других направлениях, и пытался заставить ее остаться на поверхности, осторожно опуская на воду, напрасно потерял бы свой труд, потому что как только она углубится на волос более возможной высоты валиков воды, так покроется водою и затонет; но если бы, пока пластинка опускается, вокруг нее могли образоваться валики, которые задержали бы распространение воды поверх пластинки, и борты которых поднимались бы настолько высоко, чтобы вместить внутри себя столько  {91}  воды, сколько весит пластинка, то она, без сомнения, не потонула бы, но осталась, поддержанная силою воздуха, заключенного внутри названных бортов, так что в результате образовался бы сосуд со свинцовым дном. Если же свинец будет настолько тонок, что ничтожная высота бортов достаточна, чтобы вместить столько воздуха, сколько является необходимым для поддержания его на поверхности, то он останется наверху и без бортов, но не без воздуха, потому что воздух сам по себе образует борты, достаточные при их малой высоте, чтобы задержать распространение воды; отсюда и то, что плавает в настоящем случае, есть также сосуд, наполненный воздухом, силою которого он и держится, не утопая.

В заключение постараюсь другим опытом устранить всякие сомнения, если только осталось еще какое-нибудь место для них, относительно воздействия на тонкую плавающую пластинку соприкасающегося с нею воздуха, и затем закончу эту часть моего рассуждения.

Представляю себе, что вместе с кем-нибудь из противников я рассматриваю вопрос, не оказывает ли фигура влияния на увеличение или уменьшение сопротивления какого-либо веса при поднятии его в воздухе; и я, защищая положительное решение, утверждаю, что объем свинца в форме шарика может быть поднят с меньшим усилием, чем тот же свинец в виде тонкой и широкой пластинки, потому что широкая фигура должна прорезать большее количество воздуха, а более сжатая и плотная — меньшее; чтобы доказать то, что кажется мне верным, подвешиваю к тонкой нитке сначала шарик и кладу его в воду, прикрепив поддерживающую его нитку к одному из концов коромысла весов, которые держу в воздухе; к другому концу прибавляю такой вес, который оказывается достаточным, чтобы поднять шарик и извлечь его из воды, для чего понадобится, предположим, вес в 30 унций. Превращаю потом тот же свинец в плоскую легкую пластинку, которую также кладу на воду, подвесив на трех нитях, чтобы удержать ее параллельно поверхности воды, прибавляю на чашку весов гири до тех пор, пока пластинка не поднимется и не извлечется из воды, и показываю, что и 36 унций недостаточно, чтобы отделить ее от воды и поднять на воздух. Основываясь на этом опыте, утверждаю, что во всей полноте доказал правильность моего предложения.

Тогда выступает мой противник, заставляя меня на некоторое время поникнуть головою, и обращает мое внимание на явления, которых я ранее не замечал, показывая мне, что пластинка, выходя из воды, тянет за собой другую водяную пластинку, которая, прежде чем отделиться и отстать от нижней поверхности свинца, поднимается над общим уровнем воды более, чем на лезвие ножа. Возвращаясь к повторению опыта с шариком, он показывает мне, что к плотной и сжатой фигуре прилегает ничтожное количество воды; это внушает мне мысль, что не удивительно, если при отделении от воды тонкой и широкой пластинки чувствуется гораздо  {92}  большее сопротивление, чем при отделении шарика, ибо вместе с пластинкой поднимается и большее количество воды, что не имеет места при опыте с шариком, и заставляет обратить внимание на то, что вопрос наш теперь свелся к тому, существует ли большее сопротивление подъему широкой свинцовой пластинки с большим количеством воды, чем шарику с малым. Наконец, он указывает мне, что класть сначала пластинку и шарик в воду, чтобы затем доказывать их сопротивление в воздухе, не соответствует предмету нашего спора, так как мы рассуждаем о подъеме предметов в воздухе и вещах, находящихся в воздухе, а не о сопротивлении, проявляющемся на границе воздуха и воды, или о вещах, находящихся частью в воде, частью в воздухе. Тот же опыт показывает осязательно, что, когда пластинка находится в воздухе и свободна от тяжести воды, она поднимается совершенно тою же силою, как и шарик. Видя и поняв все это, я могу только признать себя убежденным и благодарить друга за то, что он научил меня тому, чего я ранее не заметил. Наученный таким случаем, говорю противникам: у нас идет вопрос о том, одинаково ли опускаются на дно шарик и дощечка из эбена, а не эбеновый шарик и эбеновая дощечка, связанные с воздушным слоем; что мы говорим об опускании и неопускании в воде, а не о том, что происходит на границе воды и воздуха с телами, находящимися частью в воде, частью в воздухе; что мы не рассуждаем о большей или меньшей силе, потребной для отделения того или иного тела от воздуха. Не могу напоследок умолчать, что совершенно так же сопротивляется воздух, отягчая, так сказать, движение вниз к воде, как сопротивляется вода и отягчает движение вверх в воздух; одинаково затруднительно как опустить в воду ведро, полное воздуха, так и поднять в воздух ведро, полное воды, не принимая в соображение веса сосуда, а рассматривая только воду и воздух. Равным образом верно, что нам одинаково трудно как в том случае, когда вводим вниз под воду стакан или другой сосуд, полный воздуха, так и в том, когда поднимаем этот стакан, пока он полон водой, держа его отверстием книзу, над поверхностью воды; вода принуждена следовать за стаканом, содержащим ее, и подняться над общим уровнем воды в пределах воздуха таким же образом, как воздух принужден сопровождать сосуд вниз в пределы воды до тех пор, пока в последнем случае вода, перейдя за край стакана, не устремится туда, вытесняя воздух, а в первом — пока края не выйдут из воды и не достигнут пределов воздуха, после чего вода падает вниз, а воздух проскальзывает и заполняет внутренность сосуда. Отсюда следует, что тот, кто берет дощечку, соединенную с воздухом, чтобы выяснить, опустится ли она на дно, нарушает поставленные условия в не меньшей мере, чем тот, кто доказывает наличие сопротивления подъему в воздухе, пользуясь свинцовой пластинкой, соединенной с некоторым количеством воды.

Я говорил то, что пришло мне на мысль для доказательства  {93}  истины того положения, которое я взялся защищать. Мне остается теперь рассмотреть, что по этому предмету пишет Аристотель в конце книги «О небе», причем отмечу по этому поводу два пункта. Верно то, как мною доказано, что фигура не имеет отношения к причине простого движения вверх или вниз, и, кажется, Аристотель при первоначальном обсуждении этой проблемы держался такого же мнения, что, как мне думается, можно вывести из его же слов. Однако верно и то, что, желая затем объяснить причину явления, к которому он, как и другие, по моему мнению, подошел неправильно (что рассмотрю в другом месте). Аристотель пришел к признанию участия в этом явлении и ширины фигуры.

Что касается первого пункта, — вот точные слова Аристотеля: «Фигуры не суть причины, производящие простое движение вниз или вверх, но лишь причины медленности или быстроты движения, а по каким причинам это происходит — не трудно видеть».

Здесь, во-первых, я отмечаю, что в данном рассуждении встречаются четыре понятия: движение, покой, медленность и быстрота; и так как Аристотель указывает на фигуры как причину медленности или быстроты, исключая их из категории причин абсолютного и простого движения, то он по необходимости должен исключить их и из причин покоя, так что его мысль можно было бы выразить точнее следующим образом: фигуры не суть причины, производящие абсолютное движение или покой, но лишь причины медленности или быстроты. Если кто-нибудь скажет, что, по мнению Аристотеля, фигуры исключаются, как причина движения, но никак не покоя, и что его мыслью было отрицание за фигурами свойства являться причинами простого движения, но не покоя, то я спрошу его, не должно ли вместе с Аристотелем признать, что все фигуры вообще в известной мере являются причиною покоя в тех телах, которые иначе двигались бы, или же этим свойством обладают только некоторые особые фигуры, как, например, широкие и тонкие; если все без различия, то значит всякое тело придет в состояние покоя, потому что всякое имеет какую-нибудь фигуру, что неверно; если же только какие-нибудь особенные фигуры, например широкие, могут быть в известной мере причиной покоя, то, значит, другие будут в некоторой мере причиною движения. В самом деле, видя, что некоторые тела при сжатой фигуре движутся, а затем, расширенные в виде пластинки, останавливаются, я могу заключить, что обширность фигуры имеет отношение к причине такого покоя; видя, с другой стороны, что такие пластинки остаются в покое, а затем, будучи сжаты, движутся, могу с одинаковым основанием утверждать, что сжатость и плотность фигуры имеют отношение к причине движения, а это прямо противоположно тому, что говорит Аристотель, т. е. что фигуры не суть причина движения. Притом, если бы Аристотель признавал, а не исключал фигуру как причину покоя в некоторых телах, которые, будучи сведены  {94}  к другим фигурам, пришли бы в движение, то этому совершенно не соответствовали бы непосредственно следующие его слова, в которых он выражает недоумение относительно того, откуда происходит, что широкие и тонкие пластинки из железа и свинца останавливаются в воде; это была бы непонятно, если бы имелась налицо готовая причина — обширность фигуры. Итак, заключаю, что мыслью Аристотеля в данном месте было утверждение, что фигуры не являются причиною абсолютного движения или покоя, но лишь быстроты или медленности движения; этому можно поверить, тем более, что в действительности такая мысль и такое выражение совершенно правильны. Теперь, если мысль Аристотеля была такова, то по своим следствиям она на первый же взгляд скорее противоположна, нежели благоприятна мнению моих противников; но их толкование не совсем таково, причем одними это место понимается так, другими толкуется иначе. Что это действительно имеет место, можно судить по объяснению его смысла, даваемому знаменитыми комментаторами, согласно которому прилагательные «простой» или «абсолютный» в тексте Аристотеля относятся не к слову «движение», а к существительному «причина»; так что смысл слов Аристотеля заключается в утверждении, что фигуры не суть абсолютно причины движения или покоя, но суть причины второстепенные²³, т. е. имеют к нему лишь некоторое отношение, почему и носят название причин вспомогательных и сопутствующих. Такое положение принимается и выдается за правильное синьором Буонамико в книге V, гл. 28, где он пишет следующее: «Существуют другие причины, сопутствующие, благодаря которым некоторые тела плавают, другие же тонут; между ними первое место принадлежит фигуре тел» и т. д.

Относительно такого толкования у меня возникают разные сомнения и затруднения, почему мне и кажется, что словам Аристотеля нельзя придавать такое расположение и смысл. Затруднения эти следующие. Во-первых, по порядку и расположению слов у Аристотеля прилагательные «простой» или, скажем, «абсолютный» отнесены к понятию движения и отделены от слова «причина», что дает мне большое преимущество, ибо текст гласит: «фигуры не суть причины простого движения вверх или вниз, но причины более медленного или быстрого движения», а не так, например: «фигуры не суть простые причины движения вверх или вниз...». А когда слова текста при перестановке получают смысл, отличный от того, какой они имеют при сохранении того порядка, в котором они расположены у автора, то не подобает их переставлять. И кто же станет утверждать, что Аристотель, желая изложить свои положения, расположил слова таким образом, чтобы они могли иметь другой и даже противоположный смысл? Говорю «противоположный», потому что понятые так, как они написаны, они гласят, что фигуры не суть причины движения, переставленные же — гласят, что фигуры являются причинами движения и т. д.  {95} 

Более того, если бы намерением Аристотеля было сказать, что фигуры не суть простые причины движения вверх и вниз, но только причины второстепенные, то он не прибавил бы следующих слов: «но суть причины более быстрого и более медленного»; прибавление это было бы не только излишне, но и ложно, так как тогда все предложение полностью гласило бы так: фигуры не суть абсолютная причина движения вверх или вниз, но суть абсолютная причина медленности или быстроты движения, что неверно. Первичные причины большей или меньшей быстроты рассматриваются Аристотелем в книге IV «Физики», в отделе 71, с отнесением их к большей или меньшей тяжести движущихся тел относительно друг друга и к большему или меньшему сопротивлению сред, зависящему от их большей или меньшей плотности; эти причины устанавливаются Аристотелем как первичные, и только они две упоминаются в этом месте; фигура же рассматривается потом в отделе 74 скорее как посредствующая причина силы тяжести, которая разделяет среду или фигурою или импульсом; и действительно, фигура сама по себе, без силы тяжести или легкости, не производит ничего

Прибавлю, что если бы Аристотель решил, будто фигура каким-либо образом является причиною движения или покоя, то странным было бы замечание, которое он делает тут же немедленно в форме недоумения, отчего происходит то, что свинцовая пластинка плавает; ибо если бы он тогда же сказал, что фигура некоторым образом есть причина движения или покоя, не приходилось бы недоумевать, по какой причине плавает свинцовая пластинка, приписывая затем причину фигуре и составляя рассуждение в таком виде: фигура есть второстепенная причина неопускания на дно, но теперь возникает сомнение, по какой причине тонкая пластинка свинца не идет на дно; отвечаю, что это происходит от фигуры, — рассуждение, которое не приличествовало бы даже ребенку, а не только Аристотелю. И где же повод для недоумения? И кто не согласится, что если бы Аристотель установил, что фигуры есть некоторым образом причины плавания, то он написал бы прямо в положительной форме: фигура является некоторым образом причиною плавания, посему и свинцовая пластинка, благодаря обширной и широкой фигуре, плавает. Но если мы возьмем предложение Аристотеля так, как я его беру, как оно написано и как на самом деле правильно, то рассуждение его идет превосходно и логично, когда после введения быстроты и медленности весьма кстати высказывается недоумение, и сформулировано так: «фигуры не суть причины простого движения или недвижения вверх или вниз, но суть причины большей быстроты или медленности движения. Если же это так, то недоумеваю относительно причины, по которой происходит, что широкая и тонкая пластинка из железа или свинца плавает». Тут повод для недоумения налицо, так как на первый взгляд кажется, что причиной такого плавания является  {96}  фигура, ибо тот же свинец и даже в меньшем количестве, но другой формы, идет ко дну; а мы уже выше утверждали, что фигура не оказывает влияния на это явление.

Наконец, если бы намерением Аристотеля было сказать в этом месте, что фигуры, хотя не абсолютно, но по крайней мере некоторым образом являются причиною движения или покоя, то я обращаю внимание, что он упоминает не только движение вниз, но и вверх, а затем приводит как пример лишь опыт со свинцовой пластинкой и эбеновой дощечкой — вещами, которые по своей природе стремятся ко дну, но в силу фигуры (как утверждают некоторые) остаются на поверхности; следовало бы, чтобы кто-нибудь произвел другой опыт с такими вещами, которые по своей природе стремятся на поверхность, но, задержанные фигурою, остаются на дне. Но так как сделать этого невозможно, то заключаем, что Аристотель в данном месте не имел намерения присваивать фигуре никакого действия на абсолютное движение или покой.

Я не решился бы утверждать, что Аристотель далее тонко рассуждает, отыскивая решение возникшего у него сомнения; наоборот, разные представляющиеся мне затруднения позволяют мне усомниться в том, что он здесь вполне выяснил действительную причину; эти затруднения я устраню, готовый изменить свое мнение, как только мне будет доказано, что в высказанном мною нет истины, ибо я гораздо более склонен к признанию ее, нежели к противоречию.

Вопрос, поставленный Аристотелем, таков: отчего происходит то, что широкие пластинки железа, свинца и т. д. плавают, особенно если принять во внимание (как бы укрепляя повод к сомнению), что другие предметы меньшей величины и веса, будучи круглыми или длинными, как, например, игла, — идут ко дну? В этом, наоборот, я не только сомневаюсь, но даже уверен, что игла, осторожно положенная на воду, останется на поверхности так же, как тонкая пластинка железа и свинца. Я не могу поверить, как бы мне это ни объясняли, тому, кто, защищая Аристотеля, скажет, что он подразумевал здесь иглу, помещенную не вдоль, но прямо, острием вниз. Все же, чтобы не оставить и такого выхода, весьма слабого, и от которого, конечно, по моему мнению, отказался бы сам Аристотель, скажу: должно понимать, что игла положена согласно измерению, только что упомянутому Аристотелем, а именно — по длине, и что если бы можно и должно было придать телу другое положение, кроме обозначенного, то я сказал бы, что и железная или свинцовая пластинки также идут на дно, если положить их не плашмя, а на ребро. Но так как Аристотель говорит, что широкие фигуры не идут на дно, то должно понимать, что фигуры положены плашмя; когда же он говорит, что фигуры длинные, как игла, хотя и легки, но не остаются на поверхности, следует понимать, что они положены по длине.  {97} 

При том же утверждать, что Аристотель подразумевал иглу, поставленную на острие, значит заставлять его сказать большую глупость, потому, что в этом же месте он говорит, что малые частицы свинца или железа, если будут круглы или длинны, как игла, идут на дно; значит, по его мнению, и крупинка железа не может остаться на поверхности; если же он так думал, то какой наивностью было бы добавлять, что и игла, поставленная на острый конец, также не останется наверху? А что же такое самая игла, как не ряд многих крупинок, поставленных одна на другую? Слишком недостойно такого человека было бы сказать, что одна крупинка железа не может плавать, и что она не станет плавать, если на нее наложить еще сотню таких же частиц.

В конце концов либо Аристотель думал, что игла, положенная на воду вдоль, останется на поверхности, либо он думал, что она не останется на поверхности; если он думал, что не останется, то прекрасно мог сказать то, что он действительно и сказал; но если он полагал и знал, что игла будет плавать, то почему же вместе с сомнительной проблемою плавания широких фигур, хотя бы сделанных из тяжелых веществ, не высказал он также недоумение относительно того, почему плавают также и длинные и тонкие фигуры, хотя бы из железа или свинца? И это тем знаменательнее, что повод для недоумения кажется большим относительно фигур длинных и сжатых, чем относительно широких и тонких. Отсюда явствует, что никакого сомнения по этому поводу у Аристотеля не возникало.

Не меньшую нелепость приписал бы Аристотелю тот, кто в защиту его сказал бы, что он подразумевал иглу довольно толстую, а не тонкую, потому что я тотчас же спрошу: а что же он думал о тонкой? Придется ответить: он думал, что она будет плавать, — и тогда я снова обвиню его в том, что он уклонился от более замечательной и трудной проблемы и ввел более легкую и менее замечательную.

Итак, скажем откровенно: Аристотель полагал, что только широкие фигуры остаются на поверхности, длинные же и тонкие —нет. Это, однако, неверно, как неверно и положение относительно круглых тел, потому что, как можно было вывести из всего сказанного выше, и малые шарики из железа и даже свинца таким же образом могут плавать.

Далее, он предлагает другое заключение, которое тоже представляется далеким от истины, а именно, что некоторые предметы по своей малости плавают в воздухе, как-то: мельчайшие пылинки земли и тончайшие листки расплющенного золота; но, мне кажется, опыт показывает нам, что этого не случается не только в воздухе, но даже в воде, в которой опускаются даже мутящие ее мельчайшие частицы земли, малость коих такова, что они могут быть видимы только собранные сотнями. Итак, земляная пыль и листочки золота не держатся в воздухе, но опускаются книзу и носятся только вздымаемые сильным ветром или движимые иным возмущением  {98}  воздуха, что происходит также и при возмущении воды, которое поднимает отложения со дна и крутит их. Но Аристотель не может подразумевать действия такого возмущения, о котором он вовсе не упоминает, и называет лишь легкость этих частиц и сопротивление плотности воды и воздуха, из чего видно, что он говорит о воздухе спокойном, а не взволнованном или возмущенном; но в таком случае ни золото, ни земля, как бы они ни были измельчены, не держатся, но быстро опускаются.

Затем он переходит к опровержению Демокрита, который, по его свидетельству, предполагал, что некие атомы огня, непрестанно восходящие в воде, толкают вверх и поддерживают такие тяжелые тела, которые довольно широки, в то время как тела узкие опускаются вниз, так как им противодействует и толкает их малое количество названных атомов.

Аристотель выступает против этого положения, говоря, что подобное должно было бы скорее происходить в воздухе, что и сам Демокрит приводит против себя же; коснувшись затем этого вопроса, он легко решает его, говоря, что эти тельца, восходящие в воздухе, стремятся вверх несплоченно. Я не скажу здесь, чтобы признанная Демокритом причина была истинной; скажу только, что она, как мне кажется, недостаточно опровергается Аристотелем, когда он говорит, что если бы было правильно, будто восходящие горячие атомы поддерживают тяжелые, но достаточно широкие тела, то они должны были бы проявлять себя более в воздухе, нежели в воде, потому что, быть может, по мнению Аристотеля, эти горячие тельца с большею силою и быстротою восходят в воздухе, нежели в воде. Если постановка вопроса Аристотелем именно такова, как мне кажется, то я полагаю, что он дает повод заподозрить его в заблуждении, и даже не одном. Во-первых, едва ли правильно, что горячие тельца, будь они частицами огня или его парами, или вообще каким-либо легким веществом, восходящим вверх даже в воздухе, будут подниматься вверх в воздухе быстрее, чем в воде; совершенно обратно, они должны двигаться более стремительно в воде, чем в воздухе, как я уже доказывал выше. И тут я не могу уразуметь причину, по которой Аристотель, видя, что движение вниз одного и того же тела совершается в воздухе с большей быстротою, чем в воде, не обратил нашего внимания на то, что при обратном движении по необходимости должно происходить противоположное, т. е. что оно будет быстрее в воде, чем в воздухе; взяв тело, опускающееся вниз с большею быстротою в воздухе, чем в воде, представим себе, что тяжесть его постепенно уменьшается; сначала оно станет таким, что, опускаясь быстро в воздухе, будет медленно опускаться в воде; затем оно сможет стать таким, что, все же опускаясь в воздухе, в воде будет подниматься; сделанное еще легче, в воде поднимается быстро, в воздухе же будет опускаться; и вообще, ранее чем получить способность подняться в воздухе хотя бы самым медленным движением, оно в воде будет подниматься самым быстрым  {99}  образом. Если это так, то как же может быть верно, будто то, что самопроизвольно движется вверх, будет быстрее двигаться в воздухе, чем в воде?

То, что заставило Аристотеля полагать, будто движение вверх совершается быстрее в воздухе, чем в воде, было, во-первых, признание им причинами медленности и быстроты движения как вверх, так и вниз только разницы в фигуре движущегося тела и большего или меньшего сопротивления среды, обладающей большей или меньшей степенью плотности или легкости, и непринятие им в расчет относительной тяжести движущегося тела и среды, что, однако, как раз и является главным пунктом в настоящем вопросе. Если бы возрастание или уменьшение медленности или быстроты зависело только от плотности или легкости сред, то всякое движущееся тело, опускающееся в воздухе, опускалось бы и в воде, потому что, какая бы разница ни существовала между плотностью воды и плотностью воздуха, соответственная разница всегда может быть найдена между быстротою движения того же тела в воздухе и какою-либо другой быстротою,, которая и должна быть его естественной быстротой при движении в воде; это между тем совершенно ложно. Другой причиной было его предположение, что подобно тому как существует положительное и природное свойство, в силу которого элементарные тела имеют склонность движения по направлению к центру Земли, то не что иное, как такое же внутреннее свойство некоторых тел, дает им стремление убегать от центра Земли и двигаться вверх; в силу такого внутреннего принципа, называемого им легкостью, тела при таком движении легче разделяют среду более тонкую, чем плотную. Но такое положение одинаково не кажется мне верным, как я частью указывал и раньше, и как рассуждениями и опытом мог бы доказать, если бы настоящий вопрос не представлял такой большой важности, и я мог ограничиться немногими словами.

Итак, положение, выдвигаемое Аристотелем против Демокрита, что если восходящие атомы огня поддерживают тяжелые тела, имеющие широкую фигуру, то это действие их должно проявляться более в воздухе, чем в воде, потому что такие тельца быстрее движутся в воздухе, нежели в воде, нехорошо, ибо должно происходить как раз обратное, так как частицы эти в воздухе поднимаются медленно и, кроме того, что движутся медленнее, идут не сплоченно, как в воде, но разъединяются и, как говорится, рассеиваются, а потому, как хорошо выражается Демокрит в заключение своего предложения, не толкают и не оказывают воздействия совокупно.

Во-вторых, заблуждается Аристотель, когда полагает, что названные тяжелые тела должны легче поддерживаться восходящими горячими частицами в воздухе, нежели в воде, не принимая во внимание, что тела эти в воздухе тяжелее, чем в воде, так что, например, если какое-либо тело  {100}  весит 10 фунтов в воздухе, то в воде оно, может быть, не весит и ¹/₂ унции; как же может быть, что его легче поддержать в воздухе, чем в воде? Из этого заключаю, что в данном случае Демокрит рассуждал лучше, нежели Аристотель, Но я вовсе не хочу сказать, что рассуждения Демокрита правильны; напротив, есть наглядный опыт, опровергающий его положение, а именно: если бы было правильно, что восходящие в воде горячие атомы поддерживают тело, которое без их воздействия пошло бы на дно, то из этого вытекало бы, что мы можем найти вещество, по тяжести едва превосходящее воду, которое в форме шарика или другой плотной фигуры шло бы ко дну, встречая на пути малое число атомов огня, а потом, расширенное в широкую и тонкую пластинку, вытеснялось бы вверх действием множества этих телец и поддерживалось ими на поверхности воды. На самом деле этого не случается, и, как показывает нам опыт, тело фигуры, скажем, сферической, которое едва-едва с большой медленностью идет ко дну, опустится и останется там и приведенное к виду какой-угодно иной обширнейшей фигуры. Необходимо поэтому сказать или что в воде вовсе нет таких восходящих атомов огня, или что если они там и есть, то они не обладают силою, достаточной для поднятия и выталкивания на поверхность пластинки из того же вещества, которая без их помощи пошла бы ко дну. Из этих двух предположений я признаю правильным второе, подразумевая, что вода сохраняет свою природную холодность. Но если мы возьмем сосуд из стекла, меди или другого твердого вещества, наполненный холодной водой, и положим в него тело плоской или вогнутой фигуры, настолько мало превосходящее воду по удельному весу, что оно идет ко дну медленно, то, подложив под названный сосуд несколько горячих углей, заметим, как новые огневые тельца, проникая через субстанцию сосуда, поднимутся в субстанции воды и, ударяясь о вышеупомянутое тело, вытолкнут его на поверхность и будут поддерживать его там, пока будет продолжаться поток названных телец; когда же после отнятия огня поток их прекратится, тело вернется на дно, лишенное своей опоры.

Но Демокрит отмечает, что это явление имеет место только тогда, когда дело идет о поднятии и поддержании пластинок из вещества немного тяжелее воды или же очень легких; по отношению же к веществам тяжелым или телам некоторой толщины, как пластинки из свинца или из других металлов, такое явление совершенно отсутствует; в подтверждение этого можно наблюдать, что такие пластинки, поднимаемые атомами огня, восходят через всю глубину воды и останавливаются у пределов воздуха, оставаясь все же под водою; пластинки же противников не останавливаются, если не имеют верхней сухой поверхности, и нет способа сделать так, чтобы они не упали на дно, когда они находятся в воде. Иная, следовательно, причина плавания существует в тех случаях, о которых говорил  {101}  Демокрит, отличная от причины, действующей в таких случаях, о которых говорим мы.

Возвращаясь к Аристотелю, скажу: мне кажется, что он тем менее основательно опровергает Демокрита, что тот же Демокрит, по словам самого Аристотеля, не приводит тех положений, против которых последний выступает; возражать Демокриту, утверждая, что если бы восходящие горячие тельца были тем, что поднимает тонкие пластинки, то тем более такое тело должно было бы выталкиваться и подниматься ими в воздухе, значит, выказать желание сразить Демокрита, несовместимое с тонкостью основательного рассуждения. То же желание Аристотеля проявляется и в других случаях, чтобы не идти далеко — в отделе, предшествующем тому, который мы разбираем, где он пытается опровергнуть того же Демокрита, когда тот, не удовлетворяясь одним названием, желает подробнее определить, что такое тяжесть и легкость, т. е. причина опускания вниз и восхождения кверху, и вводит понятия полного и пустого, придавая последнее свойство огню, почему он движется кверху, а первое — земле, почему она опускается, и присваивает затем воздуху более огня, а воде более земли. Аристотель, желая найти для движения вверх причину положительную, а не просто, как Платон или другие древние, отрицание или отсутствие свойства, в каком отношении находится пустое к полному, — аргументирует против Демокрита, говоря: если верно то, что ты полагаешь, то, следовательно, найдется такой объем воды, который будет содержать более огня, чем малый объем воздуха, и большой объем воздуха, который будет иметь больше земли, чем малый объем воды, вследствие чего следовало бы ожидать, что большой объем воздуха быстрее будет опускаться вниз, нежели малое количество воды; этого, однако, никогда не случается, и, следовательно, рассуждения Демокрита ошибочны.

Но, по моему мнению, доктрина Демокрита остается не опровергнутой таким рассуждением; напротив, если я не ошибаюсь, манера Аристотеля выводить заключения мало убедительна; если же признать ее убедительной, то можно направить ее и против него самого. Допустим, что Демокрит соглашается с Аристотелем, будто можно взять такой большой объем воздуха, что он будет содержать более земли, нежели некоторое количество воды; но он совершенно отрицает, что такой объем воздуха будет опускаться вниз быстрее, чем малое количество воды, и это по многим причинам. Во-первых, если количество земли, содержащееся в большом объеме воздуха, большее по сравнению с количеством земли, содержащимся в малом объеме воды, должно быть причиною большей быстроты, то прежде всего следовало бы признать, что больший объем простой земли должен двигаться быстрее, чем меньший; это, однако, неверно, хотя Аристотель во многих местах и утверждает это как истину; не большая абсолютная тяжесть, но больший удельный вес есть причина большей быстроты;  {102}  деревянный шар весом в 10 фунтов опускается не быстрее, чем тот, который весит 10 унций, если оба они из одного вещества, но утверждаю, что свинцовый шарик весом в 4 унции опускается быстрее деревянного весом в 20 фунтов, так как свинец по удельному весу тяжелее дерева. Следовательно, вовсе нет необходимости, чтобы большой объем воздуха, благодаря большому количеству содержащейся в нем земли, опускался быстрее, чем малый объем воды; напротив, каждый объем воды должен будет двигаться быстрее всякого объема воздуха, благодаря относительно большему содержанию земных частиц в воде сравнительно с воздухом. Замечу, во-вторых, что при увеличении объема воздуха увеличивается не только то, что принадлежит в нем земле, но и то, что принадлежит огню; поэтому не в меньшей мере возрастает причина поднятия вверх в силу огня, чем причина опускания вниз, благодаря увеличению земли. Надлежало бы при увеличении количества воздуха увеличить только то, что есть в нем земного, оставляя первоначальный огонь в прежнем состоянии так, чтобы земное увеличенного количества воздуха в каждой части его превосходило земное малого количества воды; только тогда можно было бы с достаточным правдоподобием заявлять, что большое количество воздуха должно опускаться вниз с большим стремлением, чем малое количество воды. В рассуждении Аристотеля, таким образом, более ошибок, чем в рассуждении Демокрита, который с таким же правом мог бы опровергнуть Аристотеля и сказать: если верно, что крайние элементы суть — один абсолютно легкий, а другой — абсолютно тяжелый, а средние элементы причастны в разной степени природе того или другого, причем воздуху более свойственна легкость, а воде тяжесть, то, следовательно, можно найти такой объем воздуха, тяжесть которого будет более тяжести малого количества воды, а потому такой объем воздуха опустится быстрее, чем малый объем воды; но подобного никогда не случается, и, следовательно, неверно, что средние элементы причастны тому или другому свойству. Такой довод неправилен, но не более, чем рассуждение Аристотеля против Демокрита.

В заключение, когда Аристотель говорит, что, если бы учение Демокрита было правильно, то следовало бы ожидать, что большой объем воздуха будет двигаться быстрее малого количества воды, а затем прибавляет, что этого никогда не случается, — мне кажется, было бы желательно услышать от него, где должно было бы происходить то, что он выводит против Демокрита, или какой опыт показывает, что этого не случается. Думать, что это можно увидать в элементе — воде или воздухе — напрасно, потому что ни вода в воде, ни воздух в воздухе не движутся и никогда не стали бы двигаться, какую бы ни приписывать им причастность к земле или огню: земля, не будучи телом жидким, поддающимся движению других тел, является средою, не подходящей для подобного опыта; пустоты, по  {103}  словам Аристотеля, не существует, а если бы она даже существовала, ничто в ней не двигалось бы; остается область огня, но при ее огромной от нас удаленности какой опыт может убедить нас и дать Аристотелю, опровергающему Демокрита, необходимую уверенность утверждать, как нечто совершенно доступное нашим чувствам, что большой объем воздуха не движется быстрее, чем малое количество воды? Но я не хочу более останавливаться на этом вопросе, хотя мог бы сказать еще многое, и, оставляя в стороне Демокрита, возвращаюсь к тому месту Аристотеля, где последний делает попытку выяснить истинную причину того, почему тонкие пластинки железа и свинца плавают на поверхности воды, и даже само золото, обращенное в тончайшие листки, и мельчайшая пыль носятся не только в воде, но и в воздухе. Он полагает, что из связанных тел одни разделяемы, а другие нет, и из разделяемых одни разделяются легче, а другие труднее, и это-то, утверждает он, — и должно считаться причиною. Потом он добавляет, что легко разделяется то, что хорошо принимает любую форму, и тем легче, чем лучше ее принимает, и что таков, т. е. легче разделяем, воздух сравнительно с водою, и вода сравнительно с землею. Напоследок он высказывает положение, что в каждом веществе легче разделяется и рассеивается меньшее количество,» чем большее.

Здесь я замечу, что заключения Аристотеля в общем все верны, но мне кажется, что он прилагает их к частным случаям, где они не имеют места, в то время как вполне приложимы к другим случаям; так, скажем, воск легче разделяется, чем свинец, а свинец — чем серебро, так же как воск легче принимает всякие формы, чем свинец, а свинец — легче, чем серебро.

Правильно, кроме того, что легче разделяется малое количество серебра, чем большая его масса; и все эти положения верны, потому что правильно, что в серебре, свинце и воске попросту существует сопротивление разделению, а там, где есть абсолютное, там есть и относительное. Но так как ни в воде, ни в воздухе нет никакого сопротивления простому разделению, то как мы можем сказать, что вода труднее разделяется, чем воздух? Выражаясь таким образом, мы не избежим двусмысленности, а потому я повторяю, что сопротивление абсолютному разделению — это одно, сопротивление же разделению, производимому с такой-то скоростью, — — совершенно другое. Чтобы установить покой и задержать движение, необходимо сопротивление абсолютному разделению, сопротивление же быстрому разделению является причиною не покоя, но лишь медленности движения. Но как в воздухе, так и в воде нет сопротивления простому разделению; это ясно из того, что не найдется ни одного твердого тела, которое не разделяло бы и воздух, и воду; утверждение, что сусальное золото и мелкая пыль не способны преодолеть сопротивление воздуха, противно тому, что показывает нам опыт, так как мы видим, что носящиеся  {104}  в воздухе пыль и золото, в конце концов, оседают вниз и делают это также и в воде, если только помещены в нее и отделены от воздуха. А так как, согласно моему утверждению, ни воздух, ни вода совсем не противодействуют простому разделению, то нельзя сказать, что вода сопротивляется больше, чем воздух. Пусть никто не приводит мне в виде возражения пример легких тел, как-то: пера, кусочка сердцевины маиса и тростника, которые прорезывают воздух, но не воду, желая из этого примера вывести, что воздух разделяется легче воды; я скажу ему, что если он будет хорошо наблюдать, то увидит, как это самое тело разделит связность воды и опустится в нее частью, именно настолько, что занимаемый ею объем воды будет весить столько же, сколько все тело; если все же он будет оставаться в сомнении — не потому ли тело не погружается, что оно не способно разделить воду, — я предложу, чтобы он опустил его под воду, тогда он сам увидит, как оставленное на свободе, оно, поднимаясь, разделит воду не менее быстро, чем разделяло бы воздух, опускаясь. Говорить, что если такое-то тело опускается в воздухе, но, достигнув воды, перестает двигаться, и, следовательно, вода разделяется труднее, — не имеет смысла, потому что я предложу сделать обратное: взять кусок дерева или воска, который поднимется со дна воды, легко разделит и преодолеет ее сопротивление и затем, достигнув воздуха, остановится, едва прикоснувшись к нему; отсюда я с таким же основанием могу заключить, что вода разделяется легче, чем воздух.

Обсуждая этот вопрос, я не хочу умолчать и о другой ошибке того, кто приписывает причину опускания или неопускания на дно меньшему или большему сопротивлению плотности воды ее разделению и, пользуясь примером яйца, которое в пресной воде тонет, в соленой же плавает, видит причину этого в малом сопротивлении разделению пресной воды и в большем сопротивлении воды соленой. Если я не ошибаюсь, из того же опыта может быть сделан совершенно обратный вывод, а именно, что пресная вода более плотна, соленая же реже и легче, ибо яйцо со дна соленой воды быстро восходит на поверхность, разделяя ее сопротивление, чего не может сделать в воде пресной, в которой и остается лежать на дне, не поднимаясь кверху. Вот к каким затруднениям приводят нас ложные принципы; но тот, кто, рассуждая правильно, признает причиною таких явлений разность тяжести движущихся тел и среды, тот скажет, что яйцо идет ко дну в пресной воде, так как оно тяжелее ее, и идет к поверхности в воде соленой, так как легче ее, и без всякого затруднения подтвердит свои заключения.

Итак, совершенно отпадает причина, которую выставляет Аристотель, говоря: «следовательно, предметы, имеющие большую ширину, остаются наверху потому, что много покрывают, а то, что больше, не разделяется». Утверждаю, что такое рассуждение отпадает, ибо неверно, что в воде или  {105}  в воздухе существует какое-либо сопротивление разделению; к тому же свинцовая пластинка, когда она покоится, уже разделила плотность воды, проникла в нее и погрузилась на глубину в 10 или в 12 раз больше собственной толщины; кроме того, если бы и существовало в воде подобное сопротивление разделению, странно было бы говорить, что оно больше в верхних частях, чем в средних или нижних; если бы даже могло быть какое-либо различие, то более плотными должны были бы быть нижние слои воды, так что пластинка была бы скорее не способна проникнуть через нижние части воды, чем через верхние; а все же мы видим, что как только смачивается верхняя поверхность пластинки, так она тотчас же и без всякой задержки опускается на дно.

Я не думаю, чтобы кто-нибудь (считая, что может таким способом защитить Аристотеля) сказал, что, приняв за верное, будто большее количество воды оказывает большее сопротивление, чем количество малое, мы можем объяснить, почему пластинка, помещенная ниже, опускается на дно, — ибо ей теперь остается разделить меньший объем воды; наблюдая, как пластинка плавает, а затем и тонет в пригоршне воды, испробуем тот же опыт при глубине воды в 10 и 20 локтей и увидим, что последует точное повторение того же явления. Чтобы устранить довольно распространенное заблуждение, упомяну здесь, что судно или другое какое-либо тело, плавающее над глубиною в 100 или 1000 локтей при погружении своего тела в воду на глубину 6 локтей, совершенно таким же образом будет плавать в воде, глубина которой не превосходит 6 локтей и ¹/₂ дюйма.

Не думаю также, чтобы можно было говорить будто верхние слои воды более плотны, хотя весьма почтенный автор и признавал таковыми верхние воды моря, находя основание этому в том, что они более солоны, нежели более близкие ко дну; но я усомнился бы в этом опыте, разве только при извлечении воды со дна встретился пробивающийся там источник пресной воды; напротив, мы видим, что пресные воды простираются на несколько миль от своего устья над соленой водою моря, не опускаясь в нее и не смешиваясь с нею, если только не происходит какого-либо возмущения или волнения из-за ветров.

Но, возвращаясь к Аристотелю, скажу ему, что ширина фигуры не играет никакой роли в этом явлении, потому что та же пластинка из свинца или другого вещества, обделанная в форме тонких, но длинных полосок, плавает не лучше и не хуже; то же самое будет происходить с этими полосками, если снова разрезать их на малые квадраты, ибо не ширина, но толщина оказывает в этом случае влияние на явление. Скажу ему, далее, что если бы было верно то, что сопротивление разделению есть настоящая причина плавания, много и много лучше плавали бы фигуры более сжатые и короткие, чем обширные и широкие, потому что при увеличении  {106}  размера фигуры уменьшалась бы легкость плавания, а при ее уменьшении увеличивалась бы. Для выяснения того, что я говорю, необходимо принять во внимание, что, когда тонкая пластинка опускается, разделяя воду, разделение и нарушение связности воды происходят в тех частях, которые находятся вокруг обвода или окружности этой пластинки, и что, сообразно большей или меньшей величине обвода, разделяется большее или меньшее количество воды. Таким образом, если обвод пластинки будет равен, скажем, 10 локтям, то при погружении ее горизонтальной плоскостью она должна будет произвести разделение и вытеснение водяных частиц, так сказать, разрез вниз через толщу воды, на пространстве 10 локтей; подобным же образом меньшая пластинка, имеющая по периметру 4 локтя, должна произвести разрез на пространстве 4 локтей. Установив это, всякий, кто знаком немного с геометрией, поймет, что не только доска, распиленная на многие полосы, будет плавать лучше, чем в целом виде, но что все фигуры, чем они короче и уже, тем лучше должны держаться на поверхности. Пусть ABCD будет доска длиною, например, в восемь пядей и шириной в пять пядей; обвод ее будет составлять 26 пядей, следовательно, 26 пядям будет равняться и разрез, который она должна будет сделать в воде, чтобы опуститься. Если теперь мы разрежем ее, скажем, на восемь дощечек по линиям EF, GH и т. д., сделав семь разрезов, то увидим, что к 26 пядям обвода целой доски прибавилось еще 70 пядей, так что восемь образовавшихся благодаря разрезу и разделению дощечек должны будут разрезать воду на протяжении 96 пядей. Если, далее, разрежем каждую из названных дощечек на пять частей, образовав квадраты посредством разделения этих восьми дощечек четырьмя разрезами, то к обводу в 96 пядей прибавим еще 64, почему эти квадраты, опускаясь в воду, должны будут разделять воду на протяжении 160 пядей. Но сопротивление при этом должно быть гораздо больше, чем при обводе в 26 пядей, и, следовательно, чем к меньшим поверхностям мы приходим, тем легче они будут плавать; то же самое произойдет со всеми фигурами, поверхности коих подобны, но различны по величине, потому что при любом увеличении или уменьшении площадей в половинном отношении уменьшается или увеличивается их периметр, а, значит, и препятствие, встречаемое ими при разделении воды; следовательно, пластинки и дощечки должны плавать все легче и легче, по мере того как они будут все меньшей величины. Это ясно из того, что при сохранении постоянно одной и той же высоты тела последнее увеличивается или уменьшается в  {107}  такой же пропорции, как увеличивается или уменьшается его основание; поэтому, уменьшая тело более, нежели его обвод, мы уменьшаем причину, по которой оно идет ко дну, более, нежели причину, по которой оно плавает, и, наоборот, увеличив тело более, нежели его обвод, усиливаем причину, по которой оно тонет, в большей степени, нежели ту, по которой оно остается на поверхности. — И все это вытекает из доктрины Аристотеля против этой же самой доктрины!

Наконец, по поводу того, что сказано в последней части отдела, т. е. что надлежит сравнивать тяжесть движущегося тела с сопротивлением среды разделению, ибо если сила тяжести превосходит сопротивляемость среды, то тело опускается, если же нет, то оно плавает, нельзя возразить ничего иного, кроме того, что было уже сказано, именно, что в данном случае проявляется не абсолютное сопротивление разделению, которого не существует ни в воде, ни в воздухе, но тяжесть среды по сравнению с тяжестью движущегося тела; если среда обладает большим весом, нежели тело, то последнее не опустится и не погрузится полностью, а только частично, ибо место, которое оно заняло бы в воде, не может быть заполнено телом, имеющим вес меньший, чем соответствующий объем воды; но если тело будет тяжелее воды, то оно опустится на дно, чтобы занять место, пребывать в котором согласно природе ему подобает более, чем другому менее тяжелому телу. И то есть единственная, истинная, присущая телам и абсолютная причина, в силу которой они плавают или опускаются на дно, ибо никакие иные причины не принимают в этом участия; и дощечка моих противников плавает лишь тогда, когда она связана с таким количеством воздуха, что вместе с ним образует тело, которое легче воды в объеме, занятом этим сложным телом; но когда помещается в воду простой эбен, как то и должно быть по сути нашего вопроса, то он всегда идет ко дну, хотя бы был тонок, как бумага.

ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ ПЕРВОГО ИЗДАНИЯ «БЕСЕД»

ПЕРЕВОД
С. Я. ДОЛГОВА

Знаменитейшему синьору
графу ди Ноайль

Советнику его христианскою величества,
кавалеру ордена святою духа, фельдмаршалу эссерцитийскому,
сенешалю и губернатору Роерга,
наместнику его величества в Оверни,
моему глубокоуважаемому синьору и патрону¹

Глубокоуважаемый синьор

С

читаю актом благодеяния с вашей стороны, досточтимый синьор, то, что вы соблаговолили распорядиться моим настоящим сочинением, хотя я, как вам известно, смущенный и напуганный несчастной судьбою других моих сочинений, принял решение не выпускать более публично своих трудов и, чтобы не оставлять их вовсе под спудом, сохранять лишь рукописные копии таковых в месте, доступном, по крайней мере, для лиц, достаточно знакомых с трактуемыми мною предметами. Производя выбор места, я остановился на мысли, что прежде и лучше всего будет вручить мою рукопись вам, ибо я был уверен, что в силу вашего особого ко мне расположения, вы охотно примете на себя хранение моих трудов и сочинений. Для этой цели, воспользовавшись проездом вашим с посольством на обратном пути из Рима, я имел честь приветствовать вас лично, как уже неоднократно делал письменно, и при этой встрече передал вам копию настоящих двух к тому времени уже готовых трактатов, которые вы благосклонно одобрили и согласились беречь в сохранности, а также ознакомить с ними некоторых ваших друзей во Франции — людей, сведущих в таких науках, показав тем, что я хотя и молчу, но провожу жизнь не совсем праздно. После того я вознамерился приступить к изготовлению других  {112}  копий для рассылки их в Германию, Фландрию, Англию, Испанию и некоторые места Италии, как вдруг совершенно неожиданно был извещен фирмою Эльзевиров, что у нее готовы к печатанию эти мои произведения и что я должен принять решение относительно посвящения их кому-либо и срочно послать ей текст такового посвящения. Взволнованный такой совершенно неожиданной вестью, я, поразмыслив, пришел к выводу, что желание ваше поддержать меня и распространить мою известность, так же как и участие, принимаемое вами в моих сочинениях, явились причиною того, что последние попали в руки означенной фирмы, уже печатавшей другие мои работы и почтившей меня выпуском их в свет в прекрасном и богатом издании. Таким образом были вызваны к жизни эти мои сочинения, заслужившие одобрение со стороны вас, высокого судьи, коего таланты и несравненное благородство служат предметом всеобщего удивления. В стремлении к общей пользе вы решили, что эти сочинения должны быть опубликованы и тем способствовать распространению моей известности. При таком положении мне казалось необходимым дать какое-либо наглядное доказательство глубокой моей благодарности вам за благородный поступок, который увеличивает мою славу, давая ей возможность свободно распространяться по всему свету, тогда как мне казалось достаточным, чтобы она оставалась в более тесных кругах. Поэтому вашему имени, досточтимый синьор, да будет посвящено мое сочинение; сделать это побуждает меня не только сознание всего того, чем я вам обязан, но и готовность ваша, да позволено мне будет так выразиться, защищать мою репутацию ото всех, желающих запятнать ее. Вы опять воодушевили меня на борьбу с моими противниками. Вот почему я подвигаюсь вперед под вашим знаменем и под вашей защитой, преисполненный благодарности за ваше расположение, с пожеланием вам всей возможной полноты счастья и благополучия.

ВАШ, ЗНАМЕНИТЕЙШИЙ СИНЬОР, ПРЕДАННЫЙ СЛУГА
ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ

Арчетри, 6 марта 1638 года.

Читателям от издателей²

Г

ражданская жизнь поддерживается путем общей и взаимной помощи, оказываемой друг другу людьми, пользующимися при этом, главным образом, теми средствами, которые предоставляют им искусства и науки. Поэтому созидатели последних со времен глубокой древности всегда пользовались общим почетом и уважением; и чем более поразительным или полезным представлялось людям изобретение, тем большая хвала и честь воздавались изобретателю, вплоть до его обожествления (таким путем люди по общему соглашению стремились воздать наивысшие почести и увековечить память того, кто создал их благосостояние). Наравне с этим достойны похвалы и удивления также и те люди, которые благодаря остроте своего ума внесли изменения в вещи уже известные, открыли неправильность или ошибочность положений, поддерживаемых многими учеными и почитаемых благодаря этому повсеместно за правду, причем такие открытия достойны похвалы даже тогда, когда они только устраняют ложь, не ставя на место ее истины, которая сама по себе столь трудно поддается установлению, в согласии с принципом ораторов: «Если бы возможно было устанавливать истину столь же легко, как искоренять ложь!» (Utinam tam facile possem vera reperire, quam falsa convincere). Похвал такого рода особенно заслуживают наши исследователи последних столетий, в течение которых искусства и науки, доставшиеся нам от древних, доведены до высокой степени совершенства и все продолжают совершенствоваться благодаря трудам проницательных умов и их многочисленным доказательствам и опытам. В особенности это имеет место в отношении наук математических, в которых (если не касаться многих других, с честью  {114}  и успехом подвизавшихся на том же поприще) одно из первых мест принадлежит по общему признанию всех сведущих лиц нашему синьору Галилео Галилею, академику Линчео. Последний, с одной стороны, показал несостоятельность многих теорий, касающихся разнообразных предметов, подтвердив свои доводы опытами (многочисленные примеры чему имеются в изданных уже его сочинениях), с другой — при посредстве телескопа (хотя и появившегося в наших краях, но доведенного им до большого совершенства) открыл и ранее всех других опубликовал сведения о четырех звездах — спутниках Юпитера, правильном и точном строении Млечного пути, солнечных пятнах, возвышенностях и темных частях Луны, тройственном строении Сатурна, фазах Венеры, свойствах и строении комет, — о чем не знал никто из астрономов и философов древности³. Можно сказать поэтому, что он представил всему свету астрономию в новом блеске и что блеск этот (поскольку в небесах и телах небесных с большей очевидностью и блеском, нежели во всем остальном, выявляются мощь, мудрость и благость всевышнего творца) свидетельствует о размере заслуг того, кто расширил наше познание и показал столько нового и замечательного в отношении небесных тел, несмотря на их отдаленность от нас, граничащую с бесконечностью; ибо наглядность, согласно распространенному изречению, в один день научает нас больше и прочнее, чем правила, хотя бы тысячу раз повторяемые, так как собственное наблюдение (как говорят некоторые) идет здесь рука об руку с теоретическим определением. Но еще более выявляются дары, которыми наделили его бог и природа, в настоящем сочинении (плоде многих трудов и бдений), из которого явствует, что автор открыл две новых науки и доказал убедительно, то есть геометрически, их принципы и основания. Что должно сделать это сочинение еще более достойным удивления, это то, что одна из наук касается предмета вечного, имеющего первенствующее значение в природе, обсуждавшегося великими философами и о котором уже написано множество томов, короче сказать, движения падающих тел — предмета, с которым связано множество удивительных обстоятельств, которые до сего времени оставались никем не открытыми, не то что доказанными. Другая наука, также развитая из основных ее принципов, касается сопротивления, оказываемого твердыми телами при стремлении их сломить, и она тоже изобилует примерами и предложениями, остававшимися до сих пор никем не замеченными; познания такого рода весьма полезны в науке и искусстве механики. Настоящим сочинением мы лишь открываем двери к этим двум новым наукам, изобилующим положениями, которые в будущем будут неизмеримо больше приумножены пытливыми умами, а также даем немалое число доказанных положений, от которых можно перейти к бесчисленному множеству других, что легко поймут и признают сведущие люди.

ПЕРЕЧЕНЬ ГЛАВНЫХ ТЕМ,

излагаемых в настоящем
сочинении

I

ДЕНЬ ПЕРВЫЙ

II

ДЕНЬ ВТОРОЙ

III

О естественно ускоренном движении

IV

ДЕНЬ ЧЕТВЕРТЫЙ⁴

Приложение, содержащее некоторые предложения
и доказательства, касающиеся центра тяжести твердых тел

V

ДЕНЬ ПЯТЫЙ

VI

ДЕНЬ ШЕСТОЙ

ДЕНЬ ПЕРВЫЙ⁵

Собеседники: Сальвиати, Сагредо, Симпличио

С

альвиати. Обширное поле для размышления, думается мне, дает пытливым умам постоянная деятельность вашего знаменитого арсенала, синьоры венецианцы, особенно в области, касающейся механики, потому что всякого рода инструменты и машины постоянно применяются здесь большим числом мастеров, из которых многие путем наблюдений над созданиями предшественников и размышления при изготовлении собственных изделий приобрели большие познания и остроту рассуждения.

Сагредо. Вы нисколько не ошибаетесь, синьор. Я, будучи по природе любознательным, часто ради удовольствия посещаю это место, наблюдая за деятельностью тех, которых по причине их превосходства над остальными мастерами мы называем «первыми»; беседы с ними не один раз помогли мне разобраться в причинах явлений не только изумительных, но и казавшихся сперва совершенно невероятными. Правда, не раз приходил я при этом в смущение и отчаяние от невозможности постичь то, что выходило из круга моего понимания, но справедливость чего показывал мне наглядный опыт. Что тут мало помогает сказанное кем-либо из древних, — достаточно распространенное мнение и утверждение; но я, более того, считаю такие ссылки совершенно бесполезными, как и многое другое, исходящее из уст людей мало ученых, и полагаю, что все такие объяснения  {117}  имеют только одну цель — показать, что можешь сказать что-нибудь о том, чего не понимаешь⁶.

Сальвиати. Вы, синьор, может быть, имеете в виду мой вопрос, заданный тогда, когда мы старались понять причину устройства множества снарядов, подпорок, креплений и иных сооружений для поддержки, пользуясь которыми должны были спустить на воду большую галеру и которых не делают при спуске менее значительных судов; вы ответили мне, что это делается во избежание опасности поломки судна под давлением его собственного громадного веса — опасности, не существующей для малых масс дерева.

Сагредо. Этот факт и в особенности последнее ваше замечание приводят к заключению, которое я всегда считал распространенным, но ошибочным — что относительно этих и других механизмов нельзя делать заключения от малого к большому, так как многие изобретения в машинах удаются в малом, но не применимы в большом. Однако вся механика имеет своею основою геометрию; и мы знаем, что круги, треугольники, а также цилиндры, конусы и другие формы твердых тел не только отличаются друг от друга большей или меньшей величиной, но и изменяются одни по одним, а другие по другим законам. Если поэтому большая машина сделана во всех своих частях пропорционально малой, оказавшейся прочною и пригодной для употребления, то я не вижу, почему мы все же не можем считать себя обеспеченными от какого-либо несчастия или опасности.

Сальвиати. Общераспространенное мнение совершенно ложно, настолько ложно, что скорее можно было бы утверждать как истину противное, а именно, что многие машины можно сделать более совершенными большего размера, нежели меньшего; так, например, часы, показывающие и отбивающие время, легче сделать точными такой-то определенной величины, нежели меньшей. Большей основательностью отличается сходное мнение людей образованных, которые причину различной успешности таких машин, не находящую себе объяснения в чистых и абстрактных положениях геометрии, видят в несовершенстве материи, подверженной многим изменениям и недостаткам. Но, думается, я могу, не навлекая на себя обвинения в дерзости, сказать, что одного несовершенства материи, могущего извратить все выводы чистейшей математики, недостаточно для объяснения несоответствия построенных машин машинам отвлеченным и идеальным. Смею утверждать, что если мы, отвлекшись от всякого несовершенства материи и предположив таковую неизменяемой и лишенной всяких случайных недостатков, построим большую машину из того же самого материала и точно сохраним все пропорции меньшей, то в силу самого свойства материи мы получим машину, соответствующую меньшей во всех отношениях, кроме прочности и сопротивляемости внешнему воздействию; чем больше будет она по размерам, тем менее будет она прочна. Так как я  {118}  предполагаю, что материя неизменяема, т. е. постоянно остается одинаковой, то ясно, что такое вечное и необходимое свойство может вполне быть основой для чисто математических рассуждений. Поэтому, синьор Сагредо, откажитесь от вашего прежнего мнения, разделяемого также многими механиками, будто машины или приборы, построенные из того же самого материала с точным соблюдением пропорциональности во всех частях, должны одинаково или, лучше сказать, пропорционально своему размеру сопротивляться или уступать внешним воздействиям, потому что геометрически может быть доказано, что большие машины всегда будут менее способны к противодействию. Это справедливо не только по отношению к искусственно сделанным машинам, но и по отношению к натуральным предметам, для которых также имеется неизбежный предел, который не может быть превзойден ни искусством, ни природою; оговариваюсь — не может быть превзойден при соблюдении строгой пропорциональности и тождества материала⁷.

Сагредо. Я уже чувствую, как меняются мои мысли; подобно тому, как облако озаряется мгновенно молнией, так и мой ум озарился внезапным и необычным светом, который затем опять погас, показав только издали странные и непривычные представления. Из того, что вы только что сказали, я должен, кажется, заключить, что из одного и того же материала невозможно построить двух машин, подобных одна другой, но имеющих различную величину, так, чтобы они были пропорциональны по сопротивляемости; но, если это верно, то невозможно будет найти и двух брусков из одного и того же дерева, сходных по крепости и качеству, но разнящихся по величине.

Сальвиати. Совершенно верно, синьор Сагредо; а чтобы лучше убедиться, что мы пришли с вами к одинаковому заключению, скажу следующее: если мы возьмем деревянное бревно такой-то длины и толщины, вделанное, скажем, в стену под прямым углом так, что оно располагается параллельно горизонту, и предположим, что длина его достигает крайнего предела, при котором оно может еще держаться, т. е. что при увеличении длины его еще на волос оно ломается от собственной тяжести, то бревно это явится единственным в своем роде на свете. Если длина его, предположим, превышает его толщину во сто раз, то мы не сможем найти ни одного бревна из того же дерева, которое при длине, превышающей его толщину во сто раз, было бы способно выдержать ровно столько же, сколько взятое для примера: все бревна большего размера сломаются, меньшего же — будут способны помимо собственной тяжести выдержать и еще некоторую нагрузку. То, что сказано мною о способности выдержать свой собственный вес, применимо и к другим сооружениям; если деревянный брус выдерживает тяжесть, скажем, десяти равных ему брусьев, то подобная ему, но больших размеров балка не сможет выдержать веса десяти  {119}  одинаковых с нею балок. Обратите внимание, синьор Сагредо, и вы также, синьор Симпличио, сколь правильно наше заключение, которое с первого взгляда кажется таким невероятным; потребовалось лишь немного размышления, чтобы снять с истины скрывающий ее покров и увидеть неприкрытым ее прекрасный лик. Кто не знает, что лошадь, упав с высоты трех-четырех локтей, ломает себе ноги, тогда как собака при этом не страдает, а кошка остается невредимой, будучи брошенной с высоты восьми-десяти локтей, точно так же, как сверчок, упавший с верхушки башни, или муравей, упавший на Землю, хотя бы из лунной сферы; малые дети также остаются здоровыми после таких падений, при которых взрослые ломают себе члены и разбивают головы. Подобно тому, как меньшие животные оказываются относительно более сильными и выносливыми, нежели большие, и меньшие растения держатся лучше; вы оба признаете теперь, я уверен, что дуб в двести локтей вышиной не сможет поддерживать свои ветви совершенно так же, как дуб средней величины, и что природа не могла бы создать лошадь, величиной в двадцать лошадей, или гиганта, в десять раз превышающего обычный человеческий рост, иначе, как чудесным образом, или изменив в достаточной мере пропорцию членов, в особенности костей, весьма и весьма усилив их по сравнению с пропорциями обычного скелета. Равным образом явную ошибку представляет мнение, что искусственные машины, как большие, так и малые, одинаково мощны и прочны. С маленькими обелисками, колоннами и другими твердыми телами мы можем, например, обращаться свободно, наклоняя и поднимая их без риска сломать, в то время как в большом виде эти фигуры разлетелись бы при этом в куски и ни от чего иного, как от собственного своего веса. По этому поводу я могу вам рассказать случай, достойный внимания, как все случаи, которые происходят против ожидания и при которых меры, принимаемые для устранения несчастия, могут оказаться причиною последнего. Большая мраморная колонна была положена двумя своими концами на две массивных деревянных балки; через некоторое время одному механику показалось полезным, дабы предупредить излом колонны посредине, поставить в этом месте третью опору; такая мысль была всеми одобрена, но в действительности случилось нечто совсем обратное: не прошло и нескольких месяцев, как колонна переломилась и притом как раз в середине над новой опорой.

Симпличио. Случай поистине удивительный и действительно «praeter spem».^* Как же это могло случиться по причине того, что поставили новую среднюю опору?

Сальвиати. Несчастие произошло именно от этого, и расследование причины устранило элемент чудесного. Когда обе части колонны  {120}  сложили прямо на землю, то оказалось, что из двух балок, поддерживающих колонну по концам, одна от долгого времени подгнила и опустилась; а так как средняя опора была крепка и прочна, то она и стала причиною того, что половина колонны осталась на весу в воздухе, лишенная поддержки на конце. Таким образом колонна эта переломилась от действия собственного тяжелого веса, чего не случилось бы, если бы она оставалась по-прежнему положенной на две первоначальные опоры; если бы последние и оседали, то колонна следовала бы за ними. Нет никакого сомнения в том, что такого случая не могло бы произойти с маленькой колонной, хотя бы из того же самого материала, если бы длина и толщина ее были пропорциональны размерам большей колонны⁸.

Сагредо. В справедливости явления я теперь совершенно убежден; но я не могу понять, почему при соответственном увеличении материала не возрастает в той же мере и способность сопротивления. Это смущает меня тем более, что я часто вижу противное в других случаях, когда прочность и сопротивление излому усиливаются в большей степени, чем возрастает толщина материала. Так, например, если в стену вбито два гвоздя, причем один из них вдвое толще другого, то последний может выдержать не только вдвое, но втрое или вчетверо больший груз^8a.

Сальвиати. Скажите — в восемь раз больший, и вы будете недалеки от истины; но этот факт не противоречит тому, что было сказано ранее, несмотря на то, что так может показаться вначале.

Сагредо. В таком случае, синьор Сальвиати, не сгладите ли вы, если только можете, эти ухабы и не осветите ли вы эти темные места? Мне кажется, что вопрос о сопротивлении представляет прекрасное поле для исследования и, если вы согласитесь избрать эту тему предметом нашей сегодняшней беседы, то я, а также, полагаю, и синьор Симпличио, будем вам весьма признательны.

Сальвиати. Я всегда готов к вашим услугам, поскольку память поможет мне привести все то, что я слышал от нашего Академика. Последний много поработал над этим предметом, стараясь, по своему обычаю, всему найти геометрическое обоснование, так что не напрасно его учение может претендовать на название новой науки. Если некоторые положения и были уже выдвинуты другими и, прежде всего, Аристотелем, они, однако, не из числа наиболее удачных и, что самое важное, они не выведены с помощью необходимых доказательств из их первоначальных и бесспорных основ. Поэтому я постараюсь, если можно так выразиться, неоспоримо доказать вам все мои положения, а не только убедить вас правдоподобными рассуждениями; при этом я предполагаю, что вы настолько знакомы с основаниями механики, насколько это необходимо для нашей цели⁹.

Прежде всего, нам надлежит рассмотреть, что собственно происходит, когда ломается кусок дерева или другого тела, части которого прочно  {121}  связаны между собою. Это есть первичное явление, из которого выводится первый и простейший принцип, лежащий в основе всего остального. Для лучшего объяснения представим себе цилиндр или призму АВ из дерева или другого твердого и связного материала, закрепленный верхним концом А в свинцовую оправу, к нижнему концу которого В подвешен груз С. Ясно, что каковы бы ни были сопротивление и связность частей твердого тела, раз они не бесконечно велики, они могут быть превзойдены силою растягивающего груза С, вес которого может быть увеличиваем по желанию, и твердое тело в конце концов разорвется наподобие веревки. И как в веревке мы приписываем ее сопротивляемость множеству составляющих ее нитей пеньки, так и в дереве мы находим продольные волокна и нити, делающие его более прочным, нежели пеньковая веревка такой же толщины. Что касается цилиндров из камня или металла, то куда большая связность их частей зависит от другой причины, отличной от нитей и волокон, но и эти материалы также могут быть разорваны сильным растягиванием.

Симпличио. Если дело обстоит так, как вы говорите, то я прекрасно понимаю, что волокна дерева, имеющие одинаковую длину с куском его, могут оказывать сопротивление и большой силе, стремящейся его сломить; но, ведь, веревка состоит из нитей пеньки, длиною каждая от двух до трех локтей; каким же образом эти нити могут придавать прочность веревке, длиною в сто локтей? Кроме того, мне хотелось бы знать ваше мнение о сцеплении частей в металлах, камнях и других веществах, лишенных волокон, которые все же обладают, если я не ошибаюсь, еще большей связностью.

Сальвиати. Этих новых вопросов, не стоящих в необходимой связи с поставленной мною задачей, мы можем коснуться позже, когда сумеем разрешить уже указанные выше затруднения.

Сагредо. Но если уклонения могут привести нас к познанию новых истин, то что мешает нам, не связанным строгим и жестким методом и ведущим беседы по собственному своему желанию, сделать отклонение в сторону для выяснения такого вопроса, коснуться которого в другой раз, может быть, и не представится подходящего случая; а затем, кто знает, не откроем ли мы таким путем вещей еще более удивительных, нежели наши первоначальные положения? Поэтому я также прошу вас разрешить предложенный синьором Симпличио вопрос, интересующий и меня; мне очень хотелось бы знать, какой причине приписывается связность частей твердых тел, благодаря которой они представляются цельными; познание этого кажется мне необходимым также для того, чтобы уяснить причину сцепления и тех нитей, из которых состоят некоторые твердые тела¹⁰.  {122} 

Сальвиати. Готов служить вам так, как вы того желаете. Первое затруднение — это: каким образом веревка, длиною в сто и более локтей, состоящая из сплетения нитей (не превышающих двух-трех локтей в длину), может с такою силою сопротивляться их разделению? Но, скажите мне, синьор Симпличио, разве вы не можете держать отдельное волокно пеньки, зажав один конец его между пальцами, так крепко, что я, потянув его за другой конец, скорее разорву волокно, нежели выдерну его из ваших рук? Конечно, можете. Но волокна пеньки держатся в веревке не только концом, но всей своей поверхностью, будучи плотно прижаты друг к другу; не ясно ли поэтому, что освободить их отсюда труднее, нежели разорвать? Скрученность нитей в веревке связывает их между собою так прочно, что когда мы тянем за веревку с большой силой, то пряди ее разрываются, а не отделяются одна от другой; в этом легко убедиться, так как при разрыве остаются короткие концы, а не длинные — в локоть и 'более, какие должны были бы получиться, если бы разрыв веревки происходил не вследствие разрыва нитей, а вследствие взаимного их скольжения.

Сагредо. В подтверждение этого я прибавлю, что веревка часто разрывается не только от вытягивания в длину, но и от сильного скручивания, — аргумент, имеющий, по моему мнению, решающее значение. Здесь нити так прижаты друг к другу, что нажимающие не позволяют нажимаемым соскользнуть даже на самую малую величину, необходимую для того, чтобы описать спираль, обвиваясь вокруг веревки, которая вследствие скручивания укорачивается и становится несколько толще.

Сальвиати. Вы совершенно правы. И заметьте при этом, как одна истина влечет за собою другую. Нить, зажатая между пальцами, которая не выдергивается с какой бы силою мы ее ни тянули, оказывает сопротивление потому, что удерживается двойным давлением: насколько верхний палец нажимает на нижний, настолько же и последний давит на первый. Не подлежит сомнению, что если бы из двух этих давлений мы могли сохранить только одно, то осталась бы половина сопротивляемости, от них зависящей; но сделать этого непосредственно невозможно, так как невозможно поднять верхний палец и устранить его давление, не прекратив давления нижнего. Необходимо поэтому придумать искусственное приспособление для сохранения одностороннего давления, т. е. такое устройство, при котором нить сама прижималась бы к пальцу или другому твердому телу, на которое она положена, и достигнуть того, чтобы сила, стремящаяся оборвать нить, прижимала ее тем плотнее, чем более она становится. Этого можно достигнуть, обвивая нить спирально вокруг твердого тела, для лучшего понимания чего воспользуемся рисунком. Пусть АВ и CD два цилиндра, между которыми находится нить EF; для большей наглядности представим ее себе в виде шнура. Несомненно, что если тянуть  {123}  шнур EF за конец F, то при сильном прижимании одного цилиндра к другому он окажет немалое сопротивление, прежде чем проскользнет между зажимающими его цилиндрами; если же мы отнимем один из последних, то шнур, хотя и будет в соприкосновении с другим цилиндром, однако не сможет быть удержан этим соприкосновением. Но если мы придержим шнур, хотя бы и слегка, у верхнего конца цилиндра Л, обернем его затем вокруг цилиндра по спирали AFLOTR и потянем за конец R, то ясно, что шнур начнет стягивать цилиндр. Если витков спирали будет много, то при усиливающемся натягивании шнур будет прижиматься к цилиндру все сильнее; при увеличении числа спиралей соприкосновение будет становиться все большим, а скольжение — все более затруднительным, так что весьма трудно будет вытянуть обвивающий шнур и большой силой. Кто же теперь не признает, что именно таково сопротивление нитей, которые тысячью и тысячью подобных витков образуют толстый канат? Взаимное прижимание держит волокна при таком спиральном закручивании столь прочно, что из небольшого количества не особенно длинных стеблей тростника и при малом числе допускаемых при его кручении витков приготовлялись прочные канаты, которые, как кажется, носили название «suste»¹¹.

Сагредо. Ваши объяснения рассеивают то чудесное, что я видел в двух явлениях, остававшихся для меня ранее непонятными. Первое явление заключалось в том, что двух или трех оборотов каната вокруг вала было достаточно, чтобы он держался и не соскальзывал, несмотря на большую привязанную к нему тяжесть; более того, при вращении ворота этот вал через посредство каната, который только прилегал к нему, мог тащить и поднимать огромные камни, в то время как другой конец каната держал маленький слабый мальчик. Другое — это простое, но остроумное приспособление, изобретенное одним мальчиком — моим родственником — для того, чтобы спускаться из окна по веревке, не натирая себе ладоней, что незадолго до того причинило ему большие мучения. Для лучшего уяснения я набросаю вам рисунок этого приспособления. Вокруг деревянного цилиндра АВ, толщиною с обыкновенную трость и длиной в ладонь, он сделал спиральную выемку, не более чем в полтора оборота, такой глубины, чтобы туда входила веревка, по которой хотят спускаться; веревка входила в конец нарезки А и выходила с другого конца В. Затем он вставлял цилиндр вместе с веревкою  {124}  в деревянную или, еще лучше, жестяную трубку, разрезанную по длине и могущую удобно раскрываться и закрываться. Крепко привязав верхний конец веревки, он брал затем трубку обеими руками и повисал в воздухе; от нажима трубки на веревку и цилиндр получалось давление, которое он по желанию мог увеличивать и уменьшать; когда он сильно сжимал трубку руками, то оставался висеть в воздухе, когда же он несколько ослаблял давление, то начинал медленно скользить и опускаться вниз.

Сальвиати. Действительно остроумное изобретение. Для полного объяснения его природы, мне кажется, можно было бы высказать еще некоторые соображения. Но я не хочу сейчас делать дальнейших отступлений по поводу этого частного случая, так как вы желали знать мое мнение относительно сопротивления разрыву других тел, состоящих не из волокон, как веревки или большая часть древесных пород, почему и связность частей их должна иметь другие причины. По моему мнению, связность эта может быть сведена к двум основаниям: одно — это пресловутая боязнь пустоты у природы; в качестве другого (не считая достаточной боязнь пустоты) приходится допустить что-либо связующее, вроде клея, что плотно соединяет частицы, из которых составлено тело. Поговорим сперва о пустоте и покажем на опыте природу и величину ее мощи. Возьмем, прежде всего, две пластинки из мрамора, металла или стекла, — плоские, гладкие и тщательно отполированные; положенные одна на другую, они легко передвигаются в стороны (ясное доказательства того, что их не соединяет какое-либо клейкое вещество); но если мы захотим их разделить, держа друг над другом, то проявится такое сопротивление разделению, что верхняя поднимет и подтянет нижнюю и долгое время будет удерживать ее на весу, хотя бы последняя была достаточно велика и тяжела. Этот опыт ясно доказывает нежелание природы допустить хотя бы. на краткий промежуток времени то пустое пространство, которое образовалось бы между пластинками до того момента, как окружающий воздух заполнил бы его. Так же можно видеть, что когда поверхности пластинок отполированы недостаточно хорошо, так что соприкосновение их не столь совершенно, то при медленном разъединении не получается никакого сопротивления, кроме обусловленного собственным весом пластинки; при быстром же подъеме верхней пластинки нижняя также поднимается, на тотчас же отпадает, следуя за верхней в течение весьма краткого промежутка времени, необходимого лишь для того, чтобы рассеялись малые частицы воздуха, находившиеся между не совсем плотно прилегавшими одна к другой поверхностями, и в промежуток между ними вошел новый, окружающий воздух. Сопротивление образованию пустоты, подобное тому, которое обнаруживается на примере двух прилегающих друг к другу пластинок, несомненно существует между частями твердого тела и является по крайней мере одной из причин их сцепления¹².  {125} 

Сагредо. Остановитесь, пожалуйста, и разрешите мне сделать одно замечание, которое только что пришло мне в голову, и вот оно: поскольку мы видели, что нижняя пластинка следует за верхней и поднимается при быстром движении, необходимо признать, что движение в пустоте совершается не мгновенно, в противоположность учению многих философов и в том числе самого Аристотеля; в самом деле, если бы было так, как они утверждают, то обе упомянутые пластинки разделились бы сразу и без всякого сопротивления, ибо уже малейшего промежутка времени было бы достаточно для их разделения и для того, чтобы окружающий воздух заполнил могущую образоваться между ними пустоту. Из того, что нижняя пластинка следует за верхней, необходимо заключить, что движение в пустоте не совершается мгновенно; кроме того, заключаю, что между пластинками остается пустое пространство, хотя бы и на самое короткое время, в течение которого совершается движение окружающей среды, направленное к заполнению пустоты, и что если бы пустоты не образовалось, то не было бы надобности ни в доступе, ни в движении окружающей среды. Приходится, таким образом, сказать, что пустое пространство может образоваться насильственно или вопреки природе (хотя я того мнения, что ничто не может происходить вопреки природе, кроме невозможного, которое поэтому никогда и не случается)¹³. Но у меня возникают другие затруднения; в то время как опыт доказывает мне справедливость заключения, мой ум остается не совсем удовлетворенным теми причинами, которым мы приписали данное явление. Так как явление разделения обеих пластинок предшествует образованию пустоты, которое следует по времени за разделением, а причина, как мне кажется, если не по времени, то по существу, должна предшествовать действию, всякому же положительному действию должна соответствовать и положительная причина, то я не могу уяснить себе, каким образом причиною прилипания друг к другу двух пластинок и их сопротивления разделению — явлений уже существующих — может быть пустота, которой еще нет и которая еще должна образоваться. А вещи, которых еще нет, не могут проявляться в действии, согласно общепризнанному утверждению философа.

Симпличио. Если вы ссылаетесь на это утверждение Аристотеля, то я надеюсь, что вы не станете отрицать и другого его прекрасного и верного положения, а именно, что природа не стремится творить ничего такого, что сопротивлялось бы ее творению; это положение, кажется мне, дает ключ к разрешению вашего сомнения. Пустое пространство противится само своему образованию, почему природа и препятствует сделать то, что необходимо влечет за собою образование пустоты и чем в данном случае является разделение двух пластинок.

Сагредо. Прекрасно. Принимаю как достаточное разъяснение моих сомнений то, что сказано сейчас синьором Симпличио¹⁴. Возвращаясь к  {126}  началу нашей беседы, замечу, что подобное противодействие образованию пустоты кажется мне достаточной причиной сцепления частиц твердого тела из камня, металла или какого угодно другого вещества, еще более прочного и еще сильнее противящегося разделению. Теперь, если каждое единичное явление, как я слышал и полагал, имеет одну причину — или, если последних и несколько, то все их можно свести к одной, — то почему же нельзя считать достаточной причиной всех явлений сопротивления именно пустоту, которая, как уже доказано, имеет здесь место?

Сальвиати. Сейчас я не хотел бы входить в обсуждение вопроса, является ли одна пустота без добавления какого-либо другого средства достаточной, чтобы держать частицы твердого тела связанными между собою; могу вас уверить, однако, что первая причина, которая действительно имеет место и объясняет явление с пластинками, недостаточна для объяснения прочности частей цилиндра из мрамора или металла, которые под влиянием большой силы, их растягивающей, в конце концов разрываются и разделяются. Если я найду средство отличить известное уже нам сопротивление, вызываемое пустотою, от другого, происходящего от иной причины, какова бы она ни была, также способствующей сцеплению частиц, и если я смогу показать вам, что первая причина недостаточна одна для объяснения явления, то не скажете ли вы сами, что необходимо введение и другой причины. Помогите ему, синьор Симпличио; он молчит, не зная, что ответить.

Симпличио. Быть может, молчание синьора Сагредо и представляет собою ответ, так как такие ясные и необходимые следствия не оставляют места для возражений.

Сагредо. Вы угадали, синьор Симпличио. Я подумал, что если миллиона золотом, получаемого ежегодно из Испании для оплаты военных расходов, недостаточно, то придется искать других источников для того, чтобы платить жалование солдатам. Но продолжайте, синьор Сальвиати, и в предположении, что я принял ваши заключения, покажите нам способ отделить действие пустоты от других причин или, если вы можете его измерить, то покажите, почему его недостаточно для объяснения тех явлений, о которых вы говорите.

Сальвиати. Да поможет вам ваш демон!¹⁵ Я покажу вам способ, каким можно отделить противодействие образованию пустоты от действия других причин, и прием, каким его можно измерить. Для этого постараемся отыскать такое сплошное вещество, части которого не оказывали бы иного сопротивления разделению, кроме вызываемого боязнью пустоты. Таким веществом, как уже давно доказал наш Академик, является вода¹⁶. Если мы возьмем цилиндр воды и обнаружим в нем сопротивление его частиц разделению, то оно не может происходить от иной причины, кроме стремления не допустить образования пустоты. Чтобы произвести  {127}  подобный опыт, я придумал прибор, устройство которого я вам объясню при помощи этого рисунка лучше, нежели просто словами. Пусть CABD разрез полого цилиндра, сделанного очень аккуратно из металла или стекла, смотря по желанию, внутрь которого помещен деревянный цилиндр, находящийся в тесном соприкосновении со стенками первого; разрез этого цилиндра обозначен буквами EGHF. Этот цилиндр может перемещаться вверх и вниз; посредине он просверлен, и через него пропущен железный стержень, нижний конец которого К загнут, в то время как верхний I расширен в виде кегли или конуса, по форме которого в верхней части деревянного цилиндра вырезано соответственное углубление. Последнее сделано аккуратно, так что расширенная часть стержня IK может в него точно вместиться всякий раз, как мы потянем вниз часть К. Вставим деревянный цилиндр ЕН, который будем называть поршнем, внутрь цилиндра AD, но так, чтобы он не доходил до верхней поверхности последнего на два-три пальца, оставляя пространство, которое должно быть заполнено водою. Последняя наливается на поршень ЕН, когда цилиндр перевернут открытой стороной CD вверх, причем головка стержня I выдвигается из соответственной выемки деревянного поршня, чтобы дать возможность выйти воздуху через просверленное в поршне отверстие, которое делается для того несколько большего диаметра, нежели проходящий через него стержень IK. Выпустив весь воздух и передвинув железный стержень так, чтобы его головка поместилась в соответственном углублении и закупорила цилиндр, перевернем последний отверстием вниз и подвесим на крюк К сосуд с песком или другим тяжелым материалом, которого будем прибавлять до тех пор, пока, в конце концов, верхняя поверхность поршня EF не оторвется от нижней поверхности воды, с которой ее связывало только сопротивление пустоты. Взвесив поршень с крюком, сосудом и тем, что находилось в последнем, измерим силу сопротивления пустоты. Теперь возьмем цилиндр из мрамора или хрусталя толщиною, равной водяному, и подвесим к нему груз, равный тому, который был найден нами в предшествующем опыте, принимая в расчет и собственный вес мрамора или хрусталя; если при этом получится разрыв, то мы без всякого колебания можем утверждать, что части мрамора или хрусталя держатся связными в силу одного сопротивления пустоте. Но так как этого не произойдет, и для того, чтобы разорвать мрамор, понадобится добавить к первоначальному грузу еще в четыре раза больший груз, то можно будет утверждать, что сопротивление пустоте обусловливает лишь одну пятую часть сцепления частиц мрамора, и остальные причины сильнее указанной в четыре раза¹⁷.  {128} 

Симпличио. Не могу отрицать, что ваше изобретение очень остроумно; но мне думается, что существуют некоторые затруднения, которые делают для меня этот опыт сомнительным. Кто знает, не может ли воздух пройти между стеклом и поршнем, хотя бы таковой и был обернут тканью или другой мягкой материей? И хотя конус хорошо пригнан к отверстию, быть может, не мешало бы смазать его воском или скипидаром для лучшей непроницаемости. Кроме того, почему не допустить, что частицы воды могут разделяться и разрежаться, или что воздух, пар или другие легкие субстанции могут проходить через пористое дерево и даже через самое стекло?

Сальвиати. С большим умением излагаете вы, синьор Симпличио, возникающие затруднения, давая отчасти и средства уничтожить их, поскольку дело касается проникновения воздуха через дерево или между деревом и стеклом. В ответ на ваши возражения замечу, что посредством новых наблюдений мы можем убедиться, имеют ли место упомянутые затруднения. Предположим, что вода способна рассеиваться по своей природе хотя бы под влиянием силы, как это наблюдается с воздухом; тогда поршень должен был бы опуститься; далее, если мы сделаем в верхней части стеклянного цилиндра небольшую выпуклость, наподобие отмеченной на рисунке буквою V, то, проникая через дерево или стекло, воздух или другая тонкая материя должны были бы собраться (пройдя через воду) под выпуклостью V. Так как ни того, ни другого не случается, то мы должны считать опыт произведенным со всеми необходимыми предосторожностями и признать, что вода неспособна к рассеиванию и что стекло непроницаемо ни для какой, даже самой тонкой материи.

Сагредо. Меня очень радует, что в ваших рассуждениях я нашел, наконец, разъяснение причины одного явления, долгое время поражавшего мой ум как нечто чудесное и непонятное. Я видел однажды колодец, в который был помещен насос для накачивания воды кем-то, кто думал, но напрасно, что таким образом можно доставать воду с меньшим трудом или в большем количестве, нежели просто ведрами. Этот насос имел поршень с верхним клапаном, так что вода поднималась всасыванием, а не давлением, как то делается в насосах с нижним клапаном. Пока колодец был наполнен водою до определенной высоты, насос всасывал и подавал ее прекрасно, но как только вода опускалась ниже этого уровня — насос переставал работать. Заметив первый раз такой случай, я подумал, что насос испорчен, и позвал мастера для починки; последний заявил, однако, что все было исправно, но что вода опустилась до той глубины, с которой она не может быть поднята насосом вверх; при этом он прибавил, что ни насосами, ни другими машинами, поднимающими воду всасыванием, невозможно поднять воду и на волос выше восемнадцати локтей; будут ли насосы широкими или узкими — предельная высота остается той же  {129}  самой. Мне до сего времени не приходило в голову, что если мы можем представить себе веревку, древесную массу или железный стержень удлиненными настолько, что они разрываются наконец от собственного веса, то то же самое и еще гораздо легче может произойти со столбиком или колонною воды. Ибо что же иное представляет собою содержимое всасывающего насоса, как не водяной столб, прикрепленный сверху, все более и более удлиняющийся и достигающий, наконец, предела, при переходе за который он разрывается от собственной тяжести совершенно так же, как это произошло бы с веревкой?

Сальвиати. Дело обстоит именно так. А так как одна и та же высота в восемнадцать локтей является предельной, на которую может быть поднята вода насосами всякой величины по трубам широким, узким и даже толщиною не более соломинки, то мы можем утверждать, что, определяя вес воды, заключающейся в восемнадцати локтях трубы насоса, какого бы диаметра последняя ни была, мы можем определить и величину сопротивления образованию пустоты в прочном цилиндре из любого материала, диаметр которого одинаков с внутренним поперечником трубы. И хотя мы об этом уже много говорили, все же покажем еще раз, как можно легко найти для всех металлов, камня, дерева, стекла и т. д. ту предельную длину цилиндров, которые можно сделать из них в виде нитей или стержней любой толщины, сверх которой они уже не могут держаться и разрываются от собственного веса. Возьмем для примера медную проволоку произвольной толщины и длины и, прикрепив ее за один конец, будем привешивать к другому все больший груз, пока она, наконец, не порвется; предположим, что наибольший вес, который она выдерживает, равняется пятидесяти фунтам; отсюда ясно, что пятьдесят фунтов меди, прибавленные к собственному весу проволоки, равняющемуся, скажем, восьмушке унции, и вытянутые в проволоку той же толщины, дадут проволоку предельной длины, которая только в состоянии держаться. Измерим длину той проволоки, которая оборвалась, и пусть эта длина будет равна одному локтю; так как она сама весила одну восьмую унции и выдерживала сверх своего веса еще пятьдесят фунтов, составляющих 4800 восьмушек унции, то мы вправе сказать: всякая медная проволока, какова бы ни была ее толщина, может держаться, если длина ее не превышает 4801 локтя. Поэтому медный стержень, могущий держаться до предельной длины в 4801 локоть, имеет прочность во столько раз большую по сравнению с той, которая обусловливается сопротивлением пустоте, во сколько развес такого медного стержня более веса столба воды того же диаметра длиною в восемнадцать локтей. Так как медь в девять раз тяжелее воды, то сопротивление разрыву медного стержня, обусловленное боязнью пустоты, равняется весу двух локтей стержня той же толщины. Путем подобных же рассуждений и измерений мы можем найти для нитей и стержней из всяких  {130}  твердых веществ ту длину, которую они выдерживают, а также и то, какую часть их способности к сопротивлению составляет боязнь пустоты¹⁸.

Сагредо. Теперь остается только, чтобы вы сказали нам, в чем заключается причина остальной части прочности тел, а именно, каково то склеивающее или связывающее вещество, которое, помимо боязни пустоты, держит частицы твердого тела в соединении. Я не могу себе представить, каков должен быть этот клей, не сгорающий и не разрушающийся в раскаленной печи в течение двух, трех или четырех месяцев и даже десяти или ста; ведь золото, серебро или стекло, находившиеся в расплавленном состоянии даже столь долгое время, по охлаждении снова собирают свои части и становятся такими же прочными, как раньше. Сверх того то же самое затруднение, которое возникает относительно сцепления хотя бы частиц стекла, возникает и относительно сцепления самого склеивающего вещества: какова же причина, благодаря которой его частицы держатся в таком прочном соединении друг с другом?

Сальвиати. Незадолго перед тем я пожелал, чтобы вам помог ваш добрый демон; теперь мне снова приходится повторить это пожелание. Ощущая собственными руками сопротивление разделению двух пластинок, обусловливаемое, несомненно, пустотою, видя, что разделение их происходит лишь с большим трудом, и находя еще большее сопротивление разрыву надвое мраморной или бронзовой колонны, я не вижу в последнем случае, почему бы именно та же причина не присутствовала и здесь и не имела своим следствием сцепления частей материи, вплоть до самых мелких. А так как каждое действие должно иметь только одну истинную и ясную причину, я же не нахожу другого связующего средства, то не удовлетвориться ли нам одной найденной причиной — пустотою, признав ее достаточность?

Симпличио. После того как вы сами показали, что сопротивление образованию большой пустоты при разъединении двух больших частей твердого тела значительно меньше, чем то, которое держит в связанном состоянии мельчайшие частицы последнего, как же вы не хотите более утверждать, что сопротивление одного рода отлично от другого?

Сальвиати. На это уже ответил синьор Сагредо; он сказал, что подобным же образом платят жалование каждому отдельному солдату из суммы налога, собираемого по сольди и лиардам, хотя требуется более чем на миллион золота для оплаты всего войска¹⁹. Кто знает, не действуют ли в мельчайших частях также и мельчайшие пустоты, и не они ли держат в связном состоянии части твердого тела, подобно тому как отдельные монеты образуют совокупность? Скажу вам то, что сейчас пришло мне в голову; выдаю это не за окончательную истину, но за домысел, связанный с немалыми затруднениями и требующий исследования. Посмотрите, не  {131}  найдете ли вы тут чего-нибудь, что вам понравится; об остальном судите, как вздумается. Много раз я наблюдал, как огонь, проникая между частицами того или иного металла, столь крепко связанными между собою, в конце концов, разделял и разъединял их, и как затем по устранении огня частицы возвращались в прежнее состояние связности, причем не замечалось ни малейшего уменьшения количества золота и очень небольшое уменьшение количества других металлов, если они оставались в расплавленном виде долгое время. Я думал, что это можно объяснить тем, что тончайшие частицы огня, проникая в мельчайшие поры металла (через которые благодаря их ничтожной величине не могут проходить более грубые частицы воздуха или иных жидкостей), заполняют существующие между ними мельчайшие пустоты и освобождают частицы от действия той силы, которая держала их связанными друг с другом, и тем способствуют их разъединению. Получив, таким образом, свободу движения, частицы образуют жидкую массу и остаются в таком состоянии, пока между ними находятся частицы огня; после же того как последние отнимаются, образуются первоначальные пустоты и восстанавливается первоначальное притяжение,, а вместе с тем и связность частиц. На замечание синьора Симпличио, мне кажется, можно ответить, что хотя эти пустоты имеют ничтожную величину и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчислимость их количества неисчислимо увеличивает сопротивляемость (если можно так выразиться). Какова и сколь велика может быть сила, получающаяся от соединения огромного количества ничтожнейших моментов, мы ясно можем представить себе, видя, как огромная тяжесть, весом в миллион фунтов, поддерживаемая толстым канатом, уступает и дает себя победить и поднять бесчисленным атомам воды. Принесенные южным ветром или рассеянные в виде тончайшего тумана эти атомы носятся по воздуху, проходят между волокнами толстейшего каната, чему не может помешать даже натягивающая его огромная тяжесть, проникают в малейшие щели, заставляя канат разбухать и укорачиваться, и таким образом, поднимают тяжесть²⁰.

Сагредо. Вы не сомневаетесь в том, что если сопротивление не бесконечно велико, то оно может быть преодолено множеством весьма малых сил, так что большое количество муравьев могло бы вытащить на землю судно, нагруженное зерном; в самом деле, мы ежедневно наблюдаем, как муравей тащит зерно, а так как зерен в судне не бесконечное множество, но некоторое ограниченное число, то, увеличив это число даже в четыре или в шесть раз, мы все же найдем, что соответственно большое количество муравьев, принявшись за работу, может вытащить на землю и зерно и корабль. Конечно, для того чтобы это было возможно, необходимо, чтобы и число их было велико; мне кажется, что именно тай обстоит дело и с пустотами, держащими связными частицы металла.  {132} 

Сальвиати. Но если бы понадобилось, чтобы число их было бесконечным, то сочли бы вы это невозможным?

Сагредо. Нет, не счел бы, если бы масса металла была бесконечной; в противном случае...

Сальвиати. В противном случае — что же? Раз мы уже дошли до парадоксов, то попробуем, нельзя ли каким-либо образом доказать, что в некоторой конечной непрерывной величине может существовать бесконечное множество пустот. Попутно с этим мы найдем, если не что-либо иное,

то, по крайней мере, решение проблемы, которую сам Аристотель причислял к наиболее изумительным в области механики. Решение это будет не менее ясным и доказательным, нежели его собственное, а вместе с тем и отличным от глубокомысленных соображений ученейшего монсиньора ди Гуевара²¹. Однако сперва необходимо рассмотреть одно предложение, не связанное с другими, но от которого зависит решение данного вопроса, а последнее, если не ошибаюсь, приведет ко многим новым и удивительным понятиям. Для пояснения начертим аккуратно следующую фигуру. Дан равносторонний и равноугольный многоугольник с любым числом сторон, центром которого является точка G; предположим, что это будет шестиугольник ABCDEF. Впишем в него подобный же, но меньший концентрический многоугольник HIKZMN. Продолжим одну из сторон АВ большего многоугольника в направлении S, в соответствии с чем продолжим в том же самом направлении в сторону меньшего шестиугольника HI, так что линии НТ и AS будут параллельными, а затем проведем еще третью параллельную эквидистантную линию GV через центр G. Проделав это построение, представим себе, что больший многоугольник  {133}  катится по линии AS, увлекая с собою и меньший многоугольник. Ясно, что при начале движения В — конечная точка стороны АВ — останется на месте, точка А поднимется, а точка С опустится, описав дугу CQ, так что сторона ВС, достигнув линии AS, образует линию BQ, равную ей. При этом вращении вершина угла I меньшего многоугольника поднимается над линией IT, так как линия IB наклонна по отношению к AS, и точка I достигнет параллели IT, но не ранее, чем точка С придет в положение Q. Тогда I перейдет в О, описав предварительно дугу IO вне линии НТ, и линия IK отложится на параллели, как ОР. При этом центр G также поднимется над линией GV и достигнет ее вновь после того, как опишет дугу GC. После этого первого поворота больший многоугольник окажется поставленным на сторону ВС, занявшую положение BQ, а меньший — на сторону IK, переместившуюся в положение ОР, причем пространство IO останется незатронутым; центр G перейдет в С, также не затронув линии GV. В конце концов вся фигура придет в положение, аналогичное первоначальному. Если продолжать катить многоугольник и сделать второй поворот, то сторона DC большего многоугольника займет положение QX, сторона KL меньшего придет в YZ, перескочив пространство PY, а центр, двигаясь все время над линией GV, достигнет последней в точке R, сделав скачок CR. В результате полного оборота больший многоугольник отложит на линии AS подряд без каких-либо промежутков шесть равных линий, составляющих в сумме его периметр; меньший многоугольник также отложит шесть отрезков, равных его сторонам, но разделенных пятью дугами, хорды которых — части линии НТ — остаются незатронутыми многоугольником; наконец, центр G прикоснется к линии GV только в шести точках. Отсюда вы можете заключить, что пространство, пройденное малым многоугольником, почти равно пройденному большим, так как линия НТ почти равняется линии AS, будучи менее последней лишь на величину хорды одной из дуг, если рассматривать линию НТ сполна, т. е. вместе с отрезками под дугами. Теперь я хотел бы, чтобы, пользуясь показанным и объясненным мною на примере данного шестиугольника, вы представили себе то же в отношении всяких других многоугольников, сколько бы сторон они ни имели, лишь бы они были подобны, концентричны и связаны между собою. При качении большего многоугольника должен также двигаться и произвольно избранный меньший; при этом, повторяю, следует иметь в виду, что пути, проходимые тем и другим, будут почти равны, если включить в пространство, пройденное меньшим, также и интервалы под дугами, не затронутые на самом деле никакой частью периметра меньшего многоугольника. Таким образом, когда больший многоугольник с тысячью сторон, постепенно вращаясь, пройдет прямую линию, равную своему периметру, меньший многоугольник пройдет в то же самое время приблизительно такой же путь, составленный из  {134}  тысячи отрезков, равных его сторонам, и тысячи пустых пространств между ними, как мы можем назвать эти промежутки, в противоположность отрезкам, отмеченным наложением сторон многоугольника. В том, что было пока сказано, нет ничего сомнительного или возбуждающего какие-либо затруднения. Но теперь скажите мне: если из какого-либо центра, например из точки А, мы опишем две концентрические окружности, представим себе круги связанными между собою, через концы их радиусов С и В проведем касательные СЕ и BF, а через центр А — параллельную им линию AD, и покатим большой круг по линии BF (отмерив последнюю так, чтобы она равнялась длине окружности, равно как и другие линии СЕ, AD), то что произойдет с меньшим кругом и центром после того, как большой круг сделает полный оборот? Центр, конечно, пройдет всю линию AD, а окружность малого круга своим прикосновением пройдет всю линию СЕ так же, как это имело место ранее с малым многоугольником, с той только разницей, что линия НТ не во всех своих частях затрагивалась периметром многоугольника и содержала столько же пустых промежутков, сколько было отрезков, отмеченных наложением сторон многоугольника; что же касается кругов, то окружность меньшего не может оторваться от линии СЕ так, чтобы не соприкасаться с нею в одной точке, и всегда одна из точек окружности лежит на прямой. Каким же образом меньший круг может пройти линию, настолько превышающую его окружность, без скачков и промежутков?

Сагредо. Мне кажется, можно сказать, что как центр круга, рассматриваемый отдельно и являющийся только одной точкой, передвигается по линии AD, соприкасаясь с нею на всем протяжении, так и точки окружности меньшего круга, увлекаемые движением большего, могут двигаться, скользя по частям линии СЕ,

Сальвиати. Этого не может быть по двум причинам. Во-первых, нет никаких оснований для того, чтобы соприкосновение, подобное существующему в точке C, проходило одну часть линии СЕ скользя, а другую иначе; если бы это происходило так, то должно было бы существовать бесконечное множество таких прикосновений (ибо это точки); и следы таких скользящих прикосновений к линии СЕ были бы бесчисленными, а будучи конечно образовали бы бесконечную линию; но линия СЕ конечна. Другая причина та, что когда больший круг при своем вращении меняет точки Касания с прямой, то меньший круг не. может не делать того же, так как ни из какой другой точки, кроме точки В, нельзя провести прямой линии к центру А, которая проходила бы в то же время и через точку С; поэтому как только большая окружность меняет точку касания, так тотчас же меняет таковую и меньшая окружность, и только одна точка малой окружности может соприкасаться с одной точкой соответствующей прямой линии СЕ, Кроме того, было выяснено, что при качении многоугольников каждая точка периметра меньшего многоугольника соприкасается не  {135}  более чем с одной точкой линии, на которую накладывается его периметр. Это можно легко понять, имея в виду, что линии IK и ВС параллельны: пока ВС еще не наложена на BQ, линия IK остается приподнятой над IP и достигает последней лишь в тот момент, когда ВС совпадает с BQ; тогда и IK совпадает с ОР, после чего немедленно же поднимается.

Сагредо. Это случай, действительно, весьма сложный; мне ничего не приходит на ум, и сообщите нам, пожалуйста, свои соображения.

Сальвиати. Я возвращусь к рассмотрению упомянутых выше многоугольников, на которых явление было понято и уяснено нами, и скажу, что как в многоугольнике со ста тысячами сторон путь, пройденный при обороте, измеряется обводом большего многоугольника, т. е. отложением без перерыва всех его сторон, в то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его сторон с прибавлением такого же числа, т. е. ста тысяч пустых промежутков, так и в кругах (представляющих собою многоугольники с бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением бесконечно большого числа сторон большего круга, приблизительно равна по длине линии, образованной наложением бесконечно большого числа сторон меньшего круга²², если включить в нее и промежутки; а так как число сторон не ограничено, а бесконечно, то и число промежутков между ними также бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае часть их занята, а часть пуста. Я хотел бы, чтобы вы заметили себе, что, разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но представляя себе линию разделенной на неконечные части, т. е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот. То, что я сказал о простых линиях, относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела, которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы между частями не образовалось пустого пространства, т. е. такого, которое не заполнено веществом данного тела; но если допустить предельное и крайнее разложение тела на лишенные величины и бесчисленные первичные составляющие, то можно представить себе такие составляющие растянутыми на огромное пространство путем включения не конечных пустых пространств, а только бесконечно многих пустот, лишенных величины. И таким образом допустимо, например, растянуть маленький золотой шарик на весьма большой объем, не допуская конечных  {136}  пустот, — во всяком случае, если мы принимаем, что золото состоит из бесконечно многих неделимых.

Симпличио. Мне кажется, что вы тут подходите к тем пустотам, которые признавал один древний философ.

Сальвиати. Надеюсь, что вы не прибавите «отрицавший божественный промысел», как это весьма неуместно сделал в случае, подобном нашему, один из противников нашего Академика.

Симпличио. В этом замечании я не без досады усматриваю злопамятство недоброжелательного противника. Но я не буду касаться подобных вопросов не только для соблюдения правил вежливости, но и потому, что они совершенно не соответствуют вашим умеренным и высокопросвещенным взглядам; я знаю, что вы являетесь не только религиозным и благочестивым человеком, но и правоверным католиком²³. Возвращаясь к нашей проблеме, скажу, что в течение нашей беседы во мне родились многие сомнения, от которых я при всем желании не могу освободиться. Прежде всего, следующее: если окружности двух кругов равны двум прямым СЕ и BF, — последней сполна, а второй — с присоединением бесконечного множества пустых промежутков, — то каким образом линия AD, описанная центром, составляющим одну точку, может быть приравнена к этому центру, в то время как состоит из бесконечного числа точек. Кроме того, это составление линии из точек, делимого из неделимого, конечного из неконечного кажется мне нелегко преодолимым препятствием; точно так же и признание существования пустоты, столь решительно отвергаемой Аристотелем, представляет большие затруднения.

Сальвиати. Такие затруднения действительно существуют, равно как и многие другие; но вспомните о том, что мы имеем дело с бесконечными и неделимыми, постичь которые нашим конечным умом невозможно вследствие огромности одних и малости других. Мы убеждаемся здесь, что человеческая речь не приспособлена для выражения таких понятий. Однако я все же позволю себе изложить некоторые свои измышления, которые хотя и не исчерпывают вопроса, но могут представить некоторый интерес благодаря своей новизне. Впрочем, столь длительное уклонение в сторону от начатого пути, быть может, покажется вам неуместным и маложелательным?

Сагредо. Нисколько. Будем пользоваться теми преимуществами и благами, которые дают нам живая дружеская беседа и свободное, непринужденное обсуждение предмета, столь отличные от изучения мертвых книг, которые возбуждают в тебе тысячи сомнений и не разрешают ни одного. Познакомьте же нас с теми соображениями, которые пришли вам на мысль в течение нашего разговора; за отсутствием особо необходимых дел у нас хватит времени на то, чтобы продолжить обсуждение и других вопросов; в особенности же нельзя обойти те затруднения, которых коснулся синьор Симпличио.  {137} 

Сальвиати. Пусть будет так, как вы желаете. Начнем с того, как может быть, чтобы одна точка приравнивалась к целой линии. Сейчас я не нахожу иного выхода, как постараться устранить или, по крайней мере, смягчить эту несообразность, указав другую подобную или еще большую, как иной раз удивительные вещи бледнеют перед лицом чудесных. То, что я хочу показать вам, заключается в следующем: представим себе две одинаковых поверхности и два одинаковых тела, поставленные на эти поверхности, как на основания, и пусть затем эти тела, оставаясь все время равными одно другому постепенно делаются все меньше и меньше, причем одно из тел вместе со своей поверхностью обращается в предлинную линию, а другое со своей поверхностью — в одну точку; таким образом в одном случае получится лишь единственная точка, а в другом — бесконечное множество их.

Сагредо. Такое предложение представляется мне на самом деле изумительным; пожалуйста, дайте нам пояснения и доказательства.

Сальвиати. Необходимо нарисовать чертеж, так как доказательство будет чисто геометрическим. Начертим полукруг AFB с центром С и описанный около него прямоугольный параллелограмм ADEB и проведем из центра к точкам D и Е прямые линии CD и СЕ. Представим себе, далее, что линия CF, проведенная из центра перпендикулярно к прямым АВ и DE, остается неподвижной, вся же фигура вращается около нее, как около своей оси. Ясно, что прямоугольник ADEB опишет при этом цилиндр, полукруг AFB — полушар, а треугольник СDЕ — конус. Предположим теперь, что мы вынули полушар, но оставили конус и ту часть цилиндра, которая выходила за пределы полушара, — чашеобразную фигуру, которую мы и будем для простоты называть «чашею». Сначала мы докажем, что чаша и конус равновелики; затем, проведя какую-либо плоскость параллельно кругу, служащему основанием чаши, диаметром которого является DE и центром — точка F, покажем, что такая плоскость, проходящая, например, через линию GN, пересекает чашу в точках G, I, О, N и конус в Н, L таким образом, что отсекаемая часть конуса CHL остается равной отсекаемой части чаши, разрез которой показывают треугольники GAI, BON. Далее выяснится, что основание этого конуса, т. е. круг с диаметром HL, равно площади, являющейся основанием отрезка чаши и представляющей собою полосу, ширина которой определяется линией GI. (Обратите, между прочим, внимание на то, как полезны математические определения, дающие нам наименования, можно сказать — сокращения речи, упорядоченные и вводимые, чтобы избавить нас от тех затруднений, которые мы испытывали бы при изложении, если бы не согласились  {138}  называть упомянутую выше поверхность просто кольцеобразной полосой, а верхний острый край чаши — кольцевой бритвой). Впрочем, как бы мы ни называли их, достаточно признать, что в каком бы месте ни проходила плоскость, параллельная основанию, т. е. кругу с диаметром DE, она всегда отсекает два равных между собою тела — верхушку конуса и верхнюю часть чаши; также остаются равными и основания этих тел, т. е. упомянутая полоса и круг HL. Отсюда вытекает удивительное следствие: проводя секущую плоскость все выше и приближая ее к АВ, мы постоянно будем получать равные тела: точно так же будут оставаться равными и площади, являющиеся их основаниями; так будет продолжаться до тех пор, пока, наконец, оба тела (всегда равные) и обе площади (также равные друг другу) не перейдут — одно в окружность, а другое — в точку, потому что таковы крайние пределы уменьшения чаши и конуса. Так как, далее, при уменьшении обеих тел они до конца остаются равными, то следует сказать, что при последнем крайнем уменьшении они также равны, и одно из них ни в коем случае не может превышать другого в бесконечное число раз; таким образом, оказывается, что большая окружность может быть названа равной одной точке. То, что происходит с телами, имеет место и в отношении площадей их оснований; сохраняя при постоянном уменьшении равенство между собою, они переходят в последний момент — одна в окружность, другая — в точку. Почему же мы не можем назвать их равными, когда они являются последними остатками и следами неизменно равных величин? Заметьте себе при этом, что если бы чаша была такой вместимости, как небесный свод, то остаток ее верхнего отрезка и вершина находящегося в ней конуса всегда оставались бы равновеликими, хотя бы и превратились, в конце концов, первое тело — в необъятный большой круг небесного свода, а второе — в простую точку. Следовательно, мы можем в соответствии с тем, в чем убеждает нас рассуждение, назвать все окружности, как бы ни были они различны, равновеликими между собою и равными каждая в отдельности одной точке²⁴.

Сагредо. Ваше рассуждение кажется мне таким тонким и удивительным, что я, если бы и мог, не хотел бы оспаривать его. Мне представляется почти преступлением разрушать такое прекрасное построение грубыми педантическими нападками. Для полного удовлетворения дайте нам, однако, геометрическое доказательство того, что между упомянутыми телами и их основаниями сохраняется постоянное равенство; я думаю, что оно будет столь же остроумно, как и те философские рассуждения, которые на этом основаны.

Сальвиати. Доказательство очень легко и коротко. Возвращаемся к начерченной нами фигуре. Так как угол IPC прямой, то квадрат радиуса IС равен сумме квадратов сторон IP и PC. Но линия IС, как радиус, равна линии АС, которая, в свою очередь, равна GP, а линия СР  {139}  равняется РН; таким образом, квадрат линии GP равен сумме квадратов линий IP и РН и, будучи учетверенным, равен учетверенной сумме тех же квадратов; таким образом, квадрат диаметра GN равен сумме квадратов линий IO и HL, а так как площади кругов относятся между собою как квадраты диаметров, то площадь круга с диаметром GN равна сумме площадей двух кругов с диаметрами IO и HL. Вычитая из обеих частей равенства по общему кругу с диаметром IO, получаем в результате, что остаток круга с диаметром GN будет равен кругу с диаметром HL. Вот доказательство первой части; что же касается доказательства второй, то мы опустим его, так как если вы того пожелаете, то можете найти его в предложении XII книги второй «De centro gravitatis solidorum» синьора Луки Валерио, нового Архимеда нашего времени, который пользовался этим предложением, но для другой цели²⁵. Для нас же совершенно достаточно того, что, как мы видели, указанные выше площади равны между собою и что постепенно и в равной степени уменьшаясь, они переходят в конце концов, одна — в простую точку, другая же — в окружность какой угодно величины; в этом именно следствии и заключается все, что тут есть чудесного.

Сагредо. Прекрасное доказательство, вполне соответствующее сделанному выше удивительному выводу. А теперь ответьте что-нибудь и на другой вопрос, затронутый синьором Симпличио, если только вы имеете сказать по тому поводу что-либо особое, хотя, думается мне, это едва ли может иметь место, так как этот вопрос уже столько раз был предметом споров.

Сальвиати. Я хочу высказать свои личные соображения, но сначала повторю то, что было сказано мною незадолго перед этим, а именно, что бесконечное для нас, по существу, непостижимо, равно как и неделимое. Представьте себе, что будет, если соединить и то и другое; однако, если мы хотим составить линию из неделимых точек, их должно быть бесконечно много и таким образом нам приходится изучать одновременно и бесконечное и неделимое. Много разных соображений приходило мне в голову в подобных случаях; некоторые из них и, быть может, наиболее важные я сейчас не могу припомнить, но может случиться, что при продолжении нашей беседы, побуждаемый возражениями и затруднениями, выдвигаемыми вами и в особенности синьором Симпличио, я натолкнусь и на них; без такого побуждения многим фантазиям не суждено было бы родиться на свет. Таким образом, будем с полной свободой вводить в беседу наши человеческие догадки, как мы по совести должны назвать их в сравнении с учением о сверхъестественном, которое одно истинно и надежно разрешает наши споры и вопросы, являясь надежным проводником при блуждании нашем по темным и неверным тропинкам или, вернее, лабиринтам²⁶.  {140} 

Главное возражение против тех, кто считает возможным составление непрерывного из неделимых, заключается в том, что одно неделимое, при соединенное к другому, не может дать делимой величины, потому что, если бы это было так, то отсюда следовало бы, что и неделимое может быть разделяемо. В самом деле, если два неделимых, например, две точки, будучи соединены вместе, составят некоторую величину — в данном случае делимую линию, — то можно представить себе последнюю состоящей и из трех, пяти, семи или другого числа нечетных частей; разделение такой линии на две равных части повело бы к делению пополам и той неделимой частицы, которая лежит как раз в середине. На это и другие возражения в том же роде можно ответить, что не только два неделимых, но и десять, сто и тысяча их не могут составить конечной делимой величины, ибо для этого их потребуется бесконечное множество.

Симпличио. У меня сейчас рождается сомнение, кажущееся мне неразрешимым. Мы знаем наверное, что одни линии могут быть больше других; представляя их себе составленными из бесконечного множества точек, мы должны признать, что можно найти однородные величины, большие, нежели бесконечность, потому что бесконечность точек большей линии должна превышать бесконечность точек меньшей линии. Такое признание одной бесконечности большей, нежели другая бесконечность, представляется мне совершенно непостижимым.

Сальвиати. Сказанное вами относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам? по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей. В подтверждение этого положения мне пришел в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращенных к синьору Симпличио, указавшему на затруднения.

Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом, числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трех на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые числа носят название сторон или корней; другие числа, не являющиеся произведением двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь, если я скажу, что количество всех чисел вместе — квадратов и не  {141}  квадратов — больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным; не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, сколько квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.

Сальвиати. Но если я спрошу, далее, сколько корней, то вы не станете отрицать, что их столько, сколько всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел, так как столько же корней, а корнями являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что всех чисел больше, чем квадратов, так как большая часть их не квадраты. Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из чисел до ста квадратами являются десять, т. е. одна десятая часть; до десяти тысяч квадратами будет лишь одна сотая часть; до одного миллиона — только одна тысячная часть. А в отношении бесконечного числа, если бы только мы могли постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел.

Сагредо. Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?

Сальвиати. Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что, поскольку бесконечно много чисел вообще, бесконечно много квадратов, бесконечно много корней, то ни множество квадратов не меньше множества всех чисел, ни последнее не больше первого; в конечном выводе — свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам. Поэтому, когда синьор Симпличио предлагает мне неравные линии и спрашивает меня, как может быть, чтобы в боль-тлей из них не содержалось большего количества точек, чем в меньшей, то я отвечаю ему, что их там не больше, не меньше и не одинаковое количество, но бесконечное множество в каждой. В самом деле, если бы я ответил, что число точек одной линии равняется числу квадратных чисел, в другой — большей — их содержится столько, сколько существует чисел вообще, а в какой-нибудь меньшей столько, сколько существует кубов, то был ли бы удовлетворительным мой ответ, приписывающий линиям разное число точек, являющееся в то же самое время в каждом случае бесконечным? Вот что я могу сказать по поводу первого затруднения²⁷.  {142} 

Сагредо. Обождите немного, пожалуйста, и дайте мне в добавление к сказанному поделиться одной мыслью, которая сейчас пришла мне в голову. На основании изложенного, мне кажется, нельзя утверждать не только того, что одно бесконечное больше другого бесконечного, но даже и того, что оно больше конечного.

В самом деле, если бы, например, бесконечно большое число было больше миллиона, не следовало ли бы из этого, что, переходя за миллион к последовательно большим и большим числам, мы приближаемся к бесконечности? На самом деле этого нет; напротив, может случиться, что, переходя к большим числам, мы удаляемся от бесконечности; так, чем большие числа мы берем, тем меньшее количество квадратных чисел встречаем среди них; при бесконечном же числе квадратов не может быть меньше, чем всех чисел, как это только что было доказано. Таким образом, переходя к большим числам, мы в данном случае удаляемся от бесконечности.

Сальвиати. И таким образом из ваших остроумных соображений необходимо вытекает, что понятия «больший», «меньший», «равный» не имеют места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и конечным²⁸.

Перехожу теперь к другому замечанию, а именно: так как линия, как и всякий континуум, может быть разделена на части, также далее делимые, то нельзя избежать заключения, что линия состоит из бесконечного множества неделимых, потому что, предполагая возможность бесконечно продолжать деление, мы получаем и бесконечное множество частей; иначе деление могло бы прийти к концу; а если частей бесконечно много, то нельзя не прийти к заключению, что они не конечны, так как бесконечно много конечных величин дает величину бесконечно большую; таким образом, мы имеем континуум, составленный из бесконечного множества неделимых.

Симпличио. Но если мы можем постоянно производить деление на части конечные, то какая надобность нам вводить здесь не конечные?

Сальвиати. Самая возможность постоянного разделения на конечные части приводит к необходимости признать, что целое состоит из бесконечно многих не конечных частей. Чтобы положить конец спору, ответьте мне определенно: число конечных частей континуума, по вашему мнению, конечно или бесконечно.

Симпличио. Я отвечу вам, что их число и бесконечно и конечно: бесконечно — потенциально, конечна — актуально; бесконечно — потенциально, т. е. ранее, чем произошло разделение, конечно — актуально, т. е. после того, как произошло разделение; в самом деле, нельзя себе представить частей самих по себе, пока они не отделены или, по крайней мере, не обозначены; в противном случае они будут, так сказать, лишь потенциальными.  {143} 

Сальвиати. Таким образом, про линию, длиною, например, в двадцать локтей, нельзя, по вашему мнению, сказать, что она содержит двадцать линий по одному локтю каждая, до тех пор, пока она не будет разделена на двадцать равных частей; вперед можно лишь сказать, что она содержит их в потенции. Пусть будет по-вашему; но скажите мне, производя действительное деление на части, увеличиваете ли вы первоначальную линию или уменьшаете ее, или же оставляете величину ее без изменения?

Симпличио. Не увеличиваем и не уменьшаем.

Сальвиати. То же самое думаю и я. Таким образом, конечные части континуума, находятся ли они в нем актуально или потенциально, не увеличивают и не уменьшают его величины; но ясное дело, что конечные части, действительно содержащиеся в целом, должны сделать его бесконечно большим, если их бесконечно много; поэтому конечные части, бесчисленные хотя бы только потенциально, могут содержаться лишь в бесконечно большой величине; таким образом, в конечной величине не может содержаться бесчисленного множества частей ни актуально, ни потенциально.

Сагредо. Тогда каким же образом может быть верным, что континуум может быть делим на части, которые всегда можно снова делить?

Сальвиати. Различие между актуальным и потенциальным дает вам, кажется, такие возможности, которых при другой точке зрения не было бы. Я хочу сделать попытку прийти к другому заключению: на предложенный вопрос — конечно или бесконечно число частей ограниченного континуума — я отвечу совершенно иначе, чем синьор Симпличио, а именно, что оно не конечно и не бесконечно.

Симпличио. Подобного ответа я дать, конечно, никогда бы не мог, так как не думаю, что существует нечто среднее между «конечным» и «бесконечным», и утверждение, что какая-либо вещь или конечна или бесконечна, не представляется мне ложным и неправильным.

Сальвиати. А между тем, это так. Если говорить о величине, то между конечным и бесконечным находится еще и третье — среднее, соответствующее любому данному числу; подобным же образом на предложенный выше вопрос, конечно или бесконечно количество частей континуума, самым правильным было бы ответить: оно не конечно и не бесконечно численно, но соответствует любому данному числу; для этого необходимо только, чтобы оно не было ограничено определенным числом, так как в этом случае оно не могло бы соответствовать большему числу; но вовсе нет необходимости, чтобы их было бесконечно много, так как никакое данное число не может быть бесконечно большим. Таким образом, по желанию предлагающего вопрос мы можем приписать данной им линии сто конечных частей, или тысячу, или сто тысяч, соответственно любому  {144}  желаемому числу. Но деление на бесконечное число частей невозможно. Я готов согласиться с философами, что непрерывное целое содержит столько частей, сколько им будет угодно, и содержит эти части по их желанию актуально или потенциально. Но к этому я добавляю: совершенно так же, как линия в десять сажен содержит в себе одновременно десять линий по одной сажени каждая, сорок линий по локтю каждая, восемьдесят — по полулоктю и т. д., она содержит и бесконечное множество точек, и вы можете сказать — актуально или потенциально, как вам будет угодно; в этом вопросе я, синьор Симпличио, подчиняюсь вашему суждению и решению.

Симпличио. Не могу не отозваться с похвалой о вашей речи, но очень боюсь, что одновременное признание наличия точек (пунктов) наравне с конечными частями не вполне пунктуально и что вам не так легко будет разделить предложенную линию на бесконечное множество точек, как тем философам на десять сажен или десять локтей. Наконец, я считаю совершенно невозможным осуществить на деле такое раздробление, так что оно останется одной из тех возможностей, которые никогда не осуществляются.

Сальвиати. Если какая-нибудь вещь не легка и может быть произведена лишь с большим трудом, напряжением и затратою продолжительного времени, то она не делается от этого невозможной, однако думаю, что и вам не очень-то легко будет произвести разделение линии на тысячу частей или хотя бы на 937, либо какое-нибудь другое большое простое число частей. Но если я сведу это деление, признаваемое вами вовсе невозможным, к такому же короткому процессу, как тот, который требуется другим для разделения линии на сорок частей, то будет ли этого для вас достаточным, чтобы примирительно отнестись к нему в нашей беседе? Симпличио. Мне нравится ваша манера вести разговор, допуская время от времени шутку. На ваш вопрос могу ответить, что легкость деления на точки была бы для меня более чем достаточной, если бы она не была затруднительнее деления даже на 1000 частей.

Сальвиати. Теперь я вам скажу нечто такое, что, вероятно, покажется вам удивительным. Тот, кто, желая разложить линию на бесконечное множество ее точек, предполагает достигнуть своей цели тем же путем, каким пользуются другие для разделения линии на сорок, шестьдесят или сто частей, т. е. сперва делит ее пополам, затем на четыре части и так далее, и надеется получить, таким образом, бесчисленное множество точек, грубо ошибается, потому что такой процесс постепенного деления конечных величин необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно. Я полагаю даже, что, продолжая деление и умножая число частей в предположении приблизиться к бесконечности, мы на  {145}  самом деле удаляемся от нее, и вот по каким основаниям. Незадолго перед тем мы признали в нашей беседе, что в бесконечном ряде чисел должно иметься столько же квадратов и кубов, сколько вообще чисел, так как число квадратов и кубов равняется числу корней, а последними могут быть все числа вообще. Мы видели, далее, что, чем к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще реже кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение, возвращаясь обратно (ибо избранный путь удаляет нас от искомого предела), что если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна быть единица: в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел вообще.

Симпличио. Я не совсем постигаю, как следует понимать сказанное вами.

Сальвиати. Сказанное не заключает в себе ничего сомнительного, так как единица является и квадратом, и кубом, и квадратом квадрата и т. д.; точно так же квадраты и кубы и т. д. не имеют никакой существенной особенности, которая не принадлежала бы и единице, как, например, свойство двух квадратных чисел постоянно иметь между собою среднее пропорциональное. Возьмите любое квадратное число, с одной стороны, и единицу, с другой, и вы всегда найдете среднее пропорциональное число. Если возьмем два квадратных числа 9 и 4, то средним пропорциональным между 9 и единицей будет 3; средним пропорциональным между 4 и 1 будет 2; в то же время среднее пропорциональное квадратов 9 и 4 равняется 6. Особенностью кубов является непременное нахождение между ними двух средних пропорциональных чисел. Возьмем 8 и 27; средние пропорциональные между ними равны 12 и 18; средние пропорциональные между единицей и 8 равны 2 и 4; а между единицею и 27 равны 3 и 9. Отсюда заключаем, что нет другого бесконечного числа, кроме единицы. Это представляется столь удивительным, что превосходит способность нашего представления, но в то же время поучает нас, сколь заблуждается тот, кто желает наделить бесконечное теми же атрибутами, которые присущи вещам конечным, в то время как эти две области по природе своей не имеют между собою ничего общего²⁹.

Я не могу не рассказать вам здесь об одном случае, пришедшем мне на память и дающем хороший пример существующей бесконечной разницы и даже противодействия природы, которые встречает конечная величина при переходе в бесконечность. Начертим прямую линию АВ любой длины и возьмем где-нибудь на ней точку C, разделяющую ее на две неравных части. Проведя попарно из конечных точек А и В линии, которые  {146}  относились бы друг к другу так же, как отрезки АС и ВС, найдем, что все точки пересечения этих линий будут лежать на окружности одного и того же круга; так пусть линии AL и BL, проведенные из точек А и В и сохраняющие между собою то же отношение, что части АС и ВС, пересекаются в точке L, а две другие линии АК и ВК, сохраняющие ту же пропорцию, пересекаются в точке К; дальнейшими линиями пусть будут AI и BI, АН и НВ, AG и GB, АР и FB, АЕ и ЕВ и т. д.; все точки пересечения их L, К, I, Н, G, F, Е будут расположены на окружности одного и того же круга. Если мы представим себе теперь, что точка С движется, описывая линию таким образом, что расстояния ее от точек А и В всегда сохраняют то же отношение, что и первоначальные отрезки АС и СВ, то точка С опишет окружность круга, как я вам потом и докажу. Описанный таким образом круг будет тем больше, чем ближе точка С лежит к середине линии АВ, которую обозначим через О, и тем меньше, чем ближе она лежит в точке В. Бесконечным множеством точек, которые мы можем представить себе лежащими на линии ОБ, могут быть описаны (при движении указанным выше путем) круги любой величины — меньше зрачка в глазу блохи и больше экватора небесного свода. Итак, при движении любой из точек, расположенных между О и В, получаются круги и притом огромного размера по мере приближения к О; если теперь мы возьмем точку О и заставим ее двигаться, описывая линию по тому же закону, т. е. так, что расстояние ее от точек А и В всегда будет находиться между собой в том же отношении, как АО и ОВ, то какая линия будет ею описана? Очевидно, что это будет окружность круга, но круга большего из всех возможных, т. е. круга бесконечно большого; в то же время это будет и прямая линия, перпендикулярная к ВА, проходящая через точку О, продолженная в бесконечность и не изгибающаяся для соединения своего верхнего конца с нижним, как то имеет место у прочих линий. В самом деле, точка С, начертив при своем ограниченном движении верхний полукруг СНЕ, продолжает при дальнейшем движении описывать нижний полукруг ЕМС и соединяет концы окружности в точке С; точка же О, приведенная в движение для того, чтобы описать свой круг как все остальные точки линии АВ (потому что и точки другой части ОА также могут описывать круги, достигающие тем большего размера, чем ближе они к точке О), и притом круг наибольший из всех и, следовательно, бесконечно большой, не может возвратиться к своей исходной точке и, в конце концов, чертит бесконечную прямую линию, являющуюся окружностью  {147}  бесконечно большого круга. Додумайте теперь, какая разница существует между кругом конечным и бесконечно большим. Последний настолько изменяет свою сущность, что окончательно теряет свое существование как таковой и даже самую возможность существования; теперь мы совершенно ясно понимаем, что не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни бесконечной поверхности. Что скажем мы о таких метаморфозах, при переходе от конечного к бесконечному? И почему, стремясь найти бесконечность в больших числах, мы должны чувствовать неудовлетворенность, придя к выводу, что она выражается единицею? Когда мы разбиваем твердое тело на многие части и постепенно превращаем его в мельчайший порошок, предполагая, что оно разделяется на бесконечное множество своих атомов, не делимых далее, то почему не можем мы сказать, что такое тело возвратилось к состоянию непрерывному, но, быть может, жидкому, как вода или ртуть или другой расплавленный металл? И разве мы не видим, как камни расплавляются в стекло, и само стекло делается на большом огне более жидким, чем вода³⁰?

Сагредо. Должны ли мы думать, что жидкости таковы, как они есть, потому, что они разложены на бесконечное число первоначальных неделимых частиц, их составляющих?

Сальвиати. Я не нахожу лучшего выхода для объяснения некоторых явлений, и одно из них следующее. Если я беру твердое тело, будь то камень или металл, и молотком или тончайшим напильником превращаю его в возможно тонкий порошок, то ясно, что отдельные частицы его все-таки конечны и имеют форму и число, хотя благодаря своей малой величине они неощутимы и неразличимы нашим глазом; отсюда получается, что сдвинутые вместе, они лежат кучкою; если вырыть в них углубление, то оно таковым и остается и окружающие частицы не стремятся его заполнить; при сотрясении они приходят в движение, но тотчас же останавливаются, как только внешняя движущая причина их покидает. Подобные явления мы можем наблюдать на скоплении телец и большего размера различной, а не только сферической формы, как-то: на кучках проса, пшеницы, свинцовой дроби и всяких других веществ. Но если мы попытаемся усмотреть то же явление, взяв воду, то не увидим ничего похожего: поднимаемая вверх, она тотчас же разливается, если не удерживается сосудом или другой внешней причиной; вырываемое в ней углубление тотчас же заполняется окружающей водою; приведенная в движение, она долгое время сохраняет его, и волны распространяются в ней на большие пространства. Отсюда, кажется мне, можно вполне основательно заключить, что частицы воды, из которых, она, по-видимому, состоит (более тонкие, нежели любой мельчайший порошок, и лишенные всякой устойчивости), весьма отличны от частиц конечных и делимых; и я не  {148}  могу найти причины различия иначе, как в том, что они неделимы. Кажется мне также, что за то же говорит и ее чрезвычайная прозрачность. Если мы возьмем самый прозрачный кристалл и начнем ломать и толочь его в порошок, то он потеряет прозрачность, и в тем большей степени, чем мельче мы его истолчем; вода же, которая наиболее измельчена, остается совершенно прозрачною. Золото и серебро измельчаются крепкой водкою тоньше, нежели острейшим напильником, под действием которого они все же остаются в порошкообразном состоянии; но они делаются жидкостями и расплавляются лишь тогда, когда неделимые частицы огня или солнечных лучей растворяют и разлагают их, как я думаю, на первоначальные неделимые и бесконечно малые части.

Сагредо. То, что вы сейчас упомянули вскользь относительно солнечного света, я наблюдал несколько раз с удивлением. Я видел, как при помощи вогнутого зеркала около трех ладоней диаметром мгновенно расплавили свинец; поэтому я пришел к заключению, что если бы зеркало было очень велико, хорошо отполировано и имело параболическую форму, то оно в кратчайший срок расплавляло бы и все другие металлы, ибо то зеркало, которое я видел, не было ни большим ни особенно блестящим и обладало сферической формой, а между тем с большой силою расплавляло свинец и зажигало разные горючие материалы. Эти явления заставили меня поверить в чудесное действие зеркал Архимеда.

Сальвиати. Что касается зеркал Архимеда, то я верю всем проявлениям чудесного действия их, о которых можно прочесть у стольких писателей; сочинения самого Архимеда я читал и изучал с бесконечным удивлением; а если бы у меня и оставались какие-либо сомнения, то то, что написал по поводу зажигательных зеркал почтенный Бонавентура Кавальери и что я также с большим удовольствием прочел, окончательно рассеяло их³¹.

Сагредо. Я также видел этот трактат и прочел его с большим удовлетворением. Будучи ранее знаком с автором, я еще более убедился в справедливости своего мнения о нем, как об одном из значительнейших математиков нашего времени. Но, возвращаясь к чудесному действию солнечных лучей, расплавляющих металлы, спрошу, должны ли мы думать, что действие их, и притом столь энергичное, происходит без участия движения, или же при участии движения, но весьма быстрого?

Сальвиати. Мы видим, что горение и плавление происходят в других случаях при участии движения и притом весьма быстрого: сюда относятся действие молнии, действие пороха в минах и петардах и, наконец, ведь посредством раздувания мехами угольного огня, смешанного с плотными и нечистыми газами усиливается расплавление металла. Поэтому я не думаю, чтобы и действие света, хотя бы и чистейшего, могло происходить без участия движения, и притом быстрейшего.  {149} 

Сагредо. Но какого рода и какой степени быстроты должно быть это движение света? Должны ли мы считать его мгновенным же или совершающимся во времени, как другие движения? Нельзя ли опытом убедиться, каково оно?

Симпличио. Повседневный опыт показывает, что распространение света совершается мгновенно. Если вы наблюдаете с большого расстояния действие артиллерии, то свет от пламени выстрелов без всякой потери времени запечатлевается в нашем глазу в противоположность звуку, который доходит до уха через значительный промежуток времени.

Сагредо. Ну, синьор Симпличио, из этого общеизвестного опыта я не могу вывести никакого другого заключения, кроме того, что звук доходит до нашего слуха через большие промежутки времени, нежели свет; но это нисколько не убеждает меня в том, что распространение света происходит мгновенно и не требует известного, хотя и малого времени. Не более того дает мне и другое наблюдение, которое выражают так: «Как только Солнце поднимается на горизонте, блеск его тотчас же достигает наших очей». В самом деле, кто же может доказать мне, что лучи его не появились на горизонте ранее, нежели дошли до наших глаз?

Сальвиати. Малая доказательность этих и других подобных же наблюдений заставила меня подумать о каком-либо способе удостовериться безошибочно в том, что освещение, т. е. распространение света, совершается действительно мгновенно, потому что достаточно быстрое движение звука заставляет уже предполагать, что движение света должно быть крайне быстрым. Опыт, который я придумал, заключался в следующем. Два лица держат каждый по огню, заключенному в фонаре или в чем-либо подобном, который можно открывать и закрывать движением руки на виду у компаньона; став друг против друга на расстоянии нескольких локтей, участники начинают упражняться в закрывании и открывании своего огня на виду у компаньона таким образом, что как только один замечает свет другого, так тотчас же открывает и свой. После многократных повторений такого упражнения достигается такое соответствие, что открытию одного огня без чувствительной ошибки немедленно отвечает открытие другого, так как тот, кто открывает свой свет, видит в тот же миг появление света своего компаньона. После подобных упражнений на малом расстоянии два упомянутых компаньона помещаются вместе со своими огнями в расстоянии двух или трех миль друг от друга и, выждав ночи для производства опыта, начинают внимательно наблюдать, получается ли ответ на открытие и закрытие огня с тою же быстротою, что и на близком расстоянии; если это так, то можно с достоверностью заключить, что распространение света происходит мгновенно; если бы для него требовалось время, то расстояние в три мили, пробегаемое  {150}  светом от одного источника до глаза другого участника и обратно, было бы достаточным, чтобы обнаружить известное запоздание. Если бы пожелали производить наблюдения при еще большем расстоянии, хотя бы в восемь или десять миль, то можно было бы воспользоваться телескопами, поставив лиц, производящих опыт, в таких местах, где ночью зажигались бы огни, хотя и незаметные для простого глаза благодаря малой их величине, но открытие и закрытие которых могло бы быть удобно наблюдаемо при помощи телескопа.

Сагредо. Опыт этот кажется мне столь же надежным, сколь и остроумным. Но, скажите, каков же оказался его результат?

Сальвиати. Мне удалось произвести его лишь на малом расстоянии — менее одной мили — почему я и не мог убедиться, действительно ли появление противоположного света совершается внезапно. Но если оно происходит и не внезапно, то во всяком случае с чрезвычайной быстротой, почти мгновенно; я могу сравнить его с движением света молнии, который мы видим в облаках с расстояния в восемь—десять миль. Здесь мы различаем самый источник, начало и конец света в определенных местах тучи, хотя распространение света на все окружающее следует немедленно же. Это кажется мне доказательством того, что явление совершается с затратою времени, хотя и малою, потому что если бы свет молнии возникал во всех частях сразу, а не постепенно, то, думается, мы не могли бы различить ее источника, центра ее сияния и разветвлений. Но в каком безбрежном океане мы, сами того не замечая, очутились? Мы плаваем среди пустот, бесконечностей, неделимых, мгновенных движений и никак не сможем пристать к берегу и после тысячи рассуждений³².

Сагредо. Положение, действительно не соответствующее нашему намерению. Итак: бесконечное, отыскиваемое среди чисел, как будто находит свое выражение в единице; из неделимого родится постоянно делимое; пустота оказывается неразрывно связанной с телами и рассеянной между их частями; в результате, наши обычные воззрения меняются настолько, что даже окружность круга превращается в бесконечную прямую линию. Это последнее ваше предложение, если память мне не изменяет, вы, синьор Сальвиати, должны были доказать геометрически. Я думаю, что теперь было бы как раз уместно привести его, если вы ничего не имеете против.

Сальвиати. Я к вашим услугам и предложу вашему вниманию следующую задачу: дана прямая линия, разделенная в какой угодно пропорции на две неравных части; требуется описать круг так, чтобы прямые линии, проведенные от концов данной прямой к окружности, и притом к любой точке последней, сохраняли между собою то же отношение, какое существует между частями прямой; так что «гомологичными» будут те линии, которые выходят из одного и того же конца.  {151} 

Пусть данная прямая линия АВ разделена на две произвольных неравных части точкою С; требуется описать такой круг, чтобы прямые линии, проведенные из точек А и В к любой точке окружности, относились друг к другу как СА к ВС так, чтобы гомологичными были линии, выходящие из одного конца. Опишем из центра С радиусом, равным меньшей части линии или СВ, круг и проведем из точки А касательную к окружности этого круга AD, продолжив ее на неопределенную длину по направлению к Е; пусть точкой касания будет В; проведем линию С, которая будет перпендикулярна к линии АЕ; из точки В восставим перпендикуляр к линии АЕ; из точки В восставим перпендикуляр к линии АВ до пересечения с касательной в точке Е; из точки Е опять восставим перпендикуляр к линии АВ, который пересечет продолжение линии АВ в точке F. Утверждаю, прежде всего, что обе прямые EF и FC равны между собою; действительно, проведя линию ЕС, мы получим два треугольника ВЕС и ВЕС, две стороны одного из коих BE и СЕ соответственно равны двум сторонам другого BE и ЕС, так как линии BE и ЕВ суть касательные к кругу ВВ, линии же ВС и СВ равны как радиусы; следовательно, угол ВЕС равен углу ВЕС. Теперь, так как углу ВСЕ до прямого недостает угла СЕВ, а углу СЕР до прямого недостает угла СЕВ, т. е. равных величин, то углы FCE и FEC будут между собою равны. Треугольник CFE будет, таким образом, равнобедренным, а стороны его FE и FC будут равны между собою; круг, описанный из центра F радиусом FE, пройдет, следовательно, через точку С. Опишем такой круг СEG; утверждаю, что это и есть искомый нами круг, из любой точки окружности коего можно провести к концам А и В прямые линии, которые будут относиться друг к другу как части АС и ВС, соединяющиеся одна с другой в точке С. Относительно двух линий, встречающихся в точке Е, т. е. линий АЕ и BE, это ясно, так как угол Е треугольника АЕВ делится линией СЕ пополам, почему отношение сторон АЕ и BE будет таково же, как и отношение отрезков АС и СВ. То же может быть доказано и относительно линий AG и BG, оканчивающихся в точке G. Из подобия треугольников AFE и EFB вытекает, что отношение AF к FE равно отношению EF к FB; заменяя FE равной ей линией CF, получаем, что отношение AF к CF равно отношению CF к FB; отсюда, вычитая последующие члены из предыдущих, получаем, что АС к CF (или что то же самое — к FG) относится так же, как СВ к BF, а вся линия АВ относится ко всей линии BG, как СВ к BF; отношение AG к GB будет равно отношению CF  {152}  к FB или EF к FB, или АЕ к ЕВ или АС к СВ, что и требовалось доказать. Возьмем другую произвольную точку на окружности; пусть этой точкой будет Я, а пересекающимися в ней линиями — АН и ВН. Утверждаю, что отношение АН к НВ также равно отношению АС к СВ. Продолжим линию НВ до пересечения с окружностью в точке I и соединим последнюю с точкою F прямой IF; при этом окажется по-прежнему, что отношение АВ к BG будет равно отношению СВ к BF; прямоугольник ABF будет равен прямоугольнику CBG или же IBH³³. Так как, далее, отношение АВ к ВН равно отношению IB к BF и углы при В равны, то, следовательно, отношение АН к НВ равняется отношениям IF к FB или EF к FB и АЕ к ЕВ.

Скажу, кроме того, что невозможно, чтобы линии, имеющие указанное выше отношение и исходящие из точек А и В, встречались в какой-либо точке, лежащей внутри или вне окружности CEG. Предположим, действительно, что это возможно и что две такие линии AL и BL встречаются в точке L вне окружности. Продолжим линию LB до пересечения ее с окружностью в точке М и проведем линию MF. Если теперь отношение AL к BL равно отношениям АС к ВС или же MF к FB, то мы будем иметь два треугольника ALB и MFB, у которых стороны, лежащие против равных углов ALB и MFB, будут пропорциональными, углы при вершине в точке В будут равны, а остающиеся углы FMB и LAB будут острыми (ибо угол с вершиной в точке М мог бы быть прямым лишь в том случае, если бы основанием его являлся весь диаметр CG, а не только часть его BF; другой же угол с вершиной в А острый, так как линия AL, гомологичная АС, больше линии BL, гомологичной ВС); следовательно, треугольники ABL и MBF подобны, и отношение АВ к BL равно отношению MB к BF, почему прямоугольник ABF будет равен прямоугольнику MBL; но по доказанному выше прямоугольник ABF равен прямоугольнику CBG; следовательно, выходит, что прямоугольник MBL равен прямоугольнику CBG, что невозможно. Таким образом, пересечение линии вне окружности невозможно; равным образом невозможно оно и внутри круга, что доказывается тем же способом; следовательно, все точки пересечения лежат на самой окружности.

Но нам пора уже вернуться назад и удовлетворить желание синьора Симпличио, показав ему, что разложение линий на бесконечное множество ее точек не только не невозможно, но сопряженно не с большими трудностями, чем разделение на конечные части; для этого необходимо только одно условие, на которое, полагаю, синьор Симпличио согласится. Оно заключается в следующем: вы не должны требовать, чтобы я отделил одну точку от другой и показал их вам в отдельности на этой бумаге; со своей стороны, я не требую действительного разделения линии на четыре или шесть частей и довольствуюсь одним указанием вами точек деления линии  {153}  или точек ее излома, когда вы хотите образовать из нее квадрат или шестиугольник, это уже убеждает меня в правильности приема.

Симпличио. Согласен.

Сальвиати. Если теперь сгибание линии под углами так, чтобы образовался квадрат или восьмиугольник или многоугольник с сорока, ста или тысячью сторон, представляется вам достаточным для действительного выявления тех четырех, восьми, сорока, ста или тысячи частей, которые, как вы говорите, содержались потенциально в первоначальной прямой линии, то, когда я образую из прямой линии многоугольник с бесконечным числом сторон, т. е. когда я сгибаю ее в окружность, не могу ли я с таким же правом утверждать, что я вызываю к действительности та бесконечное множество частей, которое первоначально, пока линия была прямой, содержалось в ней, по вашему утверждению, в потенции? Вы не можете отрицать, что подобное рассуждение не менее верно в отношении бесконечного множества частей линии, нежели в отношении четырех частей, образующих квадрат, или тысячи частей, образующих тысячеугольник, потому, что в нем не нарушается ни одно из условий, имеющихся для многоугольника с тысячью или ста тысячами сторон. Последний, поставленный на одну из своих сторон и приложенный к прямой линии, соприкасается с ней этой стороной, т. е. одной стотысячной своей частью; круг, который представляет собою многоугольник с бесконечным числом сторон, соприкасается с прямой также одною из своих сторон, т. е. единственной точкой, отличной от других соседних, а потому отделенной и отграниченной от них не в меньшей степени, нежели отделена от соседних сторона любого многоугольника. Подобно тому как многоугольник, вращаемый на плоскости, образует последовательным наложением всех своих сторон прямую линию, равную его периметру, точно так же и круг, катящийся по плоскости, чертит соприкосновением бесчисленного множества точек прямую линию, равную его окружности. Теперь я не знаю, синьор Симпличио, согласятся ли со мною господа перипатетики, которых я поддерживаю, в том, что всякий континуум разложим лишь на делимые части, так что, продолжая подобное деление последовательно, мы никогда не придем к концу, и признают ли они, что ни одно из их делений не будет последним и не может быть таковым, потому что для дальнейшего разложения всегда остаются делимые части, последнее же крайнее деление должно разложить делимое на бесконечное множество неделимых, чего, как я утверждаю, мы не можем достигнуть последовательным раздроблением на большее и большее количество частей. Предложенный же мною метод раздроблять и разделять бесконечность одним разом (прием, в котором мне не следует отказать) должен и их успокоить и заставить принять, что континуум состоит из абсолютно неделимых атомов. Этим дается также путь, более надежный, нежели другие, чтобы выбраться из  {154}  сложного лабиринта разных вопросов, к которым принадлежит, например, затронутый уже нами вопрос о связности частей твердого тела; приняв, что тела состоят из неделимых частиц, мы можем, как мне кажется, понять и явления разрежения и сгущения тел, не прибегая для объяснения первого к признанию пустых промежутков, а второго — к проникновению одних тел в другие.

Симпличио. Не знаю, что сказали бы вам перипатетики; полагаю, что рассуждения ваши в большей своей части явились бы для них совершенно новыми и как таковые подлежали бы рассмотрению. Возможно, что они нашли бы возражения и ответы на те неясные пункты, которые я за краткостью времени и недостаточностью сообразительности должен был оставить неразрешенными. Но оставим это теперь в стороне; мне очень хотелось бы узнать, каким образом введение таких неделимых облегчает понимание явления сгущения и разрежения, делая излишним в то же время признание пустоты или взаимного проникновения тел.

Сагредо. Я также с большим интересом занялся бы этим вопросом, для меня пока совершенно неясным; мне хотелось бы познакомиться с доводами Аристотеля в опровержение существования пустоты, о чем незадолго перед тем упомянул синьор Симпличио, а также и с вашим решением, в котором вы принимаете то, что он отрицает.

Сальвиати. Сделаем и то и другое. Что касается первого, то для понимания разрежения необходимо воспользоваться линией, описываемой малым кругом при вращении большого круга, которая оказалась больше, чем окружность этого малого круга; для понимания же сгущения мы покажем, как при вращении малого круга больший круг описывает прямую линию, меньшую по длине, чем его окружность; для более наглядного пояснения рассмотрим сперва, что происходит с соответствующими многоугольниками. На чертеже, сходном с тем, которым мы пользовались раньше, изображены два шестиугольника с общим центром L, именно АВС и HIК, и параллельные прямые НОМ и АВс, по которым будут катиться многоугольники. Удерживая вершину I малого многоугольника, повернем этот многоугольник так, чтобы сторона его IK совпала с прямой линией, при каковом движении точка К опишет дугу КМ, а сторона IK совпадет с отрезком IM прямой. Теперь посмотрим, что сделается при этом со стороною СВ большого многоугольника. Так как вращение совершается  {155}  около точки I, то линия IB опишет своим концом В, двигающимся обратно, дугу Вb под параллельной линией cA, так что когда сторона KI совпадает с линией MI, то сторона ВС совпадает с линией bс, продвинувшись вперед лишь на отрезок Вс и отстав на отрезок, соответствующий дуге Вb, который отложится на линии ВА. При продолжении вращения подобным же образом меньший многоугольник опишет и пройдет по своей параллели линию, равную своему периметру; больший же многоугольник пройдет в то же время линию меньшую, чем его периметр, на величину bВ, повторенную столько раз, сколько у него сторон; линия эта будет приблизительно равна пройденной меньшим многоугольником, превышая последнюю лишь на величину bВ. Здесь обнаруживается, таким образом, причина, благодаря которой больший многоугольник (управляемый меньшим) не описывает своими сторонами линии большей, нежели описанная меньшим многоугольником; она заключается в том, что каждая сторона многоугольника покрывает часть пространства, уже пройденного предшествующей стороной.

Рассмотрим теперь два концентрических круга, описанных из центра А и покоящихся на двух параллельных линиях, соприкасаясь с ними — меньший в точке В, а больший — в точке С. При вращении меньшего круга точка В не будет оставаться некоторое время неподвижною, а линия BG не будет перемещать назад точку С, как то имело место в многоугольнике, где точка I оставалась без движения, пока сторона KI не накладывалась на линию IM, а линия IB переносила точку В, т. е. конец стороны СВ, назад в точку b, так что сторона ВС принимала положение be, откладывая часть Вb на линии ВА и подвигаясь вперед только на часть Вс, равную IM или стороне меньшего многоугольника; накладывание на пространство, занимаемое предшествующей стороной, излишков сверх величины стороны меньшего многоугольника и продвижение вперед лишь на остальную часть, равную стороне меньшего многоугольника, объясняло то явление, что линия, откладываемая большим многоугольником, равнялась линии, откладываемой меньшим. Но здесь, если мы пожелаем применить то же рассуждение к явлению качения кругов, то должны будем сказать, что в то время как число сторон любого многоугольника выражается некоторой конечной величиной,— число сторон круга бесконечно; первые конечны и делимы, вторые жене конечны и неделимы; концы сторон многоугольника при вращении остаются некоторый промежуток времени неподвижными, и промежуток этот равен времени полного обращения многоугольника, разделенному на число его сторон; в круге пребывание в покое концов бесчисленных его сторон продолжается одно мгновение, которое так же относится к конечному промежутку времени, как точка к линии, содержащей бесконечно много точек. Обратное движение большего многоугольника происходит не на величину  {156}  всей его стороны, но лишь на величину излишка большей стороны над меньшей, движение же вперед происходит на величину, равную стороне меньшего многоугольника; при движении кругов точка или сторона С при остановке на мгновение точки В также переносится назад на величину, равную излишку ее над стороною В, и продвигается вперед на величину, равную последней. В результате бесконечное множество неделимых сторон большего круга со своим бесконечным множеством неделимых обратных движений, совершаемых во время бесконечно кратких остановок бесконечно большого числа сторон меньшего круга, и с бесконечным множеством продвижений вперед, равных бесконечному числу сторон меньшего круга, описывает линию, равную описываемой меньшим кругом и содержащую бесконечное множество бесконечно малых наложений, образующих утолщение или, лучше сказать, уплотнение без проникновения одних конечных частей в другие, чего нельзя сделать с разделенной на конечные части линией, равной периметру какого-либо многоугольника; выпрямленный, он не может сократиться без того, чтобы стороны его частью не налегли одна на другую или не проникли одна в другую. Такое уплотнение бесконечного множества бесконечно малых частиц без взаимного проникновения конечных частей и расхождение бесконечного множества бесконечно малых частиц с образованием неделимых пустот представляет собою все, что можно сказать об уплотнении и разрежении тел, не прибегая к допущению взаимного проникновения частей тела или к образованию пустот конечной величины. Если это вам нравится, то примите мои выводы; если же нет, то считайте их ложными так же, как и мои рассуждения, и поищите других объяснений, более удовлетворительных. Я только напомню вам при этом два слова: мы находимся в области бесконечных и неделимых³³.

Сагредо. Признаюсь откровенно, что ваши соображения весьма остроумны и звучат для моих ушей, как нечто новое и чуждое; если, однако, природа на самом деле и следует таким законам, я все же не знал бы, на что решиться. Но верно то, что если я не услышу что-либо более меня удовлетворяющего, я остановлюсь на сказанном, чтобы не оставаться совсем безгласным. Но, быть может, синьор Симпличио сможет осветить нам (с чем до сих пор я еще никогда не встречался) те объяснения, которые давали этому столь темному предмету философы. По правде сказать, все то, что мне довелось читать относительно уплотнения, было столь плотным, а относительно разрежения — столь тонким, что моя слабая голова не могла того понять, а в это — проникнуть.

Симпличио. Я нахожусь в полном смущении, встречая серьезные затруднения и на том и на другом пути, в особенности же на новом. Согласно предложенному взгляду, унция золота может разредиться и образовать тело, объемом более земного шара, а с другой стороны, Земля  {157}  может уплотниться и сжаться до размера ореха. Таким вещам я не верю, и полагаю, что вы сами тоже этому не верите. Ваши рассуждения и доказательства суть чисто математические, отвлеченные и оторванные от всякой ощущаемой материи: я полагаю, что по отношению к физической материи и предметам, встречающимся в природе, выведенные законы не могут иметь приложения.

Сальвиати. Сделать для вас видимым невидимое — это, конечно, не в моих силах, и думаю, что вы не станете этого от меня и требовать. Но, насколько это доступно нашим чувствам, разве мы не можем убедиться в способности сильного разрежения хотя бы золота, которое вы только что назвали? Не знаю, случалось ли вам видеть, как мастера вытягивают золотую проволоку, у которой золото покрывает лишь поверхность, вся же внутренняя часть состоит из серебра. Вытягивают ее следующим образом: берут цилиндр или, проще сказать, стержень из серебра, длиною приблизительно в поллоктя и толщиною в три-четыре пальца, и покрывают его позолотою, накладывая листки сусального золота, которое, как вы знаете, настолько тонко, что от дуновения поднимается в воздухе; таких листков накладывается восемь-десять, не более того. Позолоченный таким образом стержень начинают затем с большой силой вытягивать, заставляя его проходить через отверстия в железной доске; пропуская его много и много раз через отверстия все меньшего диаметра, продолжают этот процесс до тех пор, пока не получают нити столь же тонкой, как женский волос; и вся она остается с поверхности позолоченной. Предоставляю вам судить, сколь велика способность золота к утончению и расширению.

Симпличио. Я не вижу, чтобы из этой операции проистекало столь удивительное утончение вещества золота, как вы того желаете. Во-первых, уже первоначальная позолота состояла из десяти золотых листков, что составляет значительную толщину; во-вторых, хотя серебро при вытягивании и утончении и прибавляется в длине, но зато уменьшается в толщине, так что изменение одного размера компенсируется изменением другого, и поверхность серебра увеличивается лишь настолько, что для покрытия ее золоту достаточно утончиться, может быть, лишь до пределов первоначального листка.

Сальвиати. Вы в достаточной мере ошибаетесь, синьор Симпличио, так как увеличение поверхности составляет квадратный корень из увеличения длины, как я могу это геометрически доказать.

Сагредо. И от себя и от лица синьора Симпличио я прошу вас дать нам это доказательство, если, конечно, оно таково, что может быть нами понято.

Сальвиати. Попробую изложить его так, как оно приходит мне на память без подготовки. Само собою ясно, что первоначальный толстый  {158}  серебряный стержень и длиннейшая вытянутая нить суть два равных по объему цилиндра, так как содержат то же количество серебра; поэтому если я покажу, какое отношение существует между поверхностями двух равных по объему цилиндров, то я докажу требуемое. Утверждаю, что отношение поверхностей двух равновеликих цилиндров, не считая площадей их оснований, равно корню квадратному из отношения их длин.

Возьмем два равновеликих цилиндра, высота одного из коих равна АВ, а другого CD, и пусть линия Е будет средней пропорциональной между ними. Утверждаю, что поверхность цилиндра АВ, не считая площади его оснований, будет так относиться к поверхности цилиндра CD, также не считая площади его оснований, как линия АВ относится к линии Е, каковое отношение представляет собою корень квадратный из отношения АВ к CD. Разделим цилиндр АВ в F таким образом, чтобы высота части AF была равна CD. Так как отношение площадей оснований равновеликих цилиндров равно обратному отношению их высот, то площадь круга, лежащего в основании цилиндра CD, будет относиться к площади круга, лежащего в основании цилиндра АВ, как высота ВА к высоте CD а так как площади кругов относятся между собой, как квадраты их диаметров, то и эти квадраты будут относится, как ВА к CD. Но как ВА относится к CD, так относится и квадрат ВА к квадрату E; следовательно, эти четыре квадрата пропорциональны между собою, а отсюда вытекает, что и стороны их пропорциональны, т. е. что линия АВ относится к линии Е так, как диаметр круга С к диаметру круга А. Но отношение диаметров равно отношению окружностей, а отношение окружностей равно отношению поверхностей цилиндров равной высоты. Таким образом, отношение линии АВ к Е равно отношению поверхности цилиндра CD к поверхности цилиндра AF. Так как, однако, высота AF относится к АВ как поверхность AF к поверхности АВ, а высота АВ относится к линии Е как поверхность CD к поверхности AF, то обратно — отношение высоты AF к Е будет равно отношению поверхности CD к поверхности АВ, отношение же поверхности цилиндра АВ к поверхности цилиндра CD будет равно отношению линии Е к AF, т. е. к CD или же АВ к Е, каковое отношение представляет собою квадратный корень из отношения АВ к CD. А это и есть то, что требовалось доказать³⁴.

Применим теперь то, что сейчас нами доказано, к нашему примеру, предположив, что позолоченный серебряный цилиндр имел не более поллоктя длины и три или четыре пальца толщины и, доведенный до тонкости волоса, образовал нить длиною в двадцать тысяч локтей (что вполне  {159}  может быть достигнуто). Мы найдем, что поверхность его увеличилась в двести раз против первоначальной, вследствие чего золотые листочки, наложенные первоначально в числе десяти, должны теперь покрыть поверхность в двести раз большую, так что толщина золотого слоя, покрывающего нить, будет составлять всего одну двадцатую часть толщины одного листка сусального золота. Подумайте, какова тонкость этого слоя, и можно ли представить себе таковую без огромного расхождения частей? Вместе с тем не доказывает ли этот опыт, что физическая материя состоит из бесконечного множества малых частиц? Впрочем, этому можно привести и другие, еще более веские и убедительные примеры.

Сагредо. Доказательство кажется мне столь прекрасным, что если бы даже оно и не имело силы убедить нас в том, для чего оно было приведено (и чего, как мне кажется, оно в значительной мере достигает), то оно все же вполне вознаградило нас за то краткое время, которое мы потратили, чтобы его выслушать³⁵.

Сальвиати. Раз я вижу, что вы столь высоко цените геометрические доказательства, дающие нам надежную опору, то я познакомлю вас с другим предложением, дающим ответ на довольно интересный вопрос. Ранее мы рассматривали цилиндры равного объема, но разной высоты или длины; теперь мы займемся цилиндрами, имеющими равную поверхность, но различную длину; отмечу, что речь будет идти лишь о боковых поверхностях, основания же, как верхние, так и нижние, в расчет не принимаются. Утверждаю, что объемы прямых цилиндров, поверхности которых, не считая площадей оснований, равны, обратно пропорциональны их высотам.

Пусть АЕ и CF будут два цилиндра с равными боковыми поверхностями, причем высота второго CD больше высоты первого АВ. Утверждаю, что объем цилиндра АЕ так относится к объему цилиндра CF, как высота CD к высоте АВ. Так как поверхность CF равна поверхности АЕ, то объем цилиндра CF будет меньше объема цилиндра АЕ. В самом деле, если бы они были равны, то по доказанному ранее положению его поверхность превосходила бы поверхность цилиндра АЕ; то же имело бы место в еще большей степени, если бы цилиндр CF был более цилиндра АЕ. Предположим теперь, что имеется цилиндр ID, равновеликий цилиндру АЕ; согласно доказанному выше, поверхность этого цилиндра ID относится к поверхности АЕ, как высота его IF к средней пропорциональной между IF и АВ. Так как, однако, поверхность цилиндра АЕ равна поверхности CF и так как поверхность цилиндра ID относится к поверхности CF, как высота IF к высоте CD, то высота  {160}  CD есть также среднее пропорциональное между IF и АВ. Так как сверх того цилиндр ID равен цилиндру АЕ, то они имеют одно и то же отношение к цилиндру CF; но ID относится к CF, как высота IF к CD; следовательно, отношение цилиндра АЕ к цилиндру CF будет равно отношению линии IF к CD, т. е. отношению CD к АВ, что и требовалось доказать.

Отсюда можно вывести объяснение одного явления, которое люди часто наблюдают не без удивления. Если из куска холста, у которого длина больше ширины, делается мешок для зерна с дном из деревянной доски, как это обычно принято, то спрашивается, почему мешок будет более вместимым, если короткую сторону направить вверх, а более длинной охватить деревянное дно, нежели если сделать наоборот. Предположим, что холст имеет в ширину шесть и в длину двенадцать локтей; если длинная сторона холста в двенадцать локтей будет охватывать дно, а высота мешка будет равняться шести локтям, то мешок будет более емким, нежели в том случае, когда охватывать дно будет короткая сторона в шесть локтей, а высота мешка будет составлять двенадцать локтей. То, что было ранее доказано, позволяет не только составить общее суждение о том, в каком случае объем будет больше, но и показать, насколько один объем будет больше или меньше другого; он будет во столько раз больше, во сколько высота его ниже, и во столько раз меньше, во сколько она выше. В приведенном нами примере кусок холста имеет длину, в два раза превышающую его ширину; вместимость мешка, обращенного к основанию короткой стороной и сшитого по длине, будет в два раза меньше вместимости мешка, сшитого по ширине. Точно так же, если имеем подобие плетеной циновки, длиною в двадцать пять локтей и шириною в семь локтей, и хотим сделать из нее корзину, то объемы корзин, сшитых по длине и по ширине циновки, будут относиться друг к другу, как семь к двадцати пяти.

Сагредо. Таким путем мы с особым удовлетворением постепенно приобретаем новые познания, не лишенные и практической пользы. В отношении только что затронутого положения я полагаю, что среди лиц, мало знакомых с геометрией, едва ли найдется четыре процента таких, которые сразу же не сделают ошибки и не скажут, что тела, имеющие равные поверхности, равны и во всем прочем. В подобную же ошибку впадают и при определении площадей, сравнивая, как то часто случается, величину различных городов на основании длины их обводов и полагая, что об их сравнительной величине можно судить, зная, во сколько раз обвод одного более обвода другого. При этом упускается из виду, что хотя обвод одного может равняться обводу другого, но пространство, ограниченное равными линиями, может быть в одном случае значительно больше, нежели в другом. Это имеет место в отношении не только неправильных  {161}  фигур, но и правильных, из коих те, которые имеют большее число сторон, имеют и большую площадь, так что, в конце концов, круг как многоугольник с бесконечным числом сторон охватывает площадь большую, чем все остальные многоугольники, равного с ним обвода. Я с особым удовольствием вспоминаю доказательство этого положения, которое я нашел при изучении «Сферы» Сакробоско и приложенных к ней ученейших комментариев³⁶.

Сальвиати. Совершенно верно. Как раз читая это место, я нашел очень простой способ доказать, что из всех правильных фигур с равным периметром круг имеет наибольшую площадь, которая у многоугольников вообще тем более, чем больше число их сторон.

Сагредо. Так как я очень люблю доказательства известных положений, тонкие и далекие от обычных, то я очень прошу вас познакомить меня с вашим доказательством.

Сальвиати. Это можно сделать в нескольких словах на основании следующей теоремы:

Круг есть среднее пропорциональное между двумя любыми правильными подобными многоугольниками, один из которых описан вокруг него, а другой — изопериметричен кругу. Будучи меньше всех описанных многоугольников, круг в го же время больше всех изопериметричных ему многоугольников. Далее, из описанных многоугольников те, которые имеют большее число углов, меньше тех, которые имеют их меньшее число; наоборот, из изопериметричных кругу многоугольников больше те, число углов у которых больше.

Пусть из двух подобных многоугольников А и В первый — А — описан около круга А, другой же — В — изопериметричен кругу; утверждаю, что круг является средним пропорциональным между ними. Круг этот равен по площади (если радиусом его будет АС) такому прямоугольному треугольнику, у которого одна из сторон, прилегающих к прямому углу, равна АС, другая же равна окружности. Так как в то же время многоугольник А равен прямоугольному треугольнику, у которого одна из прилегающих к прямому углу сторон равна той же линии АС, другая же равна периметру этого многоугольника, то ясно, что площадь описанного многоугольника относится к площади круга, как периметр этого многоугольника к окружности круга или равному окружности периметру другого многоугольника В. Но отношение многоугольников А и В равно отношению квадратов их периметров (так как фигуры эти подобны);  {162}  следовательно, круг А есть среднее пропорциональное между многоугольниками А и В. Так как многоугольнике больше круга А, то ясно, что круг А должен быть больше многоугольника В, имеющего равный с ним периметр, а следовательно, и больше всех изопериметричных ему правильных многоугольников.

Что касается другой части предложения, т. е. что из многоугольников, описанных вокруг данного круга, имеющие меньшее число сторон больше тех, число сторон коих больше, и что, наоборот, из изопериметричных многоугольников больше те, число сторон коих больше, то она доказывается следующим образом. К кругу, имеющему центр в точке О и радиус ОА, проведем касательную АВ, на которой отложим отрезок AD, равный, например, половине стороны описанного пятиугольника, и отрезок АС, равный половине стороны такого же семиугольника. Проведем прямые OGC, OFD и опишем из центра О радиусом, равным линии ОС, дугу ECI. Так как треугольник DOC больше сектора ЕОС, а сектор COI больше треугольника СОА, то отношение треугольника DOC к треугольнику СОА будет больше отношения сектора ЕОС к сектору COI, или сектора FOG к сектору GOА. Сочетая и переставляя³⁷, получим, что отношение треугольника BOA к сектору FOA будет больше отношения треугольника СОА к сектору GOА и отношение десяти треугольников DOА к десяти секторам FOA будет больше отношения четырнадцати треугольников СОА к четырнадцати секторам GOА; таким образом, отношение к кругу описанного пятиугольника будет больше отношения к тому же кругу описанного семиугольника и, следовательно, пятиугольник будет больше семиугольника. Представим себе теперь семиугольник и пятиугольник, имеющие периметры, равные окружности данного круга; утверждаю, что семиугольник больше пятиугольника. Так как круг является средним пропорциональным между пятиугольником, описанным около него, и пятиугольником, имеющим равный с окружностью периметр, а также и средним пропорциональным между описанным и изопериметричным семиугольником, и так как доказано уже, что описанный пятиугольник больше описанного семиугольника, то отношение пятиугольника к кругу будет больше отношения к нему же семиугольника; поэтому отношение круга к изопериметричному с ним пятиугольнику будет больше отношения его к такому же семиугольнику; следовательно, пятиугольник меньше изопериметричного семиугольника, что нам и требовалось доказать.

Сагредо. Прекрасное доказательство, и весьма тонкое³⁸. Но мы, кажется, слишком углубились в область геометрии. Мы собирались рассмотреть затруднения, выдвинутые синьором Симпличио и заслуживающие большого внимания. В особенности затруднительной представляется мне проблема сгущения.  {163} 

Сальвиати. Если сгущение и разрежение представляют собою явления противоположные, то, видя чрезвычайное разрежение, нельзя отрицать возможности столь же большого сгущения. А чрезвычайное разрежение, совершающееся к тому же почти мгновенно, что делает его еще более удивительным, мы можем наблюдать ежедневно. Не представляется ли примером чрезвычайного разрежения превращение малого количества артиллерийского пороха в огромный объем огня? И как велико к тому же, даже почти безгранично, распространение возникающего при этом света? И если бы этот огонь и этот свет опять соединились, что не представляется невозможным, так как перед тем они заключались в столь малом объеме, то как велико было бы сгущение? Подумав, вы найдете тысячи случаев разрежения, которые гораздо легче наблюдать, нежели случаи сгущения, так как плотное вещество легче поддается нашему воздействию и доступнее нашим чувствам. Если мы возьмем дерево, то мы можем превратить его в огонь и свет, но мы бессильны сгустить эти огонь и свет и обратить их в дерево; мы наблюдаем как плоды, цветы и тысячи других плотных тел частью превращаются в запах, но мы не видим, как атомы, производящие запах, сгущаются в благоухающие тела. Там, где недостает чувственного наблюдения, его надо дополнить размышлением, которое дает нам возможность не только понять явление разрежения и растворения твердых тел, но и сгущения веществ нетвердых и даже самых тонких.

Приступим же к рассмотрению того, как могут происходить сгущение и разрежение таких тел, которые способны к сгущению и разрежению, не прибегая при этом к помощи предположения пустоты и проницаемости тел. При этом не исключена возможность, что в природе существуют такие вещества, с которыми такие явления не происходят, и поэтому с ними не происходит того, что вы называете затруднительным и невозможным. Итак, синьор Симпличио, я много потрудился над тем, чтобы угодить вам, господам философам, представить, каким образом могут происходить сгущение и разрежение без допущения проницаемости тел или существования пустых пространств — допущений, которые вы отрицаете и отклоняете, тогда как, если бы вы пожелали их признать, вы не нашли бы во мне столь упорного противника. Поэтому или примите эти затруднительные допущения, или согласитесь с моими объяснениями, или найдите более удовлетворительные.

Сагредо. Взаимное проникновение тел я совершенно отрицаю, сходясь в этом с философами-перипатетиками. Что же касается пустоты, мне хотелось бы внимательно рассмотреть как доводы Аристотеля против ее допущения, так и ваши, синьор Сальвиати, с ним несогласные; синьор Симличио будет добр точно изложить доводы философа, а вы, синьор Сальвиати, свои возражения.  {164} 

Симпличио. Аристотель, насколько я помню, оспаривает мнение некоторых древних философов, которые вводили пустоту как необходимое условие движения, говоря, что последнее невозможно без первой. Оспаривая такое положение, Аристотель доказывает, наоборот, что существование движения (как можно видеть) противоречит допущению пустоты. Его доказательство таково. Он рассматривает два случая: один — движение тел различного веса в одинаковой среде; другой — движение одного и того же тела в различных средах. Относительно первого случая он утверждает, что тела различного веса движутся в одной и той же среде с различными скоростями, которые относятся между собою, как веса тел, так что, например, если одно тело в десять раз тяжелее другого, то и движется оно в десять раз быстрее. Относительно второго случая он принимает, что скорость движения одного и того же тела в различных средах различна и обратно пропорциональна степени густоты или плотности среды; таким образом, если предположить, что степень плотности воды равна десятикратной плотности воздуха, то движение в воздухе должно совершаться в десять раз быстрее, чем в воде. Из этого второго положения он выводит дальнейшее доказательство в следующей форме. Так как разреженность пустоты бесконечно отличается от плотности среды, заполненной хотя бы тончайшим веществом, то движущиеся тела, проходящие определенное расстояние в заполненном пространстве в некоторый промежуток времени, должны были бы передвигаться в пустоте мгновенно; но мгновенное движение невозможно; поэтому вследствие движения невозможна пустота.

Сальвиати. Аргумент, как видите, приводится «ad hominem»³⁹, т. е. против тех, кто полагал, что пустота необходима для движения. Поэтому, если я сочту аргумент доказательным, но вместе с тем признаю, что в пустоте движение не совершается, то существование пустоты в абсолютном смысле — без отношения к движению — этим не будет опровергнуто. Но рассуждая в духе этих древних и рассматривая, насколько убедительны доводы Аристотеля, следует, как мне кажется, возражать против его положений, отрицая оба. Во-первых, я сильно сомневаюсь, чтобы Аристотель видел на опыте справедливость того, что два камня, из которых один в десять раз тяжелее другого, начавшие одновременно падать с высоты, предположим, ста локтей, двигались со столь различной скоростью, что в то время как более тяжелый достиг бы земли, более легкий прошел бы всего 10 локтей.

Симпличио. Из ваших слов выходит, что вы производили подобные опыты, потому что вы говорите: «видел более тяжелый», а видеть можно только тогда, когда производишь опыты.

Сагредо. Но я, синьор Симпличио, не производивший никаких опытов, уверяю вас, что пушечное ядро весом в сто, двести и более фунтов  {165}  не опередит и на одну пядь мушкетной пули весом меньше полфунта при падении на землю с высоты двухсот локтей.

Сальвиати. Да и без дальнейших опытов путем краткого, но убедительного рассуждения мы можем ясно показать неправильность утверждения, будто тела, более тяжелые, движутся быстрее, нежели более легкие, подразумевая тела из одного и того же вещества, т. е. такие, о которых говорит Аристотель. В самом деле, скажите мне, синьор Симпличио, признаете ли вы, что каждому падающему твердому телу присуща от природы определенная скорость, увеличить или уменьшить которую возможно, только применив усилие или противопоставив какое-либо препятствие?

Симпличио. Я не сомневаюсь в том, что одно и то же тело в одной и той же среде имеет постоянную скорость, определенную природой, которая не может увеличиться иначе, как от приложения нового импульса, или уменьшиться иначе, как от замедляющего препятствия.

Сальвиати. Таким образом, если мы имеем два падающих тела, естественные скорости которых различны, и соединим движущееся быстрее с движущимся медленнее, то ясно, что движение тела, падающего быстрее, несколько задержится, а движение другого несколько ускорится. Вы не возражаете против такого положения?

Симпличио. Думаю, что это вполне правильно.

Сальвиати. Но если это так и если вместе с тем верно, что большой камень движется, скажем, со скоростью в восемь градусов, тогда как другой, меньший,— со скоростью в четыре градуса, то соединяя их вместе, мы должны получить скорость, меньшую восьми градусов; однако два камня, соединенные вместе, составляют тело большее первоначального, которое имело скорость в восемь градусов, следовательно, выходит, что более тяжелое тело движется с меньшей скоростью, чем более легкое⁴⁰; а это противно вашему предположению. Вы видите теперь, как из положения, что более тяжелые тела движутся с большей скоростью, чем легкие, я мог вывести заключение, что более тяжелые тела движутся менее быстро.

Симпличио. Я чувствую себя совершенно сбитым с толку. Мне кажется, что малый камень, присоединенный к большому, увеличивает вес последнего; но увеличивая вес, он должен если не увеличить скорость, то во всяком случае не уменьшить ее.

Сальвиати. Здесь вы совершаете новую ошибку, синьор Симпличио, так как неправильно, что малый камень увеличивает вес большого.

Симпличио. Ну, это уже превосходит мое понимание.

Сальвиати. Нисколько, все будет понятно, как только я избавлю вас от заблуждения, в которое вы впали. Дело в том, что необходимо  {166}  делать различие между телами, пребывающими в покое и находящимися в движении. Большой камень, взвешиваемый на весах, приобретает больший вес от наложения на него не только другого камня: положенная на него связка пакли увеличивает его вес на шесть—десять унций, которые весит сама пакля. Но если вы заставляете камень свободно падать с некоторой высоты вместе с наложенной на него паклей, то думаете ли вы, что при движении пакля будет давить на камень и тем увеличивать скорость его движения, или что она его замедлит, поддерживая камень? Мы чувствуем тяжесть на плечах, когда сопротивляемся движению, к которому стремится давящая тяжесть; но если бы мы опускались с такою же скоростью, с какою перемещается свободно падающий груз, то каким образом тяжесть могла бы давить на нас? Не видите ли вы, что это подобно тому, как если бы мы хотели поразить копьем кого-либо, кто бежит впереди нас с равною или большею скоростью? Выведите из этого заключение, что при свободном и естественном падении малый камень не давит на больший и, следовательно, не увеличивает его веса, как то бывает при покое.

Симпличио. Но если положить больший камень на меньший? Сальвиати. Он увеличил бы вес меньшего, если бы движение его было более быстрым; но мы уже нашли, что если бы меньший двигался медленнее, то он замедлил бы отчасти движение большего; таким образом, целое двигалось бы медленнее, будучи больше своей части, что противно нашему положению. Выведем из всего этого, что тела большие и малые, имеющие одинаковый удельный вес, движутся с одинаковой скоростью⁴¹.

Симпличио. Ваше рассуждение, действительно, прекрасно; однако мне все же трудно поверить, что крупинка свинца должна падать с такой же быстротою, как пушечное ядро.

Сальвиати. Скажите лучше — песчинка с такой же быстротой, как мельничный жернов. Я не хотел бы, синьор Симпличио, чтобы вы поступали как многие другие, отклоняя беседу от главного вопроса, и придирались к выражению, в котором я допустил отклонение от действительности на один волосок, желая скрыть за этой небольшой погрешностью ошибку другого, грубую, как якорный канат. Аристотель говорит: «железный шар, весом в сто фунтов, падая с высоты ста локтей, упадет на землю, в то время как другой, весом в один фунт, пройдет пространство в один локоть». Я утверждаю, что оба упадут одновременно. Проделав опыт, вы найдете, что больший опередит меньший на два пальца, так что когда больший упадет на землю, то меньший будет от нее на расстоянии толщины двух пальцев. Этими двумя пальцами вы хотите закрыть девяносто девять локтей Аристотеля и, говоря о моей небольшой ошибке, умалчиваете о громадной ошибке другого. Аристотель говорит, что тела  {167}  различного веса движутся в одной и той же среде (поскольку движение происходит вследствие тяжести) со скоростями, пропорциональными их весу, и приводит в пример тела, на которых можно проследить чистое, абсолютное влияние веса, отбрасывая в сторону все другие соображения как относительно формы, так и относительно других малозначащих моментов, каковые легко подвергаются воздействию среды, изменяющей простое действие одной тяжести; так, мы видим, что золото — вещество, тяжелейшее из всех других,— будучи превращено в тончайшие листки, носится в воздухе; то же делается с ним, когда кусок его обращен в тончайший порошок. Но если вы желаете доказать общее положение, то вам следует показать, что пропорциональность скоростей наблюдается во всех тяжелых телах, так что камень в двадцать фунтов весом падает в десять раз быстрее, чем камень весом в два фунта; а это, как я утверждаю, неверно: падая с высоты пятидесяти — ста локтей, оба они достигнут земли в один и тот же момент.

Симпличио. Быть может, при падении с большей высоты, хотя бы в тысячу локтей, обнаружилось бы то, чего нельзя заметить при меньших высотах?

Сальвиати. Если вы полагаете, что Аристотель так думал, то вы приписываете ему другую ошибку, да еще и ложь. Так как на земле мы не находим таких вертикальных высот, то ясно, что Аристотель не мог производить с ними опытов; а между тем он хочет убедить нас, что делал опыты, говоря, что можно видеть такое явление.

Симпличио. На самом деле Аристотель пользуется не этим принципом, а другим, с которым, я полагаю, не связано таких затруднений.

Сальвиати. Второе утверждение не менее ложно, нежели первое. Меня удивляет, как вы сами не замечаете его неправильности и не видите, что если бы было правильно, что одно и то же тело в средах различной тонкости или плотности, словом, разной сопротивляемости, например, в воде и в воздухе, движется в воздухе со скоростью большей, нежели в воде, во столько же раз, во сколько плотность воздуха меньше плотности воды, то из этого вытекало бы, что все тела, падающие в воздухе, опускаются ко дну также и в воде, что совершенно ложно, так как существуют многие тела, которые не только не тонут в воде, но даже поднимаются в ней на поверхность.

Симпличио. Я не вижу необходимости в вашем заключении и скажу, что Аристотель имел в виду такие тяжелые тела, которые опускаются как в одной, так и другой среде, а не такие, которые в воздухе падают, а в воде поднимаются кверху.

Сальвиати. Вы выдвигаете в защиту этого философа такие аргументы, которыми он, конечно, не воспользовался бы, чтобы не увеличивать  {168}  своей первоначальной ошибки. Скажите мне, находится ли плотность воды, или, вообще, причина, замедляющая движение в ней, в каком-либо определенном отношении к плотности воздуха, где эта замедляющая причина меньше; если находится, то определите примерно это отношение.

Симпличио. Конечно, находится, и допустим, что это отношение равно десяти; таким образом, скорость твердого тела, опускающегося в том и в другом веществе, будет в воде в десять раз меньше, чем в воздухе.

Сальвиати. Возьмем теперь одно из таких тел, которые падают в воздухе, но не тонут в воде; пусть это будет кусок дерева; предоставляю вам назначить по вашему усмотрению скорость его движения в воздухе.

Симпличио. Предположим, что он падает со скоростью двадцати градусов.

Сальвиати. Прекрасно. Очевидно, что такая скорость будет находиться к другой — меньшей скорости в таком же отношении, какое имеет плотность воды к плотности воздуха, почему меньшая скорость будет равняться двум градусам. Отсюда, рассуждая последовательно, мы должны были бы заключить, согласно правилу Аристотеля, что деревянный шар, который падает в воздухе, в десять раз менее плотном, нежели вода, со скоростью двадцати градусов, должен опускаться в воде со скоростью двух градусов, а не подниматься со дна на поверхность, как то происходит на самом деле. Я не думаю, чтобы вы стали утверждать, будто подниматься в воде и опускаться ко дну со скоростью двух градусов для дерева одно и то же. Но так как кусок дерева в воде не тонет, то вы, надо полагать, допустите вместе со мною, что можно выбрать кусок вещества иного, нежели дерево, который бы опускался в воде со скоростью двух градусов.

Симпличио. Конечно, допускаю, но вещество это должно быть значительно тяжелее дерева.

Сальвиати. Именно такое я и ищу. Но спрашивается, с какой скоростью будет падать в воздухе этот второй кусок, опускающийся в воде со скоростью двух градусов? На этот вопрос вы должны будете ответить (пользуясь правилом Аристотеля), что он будет падать со скоростью двадцати градусов; но ту же скорость в двадцать градусов вы уже приписали куску дерева; следовательно, и этот кусок и другой, значительно более тяжелый, будут двигаться в воздухе с одинаковой скоростью. Каким же образом мог бы согласовать философ этот вывод с другим своим положением, что тела разного веса в одной и той же среде движутся с различными скоростями, пропорциональными их весу? Отвлекаясь теперь от глубоких размышлений, позвольте спросить, каким образом не замечаете вы совершенно очевидных и часто встречающихся явлений, когда из двух тел, движущихся в воде, одно перемещается, например, во сто раз быстрее другого, тогда как при падении в воздухе скорость одного  {169}  превышает скорость другого едва ли на одну сотую долю? Так, мраморное яйцо опускается в воде во сто раз быстрее куриного яйца; при падении же в воздухе с высоты двадцати локтей оно опережает куриное яйцо едва ли на четыре пальца. Существуют тела, которые в воде опускаются за три часа на глубину десяти локтей, каковое пространство в воздухе они пробегают за один-два удара пульса, тогда как другие (например, свинцовый шарик) падают в воздухе со скоростью приблизительно в два раза большей той, с которой они тонут в воде⁴². Теперь, синьор Симпличио, вы без сомнения, сознаете, что вам нечего более мне возразить. Согласимся же на том, что приведенный ранее аргумент не заключает в себе ничего опровергающего существование пустоты; а если бы он и был убедительным, то им опровергалось бы лишь допущение таких больших пустот, которые ни я, ни древние не представляли себе естественно существующими и которые, возможно, могут быть созданы насильственно, как то, видимо доказывается опытами, но на этом, однако, было бы слишком долго теперь останавливаться⁴³.

Сагредо. Так как синьор Симпличио хранит молчание, то я воспользуюсь моментом, чтобы сказать несколько слов. Вы совершенно ясно доказали, что тяжелые тела различного веса движутся в одной и той же среде не с различными скоростями, пропорциональными их весу; а с одинаковой скоростью; я полагаю, что это относится к телам из одного и того же вещества или, лучше сказать, одинакового удельного веса, но не к телам разного удельного веса (так как я не думаю, чтобы вы утверждали, будто кусок пробки падает с такою же скоростью, как кусок свинца); далее, вы ясно доказали, что неправильно принимать, будто скорость движения одного и того же тела в различных средах изменяется в той же пропорции, как сопротивляемость среды; мне очень хотелось бы знать, какие же отношения наблюдаются в действительности в том и другом случае?

Сальвиати. Вопросы очень интересные, и я много о них думал; я сообщу вам кое-что из того, к чему я пришел после долгих размышлений. После того, как я убедился, что неправильно, будто одно и то же тело движется в различных средах со скоростями, обратно пропорциональными сопротивляемости среды, и что не менее неправильно и то, будто в одной и той же среде тела различного веса движутся с различными скоростями, пропорциональными их весу (даже если учесть разность в удельном весе), я начал комбинировать эти два явления, наблюдая, что происходит с телами различного веса в средах различной сопротивляемости. При этом я нашел, что разница в скорости всегда значительно больше в средах, более сопротивляющихся, нежели в более податливых; разница эта доходит до того, что из двух тел, падающих в воздухе со скоростями, отличающимися лишь на самую малость, в воде одно движется  {170}  в десять раз быстрее другого; точно так же есть тела, которые, быстро падая в воздухе, в воде не тонут, но остаются лишенными движения или еще более — поднимаются кверху; можно легко найти дерево такого сорта, что суковатые части или корни его будут оставаться в воде в любом месте без движения, тогда как в воздухе они быстро падают.

Сагредо. Я много раз с большим усердием старался увеличить вес куска воска, который сам по себе не тонет, прибавляя к нему песок так, чтобы он, сравнявшись по весу с водой, мог оставаться в ней без движения; но, несмотря на все старания, это мне не удавалось; не знаю, существует ли другое твердое вещество, настолько близкое к воде по удельному весу, чтобы оно, будучи погружено в воду, могло оставаться в ней без движения.

Сальвиати. В этом отношении, равно как и в тысяче других, многие животные совершеннее нас. В вашем случае хорошим примером могли бы служить рыбы. Они столь искусны в подобных упражнениях, что по желанию могут сохранять равновесие в воде и притом не только чистой, но и значительно измененной по своей природе или благодаря примеси речного ила или соли, создающих существенную разницу; это совершается ими с такой ловкостью, что они могут, не двигаясь, пребывать в воде в покое в любом месте. Этого, как я полагаю, они достигают при помощи данного им природою для этой цели органа— пузыря, находящегося в их теле и соединяющегося довольно узким проходом со ртом. Сообразно цели, они то выталкивают из пузыря часть содержащегося в нем воздуха, то, поднимаясь на поверхность, вновь поглощают последний, делаясь по желанию то тяжелее, то легче воды, то-одинакового с нею веса.

Сагредо. Несколько иной проделкой я обманул, однажды, нескольких своих друзей, похваставшись им, что довел воск до равного с водою веса. Я зачерпнул сначала в сосуд соленой воды, затем налил сверху пресной и показал им, что кусок воска остановился посредине; погруженный на дно или поднятый на поверхность, он опять возвращался в середину.

Сальвиати. Это опыт далеко не бесполезный. Когда медики говорят о различных свойствах воды и, между прочим, о большой легкости или тяжести одной по сравнению с другой, то посредством такого шарика, стоящего по тяжести, так сказать, на границе между опусканием и поднятием в воде, можно обнаружить даже незначительную разницу в весе различных вод: в одной шарик тонет, в другой, более тяжелой,— поднимается. Прибор этот настолько чувствителен, что прибавления двух гран соли к шести фунтам воды достаточно, чтобы поднять со дна на поверхность палочку, которая ранее опустилась. Скажу вам, далее, в доказательство чувствительности этого опыта, а также в подтверждение того, что вода не оказывает никакого сопротивления разделению, что  {171}  подобное же явление производит не только примесь к воде какого-нибудь более тяжелого вещества, но и нагревание или охлаждение ее; чувствительность столь велика, что прибавления к шести фунтам воды четырех капель горячей или холодной воды достаточно, чтобы заставить шарик двигаться вниз и вверх: он тонет при прибавлении теплой воды и, наоборот, поднимается при прибавлении холодной. Отсюда вы можете видеть, как заблуждались философы, наделявшие воду вязкостью или связностью, заставляющей ее противиться разделению или проникновению.

Сагредо. Я видел много убедительных соображений по этому поводу в одном трактате нашего Академика; и все-таки у меня осталось некоторое сомнение, которое я не могу преодолеть. Если между частицами воды нет никакого сцепления или связности, то каким образом могут удерживаться, например на листьях капусты, довольно большие капли воды без того, чтобы не расплываться и не расходиться⁴⁴?

Сальвиати. Хотя тот, кто считает свои положения правильными, должен уметь опровергнуть все доводы, приводимые в подтверждение противного, я не осмеливаюсь утверждать, что смогу сделать это в настоящем случае; однако мое бессилие не должно затмевать света истины. Прежде всего, я сознаюсь прямо, что не знаю, каким образом происходит то, что упомянутые довольно большие и выпуклые капли удерживаются, не расплываясь; но я знаю наверное, что это происходит, во всяком случае, не от внутреннего сцепления, существующего между частицами; остается, следовательно, отыскать внешнюю причину такого явления. То, что дело не во внутренней причине, я могу подтвердить, помимо показанных уже опытов, еще одним, чрезвычайно доказательным. Если бы приподнятые части воды, окруженные воздухом, сохраняли свое положение благодаря причине внутренней, то они должны были бы сохранять его в еще сильнейшей степени, будучи окружены такою средою, в которой они имеют меньшую наклонность падать, чем в окружающем воздухе; такою средою могла бы быть любая жидкость более тяжелая, чем воздух, например вино. Но если мы прильем к такой капле воды вина, то мы не сможем окружить ее вином, так как частицы воды, которые должны были удерживаться внутренним сцеплением, растворятся; как только жидкость, приливаемая извне, приблизится, вода, не дожидаясь поднятия уровня этой жидкости, растворится и расплывется, оставаясь внизу, если приливается красное вино; таким образом, явление вызывается причиною внешнею, которую можно приписать окружающему воздуху. И, действительно, между воздухом и водою существует большая несовместимость, которую я наблюдал на следующем опыте. Если наполнить водою стеклянный шар с узким горлышком, толщиной всего в соломинку, и повернуть его горлышком вниз, то вода, хотя и более тяжелая и быстро  {172}  падающая в воздухе, не выльется, а воздух, способный, как наилегчайшее тело, быстро подниматься через воду, не войдет внутрь, и оба вещества останутся друг против друга в покое. Наоборот, если опустить горлышко в сосуд с красным вином, которое немного легче воды, то тотчас же станут заметны красные струйки, медленно восходящие среди воды, а вода с такою же медленностью будет вытекать в вино, не смешиваясь с ним, так что, в конце концов, шар окажется весь наполненным вином, а вода скопится на дне сосуда, содержавшего вино. Какое иное заключение отсюда должны мы сделать, как не то, что между воздухом и водою существует несовместимость, для меня не ясная; но может быть...

Симпличио. Я почти готов смеяться над той антипатией, которую синьор Сальвиати питает к слову «антипатия», не решаясь произнести его; а между тем, оно так подходит для объяснения такого затруднения.

Сальвиати. Ну, пусть наши сомнения будут разрешены так, как предлагает синьор Симпличио, и после отклонения, возвратимся к первоначальному вопросу⁴⁵. Мы видели, что разница в скорости падения тел различного веса, в общем, более значительна в средах, представляющих и большее сопротивление. Но что же далее? В ртути золото не только идет ко дну быстрее свинца, но только оно одно и опускается, в то время как все другие металлы и камни поднимаются вверх и плавают на поверхности. А между тем разница в скорости движения в воздухе кусков золота, свинца, меди, порфира и других тяжелых веществ столь незначительна, что при падении с высоты ста локтей шар из золота опередит шар из меди едва ли на четыре пальца. Видя это, думаю, что если бы совершенно устранить сопротивление среды, то все тела падали бы с одинаковой скоростью.

Симпличио. Весьма сомнительное утверждение, синьор Сальвиати. Я никогда не поверю, чтобы в пустом пространстве, если только в нем можно наблюдать падение, клочок шерсти двигался с такою же быстротою, как кусок свинца.

Сальвиати. Будьте осторожнее, синьор Симпличио. Указываемые вами затруднения не столь велики, а я не так неосторожен, чтобы быть застигнутым врасплох и не дать вам ответа. Итак, выслушайте рассуждение, которое я постараюсь сделать для вас понятным и доказательным. Мы задались исследованием вопроса, что произойдет с различными движущимися Телами различного веса в среде, сопротивление которой равняется нулю; при таких условиях всякую разницу в. скорости, которая может обнаружиться, придется приписать единственно разнице в весе. Для того чтобы показать требуемое, необходимо было бы пространство, совершенно лишенное воздуха или какой бы то ни было другой материи, хотя бы самой тонкой и податливой. Так как подобного пространства мы не имеем, то станем наблюдать, что происходит в средах, более податливых, и сравнивать с тем, что наблюдается в средах, менее тонких и более сопротивляющихся. Если  {173}  мы найдем действительно, что тела различного веса будут все менее и менее отличаться друг от друга по скорости падения, по мере того как последнее будет происходить в средах, представляющих все меньшее сопротивление, пока, наконец, в среде, наиболее легкой, хотя и не вовсе пустой, разница в скорости получится самой малой и почти незаметной, то отсюда с большою вероятностью можно будет заключить, что в пустоте скорость падения всех тел одинакова. Посмотрим, что происходит в воздухе, взяв, чтобы иметь тело определенной формы, но возможно более легкое, надутый пузырь; заключающийся в нем воздух не будет иметь в воздухе никакого веса или же ничтожный, если предположить, что в пузыре воздух будет несколько сжат; поэтому вес пузыря будет почти равен одному весу оболочки и не составит и тысячной доли веса свинцового шара той же величины, что и пузырь. На какое пространство, синьор Симпличио, опередит теперь свинцовый шар, надутый воздухом пузырь при падении с высоты четырех или шести локтей? Поверьте мне, он упадет не втрое и даже не вдвое скорее, хотя, по вашему мнению, он должен был бы обладать скоростью в тысячу раз большею.

Симпличио. Быть может, то, что вы говорите, и происходит в начале движения на первых четырех или шести локтях. Но я думаю, что в дальнейшем, при более продолжительном движении, свинец перегонит пузырь не только на одну двенадцатую часть пути, но и на восемь или десять таких частей.

Сальвиати. Я думаю то же самое и не сомневаюсь, что при громаднейших пространствах свинец может пройти сто миль, в то время как пузырь, не пройдет еще и одной; но, синьор Симпличио, то что вы приводите в опровержение моего положения, наилучшим образом его подтверждает. Повторяю, я хочу показать, что причина различной скорости падения тел различного веса не заключается в самом их весе, а обусловливается внешними причинами, в частности, сопротивлением среды, так что если бы устранить последнее, то все тела падали бы с одинаковою скоростью. Такой вывод я делаю, главным образом, из того, что вы только что сказали и что совершенно справедливо, а именно, что при движении тел различного веса разница в скорости возрастает по мере увеличения пробегаемого ими пространства; это явление не должно было бы иметь места, если бы скорость зависела от различия в весе. Последняя причина, оставаясь постоянной, должна была бы иметь следствием и постоянство отношения пройденных пространств; а мы видим, что это отношение при продолжении движения постоянно увеличивается: в то время как при падении с высоты одного локтя самое тяжелое тело обгонит тело весьма легкое всего на одну десятую долю такого пространства, при падении с высоты двадцати локтей — оно опередит его уже на третью часть, при падении с высоты ста локтей — на 90/100 и т. д.^45a  {174} 

Симпличио. Все это хорошо; но, следуя вашему рассуждению, надо признать, что если разница в весе тел различной тяжести не может являться причиною изменения отношения их скоростей, так как их веса нисколько не изменяются, то заодно и среда, которую мы также предполагаем постоянной, не может внести никакого изменения в отношение скоростей.

Сальвиати. Вы делаете очень меткое возражение против сказанного мною, и на него необходимо ответить обстоятельно. Скажу, что всякое тяжелое тело имеет присущее от природы внутреннее свойство стремиться к общему центру всех тяжелых тел, т. е. центру земного шара, движением, постоянно ускоряющимся и ускоряющимся всегда одинаково, так что в равные промежутки времени получаются равные приращения моментов или степеней скорости. Это должно обнаруживаться всякий раз, когда устранены все случайные и внешние воздействия, из которых одно, однако, неустранимо — это противодействие заполненной среды, которая должна дать проход падающему телу; такому движению, среда, хотя бы самая тонкая, жидкая и находящаяся в покое, оказывает меньшее или большее сопротивление в зависимости от того, насколько быстро она должна раздвинуться, чтобы пропустить падающее тело. Так как последнее, как было уже сказано, падает по природе своей с возрастающей скоростью, то оно встречает и все возрастающее сопротивление среды. Отсюда проистекает замедление и уменьшение в приращении новых степеней скорости, так что, в конце концов, скорость доходит до такого предела, а сопротивление среды до такой величины, что они уравновешивают друг друга, упраздняя всякое приращение скорости и превращая движение тела в однообразное и равномерное, которое оно и сохраняет постоянно в дальнейшем. Таким образом, увеличение сопротивления среды происходит не потому, что меняется ее сущность, но потому, что меняется быстрота, с которой она должна податься и раздвинуться, чтобы открыть путь падающему телу, которое движется с возрастающей скоростью. Отсюда ясно, что сопротивление воздуха ничтожному моменту падающего пузыря очень велико, а тяжелому весу свинца — весьма мало; и я убежден, что если бы мы вовсе устранили воздух и тем облегчили движение пузыря в большой степени, а свинца — в очень малой, то скорости их падения сравнялись бы⁴⁶. Установив принцип, согласно которому в пустоте или же в среде, по другим каким-либо причинам не оказывающей сопротивления, замедляющего движение тел, скорость падения всех тел одинакова, мы можем довольно точно определить отношения скоростей движения одинаковых и неодинаковых тел в одной и той же или разнородных средах, обладающих разной сопротивляемостью. Этого мы достигнем, приняв в соображение, какой вес отнимает у движущегося тела вес среды, ибо избыток веса тела и является той силой, с которой тело прокладывает себе путь, раздвигая в стороны частицы среды, чего не  {175}  происходит в пустом пространстве, почему в нем и нельзя ожидать никакой разницы, обусловливаемой разницей в весе тел. Так как ясно, что среда отнимает у находящегося в ней тела такой вес, какой имеет вытесняемый им объем среды, то, уменьшив соответственно скорость падения тела в среде, не представляющей сопротивления, в которой (по нашему предположению) все скорости равны, мы получим искомое. Так, предположим, например, что свинец в десять тысяч раз тяжелее воздуха, черное же дерево только в тысячу раз; от скорости падения этих двух тел, каковые скорости, взятые абсолютно, т. е. при условии устранения всякого сопротивления, были бы равными, воздух отнимает у свинца из десяти тысяч единиц одну единицу и у черного дерева—из тысячи единиц также одну единицу, а следовательно, из десяти тысяч единиц десять единиц. Поэтому, если свинец и черное дерево падают в воздухе с любой высоты, с которой, не будь сопротивления воздуха, они опустились бы одновременно, то воздух отнимает от скорости падения свинца одну десятитысячную, от скорости же падения черного дерева—десять десятитысячных; таким образом, если разделить все пространство, которое тела проходят при падении, на десять тысяч частей, то при конце пути дерево окажется отставшим от свинца на десять частей без одной, т. е. на девять десятитысячных частей пути. Не то же ли самое получается, когда, бросив с башни высотою в двести локтей шары из свинца и дерева, мы находим, что первый опережает второй менее чем на четыре пальца? Черное дерево весит в тысячу раз более воздуха, упомянутый же надутый пузырь—всего в четыре раза более; следовательно, воздух отнимает у естественной скорости падения черного дерева одну тысячную часть, у скорости же падения пузыря, абсолютно равной первой,—одну четвертую часть; поэтому, когда брошенный с башни шар черного дерева достигнет земли, то пузырь не пройдет и трех четвертей пути. Свинец тяжелее воды в двенадцать раз, слоновая же кость только в два раза; поэтому вода отнимает от их естественной одинаковой скорости—у свинца одну двенадцатую, у слоновой же кости—половину; отсюда следует, что когда свинец опустится в воде на одиннадцать локтей, то слоновая кость успеет опуститься всего лишь на шесть. Рассуждая таким образом, мы получим, я полагаю, выводы, более соответствующие результатам опыта, нежели руководствуясь правилами Аристотеля. Подобным же образом можно найти соотношение скоростей движения одного и того же тела в различных жидких средах, беря за исходное не величину сопротивления среды, а избыток веса тела над весом данной среды. Олово, например, в тысячу раз тяжелее воздуха и в десять раз тяжелее воды; поэтому если мы разделим абсолютную скорость падения олова на тысячу частей, то скорость его падения в воздухе будет равна девятистам девяносто девяти частям, так как воздух отнимет одну часть, в воде же скорость падения будет равна всего лишь  {176}  девятистам частям, так как вода отнимет одну десятую часть его веса. Если возьмем тело немного тяжелее воды, каким является, например, каменный дуб, кусок которого будет весить, скажем, тысячу драхм, в то время как соответственный объем воды имеет вес в девятьсот пятьдесят драхм, а воздух всего лишь в две драхмы, то ясно, что, приняв абсолютную скорость падения за тысячу, мы получим скорость падения в воздухе, в тысячу без двух, т. е. девятьсот девяносто восемь частей, в воде же — только в пятьдесят частей, так как из тысячи частей вода отнимает девятьсот пятьдесят и составляет всего лишь пятьдесят частей. Такое тело будет, следовательно, падать в воздухе в двадцать раз быстрее, нежели в воде, так как излишек тяжести его над тяжестью воды, т. е. удельный вес, составляет одну двадцатую собственного веса. Здесь я хочу заметить, что движение в воде вниз возможно лишь для веществ большего, чем вода, удельного веса и, следовательно, во много сотен раз более тяжелых, нежели воздух; поэтому, отыскивая соотношение скорости движения тела в воздухе и воде, мы можем без заметной ошибки принять, что воздух ничего не отнимает от момента абсолютного веса тела, а следовательно, и от абсолютной скорости такого вещества; поэтому как только мы найдем избыток тяжести тела над тяжестью воды, так можем принять, что скорость падения его в воздухе так относится к скорости падения в воде, как общий вес его относится к избытку его веса над весом равного объема воды. Пусть, например, кусок слоновой кости весит двадцать унций, в то время как равный ему объем воды весит семнадцать; скорость падения слоновой кости в воздухе относится поэтому к скорости падения в воде почти как двадцать к трем.

Сагредо. Я чувствую, что узнал сейчас многое по вопросу, над которым я размышлял много и долго, но все же бесплодно; чтобы быть в состоянии применить на деле рассуждения, мне не хватает одного: способа установить, каково отношение веса воздуха к весу воды, а следовательно, и к весу всяких других тел.

Симпличио. Но если окажется, что воздух обладает не тяжестью, но легкостью, то что придется сказать о всех этих рассуждениях, впрочем, весьма остроумных⁴⁷?

Сальвиати. Тогда придется сказать, что рассуждения были легки, воздушны и фантастичны. Но неужели вы сомневаетесь в том, что воздух имеет вес, вопреки даже утверждению Аристотеля, говорившего, что все элементы, за исключением огня, а следовательно, и воздух, имеют вес, доказательством чего (по его мнению) служит тот факт, что надутый мех весит больше ненадутого?

Симпличио. То, что надутый мех весит более, думается мне, надо приписать не весу содержащегося в нем воздуха, а примеси различных тяжелых испарений, от которых и возрастает вес меха.  {177} 

Сальвиати. Мне не хотелось бы слышать от вас такого возражения, особенно сказанного как бы от лица Аристотеля. Если бы, говоря об элементах и желая доказать, что элемент воздуха имеет вес, он показал мне опыт и сказал «возьмем мех, наполним его тяжелыми испарениями, и мы увидим, что вес его увеличится», то я мог бы ответить, что вес меха возрастет еще более, если мы наполним его отрубями, и заметил бы при этом, что подобный опыт доказывает лишь наличие веса у отрубей и испарений, что же касается элементов воздуха, то относительно них вопрос по-прежнему остается открытым. Опыт Аристотеля хорош и предложение его правильно. Не скажу того же об учении другого философа, имени которого не припомню и у которого я вычитал утверждение, что воздух скорее тяжел, нежели легок, так как он легче пропускает книзу тяжелые тела, нежели кверху тела легкие.

Сагредо. Хорошее рассуждение, нечего сказать. Но согласно ему, воздух должен быть много тяжелее воды, так как все тяжелые тела падают в нем много быстрее, нежели в воде, все же легкие тела поднимаются в воде легче, чем в воздухе; к тому же бесчисленное множество тяжелых тел, падающих в воздухе вниз, поднимается в воде вверх, и множество веществ, плавающих на воде, в воздухе не удерживается. Что же касается увеличения веса нашего меха от тяжелых испарений или от самого воздуха, то это, синьор Симпличио, ничего не изменяет в нашем вопросе, так как мы рассматриваем, что происходит с телами при движении в нашей же атмосфере, полной испарениями. Итак, возвращаясь к нашему первому вопросу, я желал бы для полного и окончательного решения его знать, если это, вообще возможно, не только, что воздух имеет вес (в чем я убежден), но и сколько он весит. Поэтому, если вы можете удовлетворить меня и в этом отношении, синьор Сальвиати, то благоволите сообщить, что знаете.

Сальвиати. То, что воздух обладает положительной тяжестью, а вовсе не легкостью, как полагают некоторые, каковой, быть может, нет ни в одном веществе, в достаточной мере доказывается опытом Аристотеля с надутым мехом. Действительно, если бы воздуху была присуща как особое свойство абсолютная и положительная легкость, то при увеличении количества воздуха и сжатии его возрастали бы и легкость его и стремление вверх; между тем опыт показывает обратное. Что касается второго вопроса — каким образом измеряется его вес, то я шел таким путем. Я брал стеклянную бутыль большого размера с довольно узким горлом; последнее было обтянуто плотно прилегающей к нему кожей и имело отверстие, закрываемое со стороны бутыли перепонкой — клапаном, через который я посредством шприца с силою вгонял в бутыль большое количество воздуха; последний был так сжат, что количество его было достаточным для наполнения еще двух-трех бутылей, не считая, конечно,  {178}  того воздуха, который содержится в них в естественном состоянии. Затем я тщательно взвешивал на чувствительных весах такую бутыль со сжатым воздухом, измеряя вес тонким песком. Открывая затем отверстие и выпуская выходивший с силой сжатый воздух, я снова взвешивал бутыль и находил ее значительно более легкой, так что приходилось снять некоторое количество первоначально насыпанного песка, дабы уравновесить бутыль. Кто же может усомниться, что вес снятого песка и есть вес воздуха, который был сильно сжат в бутыли, а затем выпущен? Такой опыт убеждает меня, однако, лишь в том, что воздух, сильно сжатый в бутыли, весит столько же, сколько снятое количество песка; но я не знаю еще определенно, каков вес воздуха относительно веса воды или какого-либо другого вещества, и не смогу узнать этого, пока не получу возможности измерить количество сжатого воздуха. Для этого необходимо найти способ, и мне думается, что я нашел его, идя двумя путями. Первый способ состоит в том, что берется другая бутыль, подобная первой, с таким же обтянутым кожей горлышком, плотно соединенным с кожаной обшивкой первой бутыли. В дне этой второй бутыли должно быть сделано отверстие таким образом, чтобы через него можно было пропустить острый железный стержень, проколоть по желанию упомянутую выше перепонку и дать тем выход излишку воздуха, заключенного в первой бутыли, взвешенной, как было указано выше; при этом вторая бутыль должна быть наполнена водою. Устроив все аккуратно, как указано выше, и проколов стержнем перепонку, мы увидим, как сжатый воздух, выходя из первой бутыли, устремится во вторую, вытесняя воду через отверстие в дне сосуда; ясно, что объем вытесненной воды будет равен объему вышедшего из бутыли воздуха. Соберем вытесненную таким образом воду и взвесим бутыль, облегченную вследствие выхода сжатого воздуха (предполагается, что она была взвешена и ранее со содержавшимся в ней сжатым воздухом). Отсыпав указанным уже выше образом излишек песка, мы найдем вес воздуха, ибо очевидно, что вес указанного излишка и есть вес воздуха в объеме, равном объему вытесненной воды, собранной нами. Взвесив теперь ту воду и определив, во сколько раз вес ее более веса излишка песка, мы можем без большой ошибки утверждать, что во столько же раз и вода тяжелее воздуха; при этом оказывается, что отношение это равно не десяти, как предполагал Аристотель, а приблизительно четыремстам: такое число дает нам опыт. Второй способ проще и может быть применен при пользовании одним лишь сосудом, снабженным указанным ранее приспособлением. В сосуде будет содержаться лишь такое количество воздуха, которое находится в нем в естественном состоянии; постараемся теперь накачать в сосуд воды так, чтобы одновременно с этим не дать выхода воздуха, который должен уплотниться, будучи сжат водою. Итак, нагнетем в сосуд воды, сколько возможно; без применения  {179}  особенно большой силы ею можно будет наполнить три четверти объема бутылки; затем положим последнюю на весы и тщательно взвесим. Сделав это и держа бутыль горлышком вверх, прокалываем перепонку и даем тем выход воздуху, которого выходит ровно столько, сколько места заняла в бутыли вода. После того как воздух вышел, ставим бутыль на весы и находим, что вес ее стал меньше от потери части воздуха. Найдя разницу между весами, определяем этим, сколько весит воздух в том объеме, который занимает в бутыли вода.

Симпличио. Нельзя не сказать, что изобретенные вами способы весьма остроумны и тонки, но вместе с тем я думаю, что они дают лишь кажущееся удовлетворение нашему рассудку, создавая в некоторых отношениях большие затруднения. Несомненно, верно то, что элементы, взвешиваемые в среде, состоящей из них же самих, не являются ни тяжелыми, ни легкими; поэтому я не могу признать, что то количество воздуха, которое, по вашему утверждению, уравновешивалось хотя бы четырьмя драхмами песка, действительно имеет такой вес в воздухе, в котором песок поддерживает его в равновесии. Мне кажется, что опыт должен быть произведен не в воздухе, но в какой-либо другой среде, в которой воздух мог бы проявить свой вес, если только он им обладает.

Сальвиати. Возражение синьора Симпличио весьма метко и поэтому оно должно быть либо неопровержимым, либо допускающим лишь весьма тонкое опровержение. То, что воздух, будучи сжат, обнаружил вес, равный некоторому количеству песка, а затем, выпущенный на свободу в свою среду, не может быть взвешен, как взвешивается песок,— вещь ясная; поэтому для опыта следовало бы избрать такое место и такую среду, где не только песок, но и воздух был бы весомым. Как указывалось уже много раз, среда отнимает от веса каждого находящегося в ней тела столько, сколько весит занимаемый им объем среды; поэтому воздух у воздуха отнимает всю тяжесть, и для того, чтобы получить точный результат, следовало бы произвести опыт в пустоте, где каждое тело проявляет свой момент без всякого уменьшения. Итак, синьор Симпличио, если бы мы взвесили часть воздуха в пустоте, то были ли бы вы удовлетворены?

Симпличио. Конечно, да: но это значит выполнить невозможное.

Сальвиати. Тем большим вы будете мне обязаны, если из любви к вам я совершу невозможное. Но я не хочу продавать вам того, что уже отдал, потому что в упомянутом выше опыте мы уже взвешивали воздух в пустоте, а не в воздухе или какой-нибудь иной среде. Тот факт, что масса, погружающаяся в жидкую среду, испытывает потерю веса, происходит, синьор Симпличио, вследствие того, что среда оказывает сопротивление своему разъединению, вытеснению и, в конце концов, поднятию; доказательством этого служит та быстрота, с которой жидкость заполняет пространство, занимаемое погруженным в нее телом, как только  {180}  последнее удаляют; там, где среда не испытывает никакого погружения, нет места и сопротивлению ему. Скажите мне теперь, когда вы имеете в воздухе бутылку, наполненную уже естественно содержащимся в ней воздухом, какое разделение, вытеснение или вообще передвижение производите вы в окружающем воздухе тем, что с силою вгоняете в бутыль еще новое количество воздуха? Может быть, растет объем бутыли, так что окружающая среда должна раздаться, чтобы дать ему место? Конечно, нет; и мы можем сказать, что новый воздух не погружается в окружающую среду, что он не занимает в ней нового места и находится как бы в пустоте; и действительно, он помещается в последней, так как занимает при нагнетании те мельчайшие пустоты, которые не заполнены обычным несжатым воздухом. Я не нахожу, в самом деле, никакой разницы во взаимоотношениях тела и среды в этих двух случаях: в одном, где нет среды, оказывающей давление на тело, и в другом, где объемлемое тело не оказывает никакого давления на окружающую среду; первый случай имеет место со всяким телом в пустоте, второй — в случае сжатого воздуха в бутыли. Поэтому найденный вес этого сгущенного воздуха совершенно таков же, как если бы последний свободно взвешивался в пустоте. Правда, песок, которым уравновешивался воздух, как находящийся в воздухе свободным, должен весить в пустоте несколько больше; поэтому следует признать, что взвешенный воздух в действительности весит менее, нежели уравновешивающий его песок,—именно настолько, сколько весил бы в пустоте объем воздуха, равный объему снятого песка⁴⁸.

Симпличио. Мне показалось, что опыты ваши оставляли еще чего-то желать; но теперь я вполне удовлетворен.

Сальвиати. Вопросы, которых я сейчас касался, и в особенности те положения, что разница в тяжести, как бы велика она ни была, не играет никакой роли в различии скорости движения тел, и что если бы дело было только в одном весе, то все тела падали бы с одинаковой быстротой, представляются столь новыми и на первый взгляд столь далекими от истины, что если бы я не нашел способов осветить их и сделать яснее солнца, то я предпочел бы скорее умолчать о них, нежели их излагать. Так как, однако, я уже высказал вам мое положение, то я должен теперь привести и подтверждающие его опыты.

Сагредо. Не только это, но и многое другое в вашем учении столь чуждо и далеко от обычных широко распространенных взглядов, что при опубликовании его вы найдете много противников; в самом деле, большинство обыкновенных людей и при хорошем зрении не видит того, что другие открывают путем изучения и наблюдения, отделяющих истину от лжи, и что остается скрытым для большинства. Награждая ученых мало лестными для большинства эпитетами новаторов, они пытаются разрубать узлы, развязать которые не могут, и подводят мины для разрушения зданий,  {181}  воздвигнутых трудами и терпением искусных строителей. Так как мы далеки от такого рода попыток, то ваши опыты и доказательства нас вполне удовлетворяют и успокаивают. Однако, если у вас есть еще более наглядные опыты и еще более убедительные доказательства, то мы охотно познакомимся и с ними.

Сальвиати. Опыты с двумя телами, возможно больше отличающимися друг от друга по весу, которые мы заставляем падать с некоторой высоты, наблюдая, перемещаются ли они с одинаковой скоростью, представляют некоторые трудности. Если высота значительна, то среда, которая должна быть раздвинута и перемещена, окажет значительно большее влияние на малый момент весьма легкого предмета, нежели на усилие чрезвычайно тяжелого предмета, почему при большем пространстве первый останется позади; при малой же высоте можно сомневаться, существует ли вообще разница, так как, если она и существует, то почти незаметна. Поэтому я пришел к мысли повторить опыт с падением с малой высоты столько раз, чтобы, отмечая и складывая незначительные разницы, могущие обнаружиться во время достижения конца пути тяжелым и легким телом, получить в итоге разницу не только просто заметную, но и весьма заметную. Затем, чтобы иметь дело с движением по возможности медленным, при котором уменьшается сопротивление среды, изменяющее явление, обусловливаемое простой силой тяжести, я придумал заставлять тело двигаться по наклонной плоскости, поставленной под небольшим углом к горизонту; при таком движении совершенно так же, как и при отвесном падении, должна обнаружиться разница, происходящая от веса. Идя далее, я захотел освободиться от того сопротивления, которое обусловливается соприкосновением движущихся тел с наклонной плоскостью. Для этого я взял, в конце концов, два шара — один из свинца, другой — из пробки, причем первый был в сто раз тяжелее второго, и прикрепил и подвесил их на двух одинаковых тонких нитях длиной в четыре или пять локтей; когда, затем, я выводил тот и другой шарик из отвесного положения и отпускал их одновременно, то они начинали двигаться по дуге круга одного и того же радиуса, переходили через отвес, возвращались тем же путем обратно и т. д.; после того, как шарики производили сто качаний туда и обратно, становилось ясным, что тяжелый движется столь согласованно с легким, что не только после ста, но и после тысячи качаний не обнаруживается ни малейшей разницы во времени, и движение обоих происходит совершенно одинаково. При этом, однако, наблюдается воздействие среды, которая, представляя сопротивление движению, значительно больше уменьшает размах качания пробки, нежели размах качания свинца; но от этого последние но делаются ни более, ни менее частыми, так что, хотя дуги, описываемые пробкою, будут равняться всего пяти-шести градусам, а описываемые  {182}  свинцом — пятидесяти-шестидесяти градусам, они будут проходиться в одинаковые промежутки времени⁴⁹.

Симпличио. Если это так, то как же не сказать, что скорость свинца больше скорости пробки: ведь он проходит шестьдесят градусов пути, в то время как пробка не делает и шести?

Сальвиати. Но что скажете вы, синьор Симпличио, если оба шара начнут свой путь в одно и то же время, однако пробковый, будучи отклонен в сторону на тридцать градусов, должен будет проходить дугу в шестьдесят градусов, а свинцовый, отведенный только на два градуса,— дугу в четыре градуса? Не окажется ли в таком случае скорость пробки большею? А опыт показывает, что так и произойдет. Заметьте себе следующее: если мы отведем свинцовый маятник на пятьдесят градусов от отвеса и отпустим его на свободу, то он, перейдя за отвес, пройдет дугу также приблизительно в пятьдесят градусов, и всего опишет дугу почти в сто градусов; возвратившись, он второй раз опишет дугу несколько меньшую, и так далее, пока после большого числа качаний не придет в состояние покоя. Каждое из таких качаний происходит в одинаковый промежуток времени, будь дуга в девяносто градусов или же в пятьдесят, двадцать, десять или четыре. Отсюда как следствие вытекает, что скорость движения постоянно уменьшается, так как тело в одинаковые промежутки времени проходит последовательно дугу все меньшего и меньшего размера. Подобное же и даже совершенно такое же явление происходит и с пробкою, подвешенной к нити одинаковой длины, с тою лишь разницей, что она приходит в состояние покоя после меньшего числа качаний, так как благодаря своей легкости она меньше приспособлена к преодолению сопротивления воздуха; при этом все качания — большие и малые — происходят в одинаковые промежутки времени, и притом в промежутки, равные времени качания свинцового маятника. Совершенно правильно, что если свинец проходит дугу в пятьдесят градусов, а пробка не проходит и в десять, то пробка движется медленнее; но может случиться и наоборот: пробка пройдет дугу в пятьдесят градусов, а свинец — дугу в десять или шесть градусов; таким образом, может оказаться, что в разное время то свинец движется быстрее, то пробка. Но если те же тела проходят в равные промежутки времени дуги одинаковой длины, то можно с уверенностью сказать, что и скорость их движения одинакова.

Симпличио. Ваши рассуждения кажутся мне то правильными, то неправильными; я чувствую себя настолько запутавшимся, что то одно, то другое тело представляется мне движущимся с большей или меньшей скоростью, и я никак не могу уяснить себе, каким образом скорости их оказываются постоянно равными.

Сагредо. Позвольте мне, синьор Сальвиати, сказать два слова. Признаете ли вы, синьор Симпличио, что можно с абсолютной уверенностью  {183}  утверждать, что скорости движения свинца и пробки одинаковы всякий раз, как выведенные в один и тот же момент из состояния покоя и отклоненные под одним и тем же углом, они проходят одинаковые пространства в одинаковые промежутки времени?

Симпличио. В этом не может быть ни малейшего сомнения, и против этого ничего нельзя возразить.

Сагредо. Мы замечаем в маятниках, что каждый из них может описывать дугу и в шестьдесят градусов, и в пятьдесят, и в тридцать, и в восемь, и в четыре, и в два градуса и т. д.; если оба маятника описывают дугу в шестьдесят градусов, то они проходят ее в одинаковое время, на прохождение дуги в пятьдесят градусов и тому и другому маятнику необходим одинаковый промежуток времени, равно как для прохождения дуг в тридцать градусов, десять градусов и всех других; отсюда заключаем, что скорость свинцового маятника, описывающего дугу в шестьдесят градусов, одинакова со скоростью пробкового, описывающего такую же дугу, что скорости обоих маятников, описывающих дуги в пятьдесят градусов, также равны между собою, и что то же имеет место для всех других дуг. Однако мы не утверждаем, что скорость движения маятника при дуге в шестьдесят градусов равняется скорости его при дуге в пятьдесят или тридцать градусов и т. д.; скорость всегда меньше при меньших дугах; это следует с очевидностью из того факта, что одно и то же тело употребляет столько же времени, чтобы пройти большую дугу в шестьдесят градусов, сколько для того, чтобы пройти дуги меньшие — в пятьдесят или десять градусов; одним словом, оно проходит дуги различной величины в один и тот же промежуток времени. Итак, движение свинца и пробки постепенно замедляется по мере уменьшения описываемых дуг; но это нисколько не меняет того, что тела эти сохраняют одинаковую скорость при прохождении дуг одинакового размера. Я говорю все это для того, чтобы уяснить себе, верно ли я понял изложение синьора Сальвиати, а вовсе не с целью дать синьору Симпличио объяснения более убедительные, нежели те, которые уже даны синьором Сальвиати. Изложение последнего, как всегда, совершенно ясно и позволяет не только разбираться в вопросах, кажущихся темными, но и разрешать действительные загадки природы путем рассуждений, наблюдений и опытов простых и всем доступных. Последнее обстоятельство (как я слышал кое от кого) дало повод одному из ученых профессоров придавать относительно мало цены его новым теориям как слишком низким и построенным на обычных и общеизвестных основаниях, как будто наиболее замечательная и ценная сторона опытных наук не заключается как раз в том, что они проистекают и развиваются именно из общеизвестных, всем понятных и неоспоримых принципов! Но мы будем с радостью продолжать пользоваться и далее этой легкой пищей. Полагая, что сомнения синьора  {184}  Симпличио рассеялись и что он принимает за доказанное, что тяжесть, присущая движущимся телам, не играет никакой роли в различии скорости их движения, так что все тела, поскольку это зависит от тяжести, движутся с одинаковою скоростью, прошу вас сказать теперь, синьор Сальвиати, чем вы объясняете чувствительную и заметную разницу в скорости движения и что вы ответите на возражение синьора Симпличио, которое и я, со своей стороны, поддерживаю, утверждая не только, что пушечное ядро падает заметно быстрее свинцовой дробинки, но что в некоторых более плотных средах большие предметы проходят за один удар пульса пространство, которое другие предметы, из того же вещества, но меньшие, не проходят ни в час, ни в четыре часа, ни в двадцать часов; таковы, например, камни и мелкий песок; если последний столь тонок, что мутит воду, то в течение нескольких часов он опускается едва на два локтя, тогда как камешек даже небольшой величины проходит это расстояние за один удар пульса.

Сальвиати. То, что среда замедляет движение тел тем сильнее, чем менее их удельный вес, я уже объяснил, показав, что это происходит от уменьшения их веса; для того же, чтобы понять, как одна и та же среда может столь различно воздействовать на скорость движения тел из одного и того же вещества и одинаковой формы, отличающихся друг от друга только величиною, необходимо поискать более тонкого объяснения; здесь недостаточно признания причиною увеличение размеров тела, благодаря которому среда оказывает большее сопротивление и сильнее замедляет движение. Причиною настоящего явления я считаю шероховатость и пористость тел — свойства, которыми неизбежно и одновременно обладает поверхность тел; и такие неровности ударяются при движении о воздух или другую окружающую среду, доказательством служит шум тела, хотя бы оно было возможно гладким, когда оно быстро прорезает воздух; мы слышим не только просто шум, но и свист и шипение, если тело имеет заметную впадину или выступ. При быстром вращении на токарном станке каждое, даже круглое тело поднимает легкий ветер. Но чего же более? Разве мы не слышим сильнейших ударов и раскатов грома, сопровождающих молнию, падающую на землю с огромной быстротой? Звук свиста делается все ниже по мере того, как замедляется скорость движения хлыста, которым мы размахиваем; это доказывает, что шероховатые частицы поверхности, как бы малы они ни были, сталкиваются с воздухом. Поэтому я не могу сомневаться в том, что при опускании в жидкости тела испытывают трение, замедляющее быстроту их движения, и при том в тем большей степени, чем больше их поверхность, что верно для тел малых при сравнении их с большими.

Симпличио. Остановитесь, пожалуйста, потому что я начинаю сбиваться. Я понимаю и признаю, что трение среды о поверхность тела  {185}  замедляет движение, и замедление это, ceteris paribus⁵⁰, тем значительнее, чем больше поверхность; но для меня непонятно, на каком основании вы называете поверхность малых тел большею. Кроме того, если, как вы утверждаете, большая поверхность должна испытывать и большее замедление, то большие предметы должны были бы погружаться медленнее, чего на самом деле нет; это затруднение легко разрешить, приняв, что хотя большее тело имеет и большую поверхность, но зато оно имеет и больший вес, который и преодолевает трение поверхности относительно легче, чем это делает меньший вес малого тела, почему скорость большего тела и не становится меньшею. Но я не вижу причины, которая должна была бы изменить равенство скорости движения тела, так как по мере уменьшения веса, вызывающего его движение, уменьшается и поверхность, замедляющая последнее.

Сальвиати. Отвечу сразу на все то, что вы мне возразили. Вы утверждаете и признаете, синьор Симпличио, что когда у одного из двух движущихся тел равных, сделанных из одного вещества и имеющих одинаковую форму (которые, несомненно, должны и двигаться с одинаковою скоростью), уменьшаются в одинаковой степени как вес, так и поверхность (при сохранении подобия формы), то скорость движения уменьшенного тела не должна уменьшаться?

Симпличио. Мне кажется, что таково должно быть следствие, раз мы признаем вашу доктрину, что больший или меньший вес сам по себе не может ускорить или замедлить движения.

Сальвиати. Я подтверждаю последнее, признавая и ваше положение, из которого, мне кажется, вытекает как следствие, что если вес уменьшается в большей степени, нежели поверхность, то движение тела замедляется и притом тем значительнее, чем больше уменьшение веса тела по сравнению с уменьшением его поверхности.

Симпличио. Против этого я не имею возражений.

Сальвиати. В таком случае заметьте, синьор Симпличио, что невозможно в равной мере уменьшить поверхность и вес твердого тела, сохраняя подобие его формы. Так как совершенно ясно, что уменьшение веса происходит пропорционально уменьшению объема, то всякий раз, как объем уменьшится более, нежели поверхность (при сохранении подобия формы), и вес уменьшится в большей степени, нежели поверхность. Но геометрия учит, что отношение объемов подобных тел больше, нежели отношение их поверхностей, что для большей наглядности я поясню на следующем примере. Представим себе куб, ребро которого равно двум дюймам, так что каждая из граней содержит четыре квадратных дюйма, а все шесть граней, т. е. вся его поверхность, содержит, таким образом, двадцать четыре квадратных дюйма. Предположим, теперь, что куб этот разрезан на восемь маленьких кубиков; ребро каждого из последних будет  {186}  равно одному дюйму, каждая грань — одному квадратному дюйму, вся же поверхность — шести квадратным дюймам, тогда как поверхность большего куба равнялась двадцати четырем квадратным дюймам. Теперь вы видите, что поверхность малого кубика составляет четвертую часть поверхности большего (отношение шести к двадцати четырем), в то время как объем его уменьшился до одной восьмой большего. Объем, а вместе с ним и вес уменьшились, следовательно, в большей степени. Если вы разделите теперь малый кубик еще на восемь частей, то поверхность нового кубика будет содержать полтора квадратных дюйма, что составит всего одну шестнадцатую часть всей поверхности первоначального куба, объем же его будет равен лишь одной шестьдесят четвертой части того же куба. Вы видите, что путем всего лишь двух делений мы уменьшили объем в четыре раза значительнее, нежели поверхность; если же путем последовательных делений мы дойдем до раздробления первоначального тела на частицы, образующие мельчайший порошок, то найдем, что вес этих мельчайших атомов уменьшился в сотни и сотни раз значительнее, нежели поверхность. То, что я показал вам сейчас на примере куба, происходит и со всякими другими подобными друг другу телами, отношение между объемами которых равняется полуторному отношению их поверхностей⁵¹. Итак, вы видите, насколько значительнее возрастает сопротивление от соприкосновения поверхности со средой у тел малых по сравнению с большими. Если мы прибавим к этому, что шероховатость поверхности мельчайших порошкообразных частиц едва ли меньше, чем тел больших и хорошо отполированных, то найдем, сколь необходимо, чтобы среда, расступающаяся и дающая проход телу при столь малом давлении, была совершенно жидкою и лишенною сопротивления. Поэтому, синьор Симпличио, я не заблуждался, когда говорил, что поверхность малых тел, больше по сравнению с поверхностью тел больших.

Симпличио. Я совершенно убежден, и поверьте мне, что если бы мне пришлось начать вновь свое обучение, то я последовал бы совету Платона и принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что убедительно доказано.

Сагредо. Мне чрезвычайно понравились ваши суждения. Но ранее, чем мы двинемся дальше, я хотел бы как следует уяснить себе термин, для меня совершенно новый. Именно: вы сказали, что подобные тела находятся в полуторном отношении к их поверхностям; хотя я знаю предложение и доказательство того, что поверхности подобных тел относятся между собою, как квадраты сторон, и другое предложение, что объемы тел относятся между собою, как кубы сторон, но предложения, касающегося отношения между телами и их поверхностями, мне, насколько я помню, никогда не приходилось встречать.  {187} 

Сальвиати. Самый вопрос ваш содержит уже в себе ответ и разъясняет всякое сомнение. Если одно втрое больше чего-то, а другое — вдвое больше того же самого, то не является ли отношение между первым и вторым равным полутора? Конечно, является. А так как поверхности находятся в двойном отношении к линиям, а объемы — в тройном, то не можем ли мы сказать, что объемы тел находятся в полуторном отношении к поверхностям?

Сагредо. Я вполне понял. Если у меня и остались некоторые вопросы в связи с предметом, о котором мы говорили, то я полагаю, что, занявшись ими сейчас, мы еще более уклонились бы в сторону от вашей главной темы, которой я считаю различные случаи сопротивления тел излому. Поэтому не полагаете ли вы, что нам следует вернуться к началу нашей беседы и заняться основным вопросом?

Сальвиати. Вы совершенно правы, синьор, но различного рода вопросы, затронутые нами, отняли у нас столько времени, что мы мало подвинемся вперед, если займемся сегодня основным вопросом, требующим многих геометрических доказательств, к которым необходимо отнестись с особым вниманием. Поэтому я полагаю, что нам лучше будет' отложить наше собеседование до завтра, как по причине, только что упомянутой, так и потому, что я мог бы в этом случае принести листки с изложенными в должном порядке теоремами и проблемами, относящимися к данному предмету; привести их в надлежащем порядке на память мне было бы затруднительно.

Сагредо. Я соглашаюсь с вашим предложением тем охотнее, что это даст возможность закончить нашу сегодняшнюю беседу выяснением некоторых вопросов, возникших у меня в связи с только что обсуждавшимся предметом. Первый из них следующий: может ли сопротивление среды быть достаточным для того, чтобы положить конец ускорению у тел из весьма плотного вещества, тяжелых и обладающих сферической формой? Говорю сферической, так как выбираю форму с наименьшей поверхностью⁵², следовательно, и наименее подверженную замедлению. Другой вопрос касается маятников и распадается на две части, а именно: во-первых, действительно ли все маятники — большие, средние и совсем маленькие — совершают колебания в совершенно одинаковые промежутки времени, и, во-вторых, какое отношение существует между временем качания тел, подвешенных к нитям различной длины?

Сальвиати. Вы предлагаете прекрасные вопросы, но я сильно опасаюсь, как бы, начав разбирать один из них, мы, как это часто случается, не нашли, что из него можно вывести много интересных и новых следствий, для освещения которых не хватит остатка нынешнего дня.

Сагредо. Если они столь же интересны, как предыдущие, то я охотно посвящу им столько же дней, сколько часов остается сегодня до  {188}  полуночи. Надеюсь, что и синьор Симпличио будет не прочь их обсудить.

Симпличио. Конечно, нет, особенно если дело будет касаться таких вопросов естествознания, относительно которых мы лишены мнения и учений других философов.

Сальвиати. Приступим в таком случае, к первому вопросу. Я утверждаю без малейшего колебания, что не может быть шара столь большого и столь тяжелого, чтобы сопротивление среды, хотя бы последняя и была весьма тонкой, не противодействовало ускорению, так что при продолжении движения последнее не стало, наконец, равномерным⁵³. Ясные доводы в пользу такого положения дают нам следующие опыты. Какую бы скорость ни было способно приобрести падающее тело при продолжении своего движения и как бы ни было, вообще, велико движение, которое могут сообщить телу внешние силы, не может случиться, чтобы тело не восприняло и не обнаружило сопротивления среды. Пусть, например, пушечное ядро, падающее в воздухе с высоты четырех локтей, приобретает десять градусов скорости и в этот миг погружается в воду; если бы сопротивление воды не могло производить воздействие на ядро, то последнее продолжало бы двигаться ко дну с возрастающей или по крайней мере прежней скоростью. Между тем мы видим, что этого не случается: вода, глубиною хотя бы всего в несколько локтей, задерживает и ослабляет движение так, что дно реки или озера получает от ядра лишь легкий удар. Совершенно ясно, что та скорость, которую вода в состоянии уничтожить на коротком протяжении, не может сохраниться при движении до глубины в тысячу локтей. Как можем мы допустить, что при движении на тысячу локтей приобретается скорость, которая отнимается при движении на четыре локтя? Но пойдем далее: не видим ли мы, что пушечное ядро, обладающее огромным импульсом при выстреле из орудия, настолько ослабляется в своем движении несколькими локтями воды, что судно получает удар, не наносящий ему ровно никакого вреда? Даже столь податливый воздух может уменьшать скорость падающего тела, хотя бы и весьма тяжелого, в чем можно убедиться на следующем опыте. Если с вершины очень высокой башни мы выстрелим вниз из аркебуза, то пуля вонзится в землю на меньшую глубину, чем если мы выстрелим из того же аркебуза с высоты четырех-шести локтей от поверхности: отсюда ясно, что скорость, с которой пуля вылетает из дула ружья на вершине башни, уменьшается при движении вниз к земле. Поэтому и падения с огромной высоты будет недостаточно, чтобы придать телу ту скорость, которой его лишает сопротивление воздуха, каким бы образом она ни была сообщена телу. Точно так же разрушение, производимое в стене пушечным ядром, выпущенным из колубрины⁵⁴ с расстояния в двадцать локтей, я полагаю, не может быть произведено таким же ядром при  {189}  отвесном свободном падении его с какой бы то ни было большой высоты. Поэтому я думаю, что есть предел для ускорения естественного движения тела, вышедшего из состояния покоя, и что сопротивление среды, в конце концов, делает движение равномерным, и тело сохраняет это движение.

Сагредо. Подобные опыты кажутся мне действительно весьма доказательными; противник мог бы разве только оспаривать то, что те же явления будут наблюдаться и с телами огромного размера и веса, и утверждать, что пушечное ядро, падающее, например, с Луны или из верхних слоев атмосферы, произведет удар более сильный, нежели ядро, выпущенное из дула орудия.

Сальвиати. Я не сомневаюсь в том, что можно представить много возражений и что не все можно опровергнуть опытным путем. По поводу вашего замечания, можно, однако, заметить следующее: весьма правдоподобно, что тяжелое тело при падении с любой высоты приобретает, достигая земли, такой импульс, какой требуется, чтобы поднять его на ту же высоту; это ясно видно на примере достаточно тяжелого маятника, который, будучи отклонен от отвеса на пятьдесят или шестьдесят градусов, при падении развивает скорость и усилие, достаточные для поднятия его на такую же точно высоту, если не считать той небольшой потери, которая обусловливается сопротивлением воздуха. Чтобы поднять пушечное ядро на такую высоту, при падении с которой на землю оно разовьет такой же импульс, каким оно обладало при выходе из дула орудия, достаточно выстрелить из этого орудия отвесно вверх; при этом можно будет убедиться, что ядро произведет при своем падении такое же действие, как при выстреле с близкого расстояния. Разница в эффекте, думается мне, не будет особенно значительной; замечу, однако, что скорость, которой ядро обладает при выходе из дула орудия, такова, что достигнуть ее при свободном падении, хотя бы и с очень большой высоты, телу будет невозможно вследствие сопротивления воздуха.

Перехожу теперь к другим вопросам, связанным с маятником,— теме довольно сухой по мнению многих, особенно же философов, постоянно занимающихся исследованием самых глубоких проблем природы. Я, однако, не хочу пренебречь этой темой, по примеру Аристотеля, который поражает меня более всего именно тем, что нет, кажется, ни одного достойного внимания явления, мимо которого он прошел бы, не коснувшись его. Поэтому, побуждаемый вашею любознательностью, синьоры, я думаю сообщить вам некоторые свои соображения из области музыки. Эта благородная тема была предметом исследования многих, в том числе и самого Аристотеля, и содержит весьма много интересного. Я надеюсь, что заслужу ваше одобрение, если при помощи простых и убедительных опытов объясню вам чудесные явления из области звуков.  {190} 

Сагредо. Я не только выражу одобрение, но скажу, что этим вы исполните мое особое желание. Обращаясь со всякими музыкальными инструментами и много размышляя о созвучии, я часто поражался и оставался в полном недоумении, почему одно мне нравится и кажется более приятным, нежели другое, а иное, наоборот, не только не нравится, но представляется крайне неприятным. Общеизвестная проблема о двух натянутых, одинаково звучащих струнах, так что, когда звучит одна струна, другая также приходит в колебание и резонирует, для меня также не совсем ясна, равно как и формы созвучий и многое другое.

Сальвиати. Посмотрим, не сможем ли мы извлечь какой-либо пользы из наших маятников для решения и этих вопросов. Что касается первого пункта, а именно, правильно ли, что один и тот же маятник совершает все свои качания — большие, средние и малые — в совершенно одинаковые промежутки времени, то я сошлюсь на данные нашего Академика, который доказал, что тела, спускающиеся по хорде, соответствующей любой дуге, употребляют для этого одинаковый промежуток времени, будь соответствующая дуга в сто восемьдесят градусов (а хорда — диаметром), сто или шестьдесят градусов, два градуса, полградуса или, наконец, четыре минуты величиною, если предположить, что в конечной низшей точке все эти тела достигают горизонтальной плоскости. Далее, тела, опускающиеся по дугам, соответствующим хордам, наклонным к горизонту и не превышающим четверти круга или девяноста градусов, совершают движение, как показывает опыт, также в равные промежутки времени и притом меньшие, нежели при движении по хордам,— явление тем более удивительное, что можно было бы ожидать как раз противоположного. Если начальная и конечная точки движения одинаковы, и прямая линия есть кратчайшее расстояние между ними, то можно было бы думать, что движение, совершающееся по ней, требует наименьшего времени; на самом деле этого нет: наикратчайшее время, а следовательно, и наибыстрейшее движение мы встречаем при движении по дуге, для которой соответствующая прямая является хордою⁵⁵. Что касается, далее, отношения времени качания тел, подвешенных к нитям различной длины, то промежутки времени относятся друг к другу, как корни квадратные из длин маятников, и, обратно, длины маятников находятся в двойной пропорции времен, т. е. относятся друг к другу, как квадраты времен качания. Таким образом, если мы пожелаем, чтобы один маятник качался в два раза медленнее, чем другой, то необходимо длину его сделать в четыре раза большею; подобным же образом, в то время как один маятник совершает одно качание, другой, нить которого будет в девять раз короче, совершит три качания. Отсюда вытекает, что длины маятников обратно пропорциональны квадратам чисел их качаний, совершаемых в течение определенного промежутка времени⁵⁶.  {191} 

Сагредо. Итак, если я хорошо понял, я могу тотчас же вычислить длину веревки, укрепленной на любой огромной высоте, хотя бы точка подвеса ее и не была видима, раз только я могу наблюдать движение ее нижнего конца. Для этого мне понадобится лишь привязать к нижнему концу достаточный груз, который будет качаться взад и вперед, и в то время, как кто-либо из моих друзей будет считать эти качания, самому наблюдать и считать одновременно качания другого маятника, длина которого равняется точно одному локтю. Из чисел качания этих двух маятников за один и тот же промежуток времени я и вычислю искомую длину нити. Положим, что в то время, как мой друг насчитал двадцать качаний длинного маятника, я нашел, что мой маятник, длиною в один локоть, совершил их двести сорок; возведя числа двадцать и двести сорок в квадрат, получим 400 и 57 600, из чего заключим, что длинный маятник содержит 57 600 таких частей, которых в меньшем, длиною в один локть, содержится 400; а разделив 57 600 на 400, получим число 144; таким образом я узнаю, что веревка имеет длину в 144 локтя.

Сальвиати. Вы не ошибетесь и на толщину одного пальца, особенно, если сосчитаете большое число качаний.

Сагредо. Как часто даете вы мне случай, синьор, удивляться богатству и вместе с тем щедрости природы, делая совершенно новые интересные выводы из простых, известных и, скажу, даже тривиальных вещей, выводы, далекие от того, что может представить воображение. Тысячи раз наблюдал я качание, в особенности церковных паникадил, подвешенных, часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающих незначительные движения. Однако самое большее, что я вывел из этих наблюдений, это то, что мнение, будто такие движения поддерживаются окружающей средою — в данном случае воздухом — неосновательно. Мне казалось невозможным, чтобы воздух имел такое правильное движение или чтобы ему нечего было делать, кроме как проводить час за часом в раскачивании с такою размеренностью свешивающихся тяжестей⁵⁷. Но то обстоятельство, что одно и то же тело, свешивающееся с высоты ста локтей, употребляет на прохождение больших и малых дуг при отклонении на девяносто градусов и на один градус одинаковый промежуток времени, ускользало от моего внимания, и до сих пор кажется мне невозможным. Теперь я нахожусь в ожидании услышать, каким образом эти простейшие соотношения могут объяснить музыкальные проблемы, и хотя отчасти удовлетворить мою любознательность.

Сальвиати. Прежде всего необходимо установить, что каждый маятник имеет время качания столь строго определенное и ограниченное, что невозможно заставить его двигаться в период иной, нежели свойственный ему от природы. Если возьмем в руки веревку с привязанным к ней грузом и попробуем увеличить или уменьшить число качаний, то найдем,  {192}  что это напрасный труд. С другой стороны, маятник, находящийся в покое, хотя бы и очень тяжелый, мы можем привести в движение и притом очень заметное простым дуновением, если мы будем приостанавливать дыхание при возвращении маятника и вновь дуть в соответствующий его качанию момент. Если при первом дуновении мы откачнем маятник от отвеса на полдюйма, то вторым дуновением по возвращении маятника назад мы сообщим ему новый толчок и так постепенно увеличим размахи; но дуть необходимо вовремя, а не тогда, когда маятник идет навстречу (в таком случае мы мешали бы, а не помогали бы движению). Многими последовательными толчками мы постепенно сообщим маятнику такой импульс, что нужна будет сила, во много раз большая, нежели дуновение, чтобы его остановить⁵⁸.

Сагредо. Я еще ребенком наблюдал, как один человек подобными многократными вовремя данными толчками заставлял звонить огромный церковный колокол; желая остановить его, четверо и шестеро человек хватались за веревку, но их много раз поднимало кверху, и их совместные усилия были недостаточными, чтобы сразу лишить колокол импульса, сообщенного ему регулярными толчками одного человека.

Сальвиати. Вот пример, который вместе с моей предпосылкой может быть очень подходящим для пояснения удивительных явлений в струнах цитры или струнного кимвала, которые, приходя в движение, заставляют звучать также и другие струны и притом настроенные не только в унисон, но и в октаву и квинту⁵⁹. Струна после удара по ней издает звук, продолжающийся все время, пока длятся ее колебания; эти колебания заставляют дрожать и колебаться прилегающий к ней воздух, сотрясения и колебания которого распространяются на большое пространство и отзываются на всех струнах того же инструмента и других соседних. Каждая струна, настроенная в унисон с первой, будучи склонна совершать колебания в одинаковые с нею промежутки времени, при первом же толчке начинает слегка колебаться; к первому толчку присоединяется второй, третий, двадцатый и т. д., все в соответственные моменты, так что, в конце концов, получается дрожание, подобное дрожанию первой струны; при этом можно ясно видеть расширение ее колебаний до размеров колебания струны, возбуждающей ее движение. Колебания, распространяющиеся по воздуху, затрагивают и приводят в движение не только струны, но и вообще все иные тела, способные колебаться и вибрировать в промежутки времени, одинаковые со звучащей струной. Если мы прикрепим к краю инструмента различные щетинки или другие тела из весьма гибкого вещества, то, ударяя по струнам инструмента, заметим, что некоторые из них будут приходить в движение, когда мы ударяем по струне, совершающей колебания в одинаковое с ними время, другие будут оставаться при этом в покое, первые же не будут колебаться при звуке  {193}  иных струн. Если мы будем сильно водить смычком по толстой струне скрипки, приблизив к ней кубок из тонкого гладкого стекла, то, когда звучание струны будет в унисон со звучанием кубка, последний задрожит и явственно зазвучит. Распространение колебаний в среде, окружающей звучащее тело, можно ясно наблюдать, заставив звучать кубок, частью налитый водою, водя концом пальца по его краю: содержащаяся в кубке вода покроется правильными волнами. Это явление наблюдается еще отчетливее, если поставить ножку кубка на дно какого-нибудь достаточно широкого сосуда, наполнив последний водою почти до краев кубка; заставляя трением пальца звучать кубок, мы увидим, как правильные волны побегут с большой быстротой по воде и соберутся на значительном расстоянии от кубка; заставляя звучать указанным способом достаточно большой кубок почти полный воды, я часто видел, как сперва образовывались с совершенной правильностью волны, а когда иной раз звук стекла внезапно повышался на октаву, в тот же момент каждая из волн распадалась на две — явление, ясно указывающее, что форма октавы является двойной.

Сагредо. Подобное же приходилось не раз наблюдать и мне при занятиях музыкой как для удовольствия, так и для пользы. Я долгое время находился в недоумении по поводу формы созвучий, так как мне казались недостаточными те положения и объяснения, которые обычно даются авторами сочинений о музыке. Они говорят, что диапазон или октава стоит в отношении двойном, а диапента или, как мы говорим, квинта — в отношении полуторном к основному тону и т. д.; действительно, если натянутая на монохорде струна дает основной тон, то, заставляя звучать половину струны, разделив ее пополам посредством поставленной в середине дощечки, мы получим октаву; если же мы поставим дощечку на одну треть до конца струны и, придержав меньшую часть, заставим звучать часть из двух третей струны, то получим квинту. Поэтому говорят, что в октаве созвучие состоит в отношении двух к одному, а в квинте—в отношении трех к двум. Скажу, что это рассуждение казалось мне недостаточным для того, чтобы утверждать, будто двойное и полуторное отношения являются естественными формами для диапазона и диапенты, и вот по каким основаниям. Мы можем повысить тон струны тремя способами: укорачиванием, вытягиванием или, скажем, большим натяжением и, наконец, утончением. Сохраняя одну и ту же толщину и степень натяжения, мы должны, если хотим получить октаву, разделить ее подпоркою пополам и сперва заставить звучать всю струну, а затем половину ее. Но если, сохраняя ту же толщину и длину, мы захотим получить октаву посредством большего натяжения струны, то недостаточно будет тянуть ее силою вдвое большей; для этого понадобится сила в четыре раза большая, так что если струна была первоначально натянута грузом, например в один фунт, то, чтобы получить октаву, необходимо будет подвесить груз в  {194}  четыре фунта. Наконец, чтобы получить октаву, сохраняя ту же длину и степень натяжения, надо взять более тонкую струну, которая составит по толщине четвертую часть первоначальной толстой струны. То, что я говорю здесь об октаве, т. е. о зависимости ее от степени натяжения и от толщины струны и об отношении ее как двух к одному, выводимом из отношения длины струн, одинаково применимо и ко всяким другим музыкальным интервалам. Поэтому, если отношение, найденное на основании сравнения длины, равно полутора, поскольку для получения квинты мы заставляем звучать сначала всю, а затем две трети струны, то для того чтобы получить такое созвучие посредством большего натяжения или утончения струны, отношение трех к двум следует возвести в квадрат, что дает отношение девяти к четырем; таким образом, если в первом случае первоначальный груз, натягивающий струну, равнялся четырем фунтам, то придется взять новый груз не в шесть, а в девять фунтов; во втором же случае придется подобрать струны так, чтобы толщина одной из них относилась к толщине другой, как девять к четырем. После таких точных опытов мне показалось, что нет никаких оснований для утверждения почтенных философов об октаве, будто она имеет форму отношения одного к двум, а не одного к четырем; равным образом и квинта скорее соответствует отношению четырех к девяти, чем двух к трем. Так как сосчитать колебания струны, которая, давая звук, вибрирует с большою быстротою, совершенно невозможно, то я долго оставался в сомнении, действительно ли верно, что струна, звучащая на октаву выше, делает за то же время в два раза больше колебаний, чем струна, дающая основной более низкий тон, пока опыт с дрожащим и звучащим кубком и постоянными водяными волнами не показал мне, что всякий раз, как звук повышается на октаву, тотчас же рождаются новые меньшие волны, которые с величайшей точностью и правильностью разбивают каждую из прежних волн на двое.

Сальвиати. Это прекрасный опыт, дающий возможность различать одну от другой волны, порождаемые дрожанием звучащего тела; это— те же волны, которые распространяясь в воздухе, щекочут барабанную перепонку в нашем ухе и это в нашей душе становится звуком. Так как явление, наблюдаемое с водою, продолжается только до тех пор, пока мы продолжаем водить по кубку пальцем, да и в этот период времени оно непостоянно, ибо волны попеременно и рождаются и расходятся, то, конечно, вы согласитесь, что было бы хорошо, если бы можно было заставить колебания длиться продолжительное время, скажем, месяцы и годы; это дало бы нам возможность их измерять и удобно считать.

Сагредо. Конечно, я бы весьма высоко оценил такое изобретение.

Сальвиати. Изобретение это было делом случая; мне надо было только подметить и оценить должным образом попутное явление, имевшее  {195}  место в довольно несовершенной обстановке. Я скоблил острым железным долотом пластинку из латуни, чтобы удалить с нее пятна, и при быстром многократном движении долота раз или два услышал ясный и чистый звук; когда я посмотрел на пластинку, то увидел длинные ряды тончайших пылинок, расположенных параллельно и на совершенно одинаковом расстоянии друг от друга. Возобновляя и повторяя соскабливание много и много раз, я заметил, что полосы на пластинке появлялись только в тех случаях, когда повторялся звук; когда же движение долота происходило беззвучно, то не было никакого намека и на рисунок. Я повторял опыт много раз, проводя долотом то с большей, то с меньшей скоростью и получая звук то более высокого, то более низкого тона; я заметил, что при более высоких тонах штрихи получались более сближенными, а при низких — более редкими; в тех случаях, когда в один и тот же раз я проводил долотом сначала с меньшей, а потом, к концу, с большей скоростью и получал звук, постепенно повышающийся в тоне, штрихи получались все более сближенными, но с самой правильной постепенностью и сохраняя постоянную параллельность; кроме того, при соскабливании, порождающем звук, я чувствовал, как дрожало долото, зажатое в моем кулаке, и по руке пробегала как бы дрожь. В общем, в данном случае на примере железа наблюдается то же самое, что происходит, когда мы говорим сначала шепотом, а затем издаем ясный тон, потому что, выпуская дыхание беззвучно, мы не чувствуем в горле и во рту почти никакого движения по сравнению с тем сильным сотрясением, которое испытывает гортань, когда мы говорим полным голосом, особенно при глубоких низких тонах. Я неоднократно пробовал подобрать на струнах кимвала звуки, соответствующие тем, которые получались указанным образом. Два из наиболее разнящихся по тону звука отличались друг от друга ровно на квинту; когда я измерил штрихи и расстояние между ними в том и другом случае, то я нашел, что пространство, содержавшее сорок пять штрихов в одном случае, имело их только тридцать в другом, что действительно соответствует форме, приписываемой диапенте. Прежде чем продолжать далее, я хочу обратить внимание ваше на то, что один из трех способов повысить тон, о котором вы говорили, а именно, утончение струны, правильнее относить к изменению веса последней. При одинаковом материале пропорция сохраняется, конечно, одинаковой, так что из двух струн, сделанных из кишок, одна струна должна быть в четыре раза толще другой, чтобы разница в тоне равнялась октаве; также и в случае латунных струн — одна из них должна быть вчетверо толще другой. Но если я хочу получить октаву из струн — одной латунной, а другой жильной,— то нет надобности, чтобы одна была в четыре раза толще другой; необходимо только, чтобы одна была в четыре раза тяжелее другой. Таким образом, что касается толщины, то металлическая струна будет по сравнению  {196}  с жильной струной, звучащей на октаву выше, не в четыре раза толще последней, а приблизительно во столько же раз тоньше; но вес первой будет в четыре раза больше веса второй. Отсюда же происходит и то, что если мы возьмем два инструмента со струнами совершенно одинаковой длины, толщины и степени натяжения, но в одном случае сделанными из золота, а в другом из латуни, то тон первого будет ниже, чем второго приблизительно на квинту, так как золото почти в два раза тяжелее латуни. Отсюда можно видеть, что сопротивление скорости движения оказывает по преимуществу вес тела, а не толщина, обратно тому, чего можно было бы ожидать по первому взгляду; казалось бы естественным, что скорость должна быть умеряема сопротивлением среды в большей степени, если последняя должна уступать движению тела толстого и более легкого, чем тела тонкого и тяжелого; в действительности же в данном случае имеет место как раз обратное. Но возвращаясь к первому положению, скажу, что ближайшая и непосредственная причина формы музыкальных интервалов лежит не в длине струны и не в толщине или степени натяжения: она заключается в отношении между числами колебаний и ударов воздушных волн, доходящих до барабанной перепонки нашего уха и заставляющих ее дрожать с соответственной скоростью. Установив это, мы можем с большою уверенностью найти основание тому, почему при многих звуках, различных по тону, некоторые созвучия воспринимаются нами с удовольствием, иные нам менее приятны и третьи, наконец, производят крайне неприятное ощущение, т. е. найти основание для более или менее совершенных консонансов и диссонансов. Неприятное впечатление от последних происходит, думается мне, от несогласованности колебаний, производимых двумя различными тонами и беспорядочно поражающих наш слух; особенно резким является диссонанс в том случае, когда числа колебаний несоизмеримы, например, если при двух в унисон настроенных струнах заставить звучать струну и часть, относящуюся ко всей струне, как сторона квадрата к его диагонали,— диссонанс, подобный тритонусу или полудиапенте. Консонансами, т. е. созвучиями, воспринимаемыми с удовольствием, являются два таких тона, которые производят колебания, ударяющиеся о барабанную перепонку с известною правильностью; здесь, прежде всего, необходимо, чтобы числа колебаний, совершаемых звуками в одинаковый промежуток времени, были соизмеримыми и чтобы, таким образом, хрящ барабанной перепонки не находился в постоянном мучительном состоянии движения двумя различными способами, в зависимости от несогласованных друг с другом ударов. Таким образом, первым и самым совершенным созвучием является октава: на каждый удар, производимый на ухо звуком более низкого тона, в ней приходятся два удара более высокого тона, так что удары обоих тонов то совпадают, то расходятся, и из общего числа ударов половина является  {197}  совпадающей; при звуках же струн, настроенных в унисон, совпадают все удары, т. е. звучит как бы одна только струна, и созвучия не получается. Приятно звучащая квинта дает на каждые два колебания низкой струны три колебания струны более высокого тона, откуда следует, что из числа всех колебаний, производимых более высоким тоном, одна треть совпадает с колебаниями более низкого тона, так что между каждою парой совпадающих колебаний помещаются два колебания одиночных; в диатоссероне, или кварте, число таких одиночных промежуточных колебаний равно трем. В секунде или тоне полутораоктавном из девяти колебаний высокого тона только одно совпадает с колебаниями низкого тона, все же остальные являются несовпадающими, и от ударов их о барабанную перепонку получается уже впечатление диссонанса.

Симпличио. Мне хотелось бы, чтобы вы дали более подробные объяснения этого вопроса.

Сальвиати. Пусть линия АВ представляет длину и распространение одного колебания струны более толстой, а линия CD — струны более тонкой, дающей с первой созвучие октавы. Разделим теперь линию АВ пополам в точке Е. Ясно, что если движение начинается от точек А и C, то пока колебание более высокого тона дойдет до конца D, колебание низкого тона достигнет только середины пути Е; так как эта последняя не является конечной точкой движения, то в ней не получается того толчка, который имеет место в точке D. Пока второе колебание возвращается из D в C, первое доходит из Е в В, и тогда оба толчка в точках В и С совместно воспринимаются нашим ухом. То же самое повторяется в целом ряде последующих колебаний, так что толчки от колебаний C, D попеременно то совпадают, то не совпадают с толчками от колебаний А, В. Конечные толчки последней всегда сопровождаются толчками от С, D и притом всегда соответствующими одной и той же точке; ибо предполагая, что А и С дают одновременный толчок, найдем, что в то время как первое колебание пройдет от А до В, второе пройдет от С до D и снова возвратится в С, так что толчки в С и В совпадут; пока колебание от В будет возвращаться обратно в А, колебание от С дойдет до О и успеет снова возвратиться в C, так что толчки в А и С опять будут одновременными. Предположим теперь, что колебания АВ и CD будут таковы, что образуют диапенту, т. е. что продолжительность их имеет полуторное отношение. Разделим длину колебания низкого тона АВ на три части точками Е и О и допустим, что движение начинается одновременно от точек А и С. Ясно, что когда в конечной точке D произойдет толчок, колебание АВ распространится только до точки О; таким образом, наше ухо воспримет только один толчок в точке D. Пока вторая  {198}  волна будет идти обратно от В к С, первая дойдет из О до конца В, пойдет обратно и достигнет точки О, дав один толчок в В — отдельный и через промежуток времени, не равный первому (обстоятельство, на которое обращаю ваше внимание); действительно, раз мы приняли, что первоначальное движение началось от точек А и С одновременно, то толчок в конечной точке D последует через столько времени, сколько необходимо, чтобы пройти расстояние CD или АО; следующий же толчок в точке В будет иметь место через промежуток времени вдвое более короткий, ибо расстояние ОВ составляет лишь половину ранее указанных. При дальнейшем движении одно колебание доходит обратно из О до А, в то время как другое, выйдя из C, достигает D; таким образом, толчки в точках А и D совпадают и происходят одновременно. За этим следуют другие периоды, подобные разобранному, т. е. с двумя отдельными толчками от колебаний высокого тона и одним заключенным между ними отдельным толчком от колебаний низкого тона. Если мы представим себе теперь время разделенным на малые равные промежутки и предположим, что в течение двух первых таких промежутков движение колебаний происходит от А и С до О и D и в D получается толчок, то в течение третьего и четвертого промежутков произойдет обратное движение от D до С, где получится новый толчок, и одновременно движение от О до В и обратно от В до О, с толчком в В; наконец, в течение пятого и шестого промежутков движение от О и С дойдет одновременно до А и В, где оба толчка совпадут. Таким образом, сотрясения, воспринимаемые нашей барабанной перепонкою, располагаются в таком порядке, что если начальные моменты колебаний совпадают, то через две единицы времени следует одиночный толчок, по истечении третьей — второй одиночный толчок, такой же толчок следует по истечении четвертой единицы, а затем, спустя еще две единицы, т. е. по истечении шести единиц от начала, следуют одновременно два совпадающих толчка. Этим заканчивается период или, так сказать, неправильность, и в последующем тот же период повторяется снова и снова.

Сагредо. Я не могу более молчать и должен выразить восхищение, которое я испытываю, видя, как хорошо и основательно объясняются все те явления, которые столь долгое время держали меня в слепоте и мраке. Теперь я понимаю, почему два тона, звучащих в унисон, ничем не отличаются от одного звука; понимаю, почему октава является лучшим созвучием, но настолько сходным с унисоном, что она как бы подражает последнему; сходство и различие заключаются в том, что все колебания струн, звучащих в унисон, всегда и постоянно совпадают, тогда как в октаве все колебания более низкого тона сопровождаются колебаниями высокого тона, дающими, кроме того, через равные промежутки времени одиночные толчки, ничему не мешающие; вот почему это созвучие  {199}  представляется таким нежным, но звучащим без особого огня. Квинта же, со свойственными ей контртемпами и промежутками между каждой парой совпадающих толчков, заполненными двумя толчками высокого тона и одним толчком низкого тона, которые все три следуют один за другим через одинаковые интервалы времени, равные половине интервала от двойного совпадающего толчка до первого одиночного толчка высокого тона, производит весьма приятное щекотание слуховой перепонки, при котором нежность и острота умеряют друг друга и кажется, что одновременно получаешь сладостный поцелуй и легкий укол.

Сальвиати. Теперь, синьоры, видя, что вы столь высоко цените мои небольшие сообщения, я считаю необходимым показать вам, каким образом можно видеть и наблюдать глазом ту же игру, которую слышит наше ухо. Подвесьте свинцовые шарики или другие подобные им тяжелые тела на трех нитях разной длины, подобрав последние таким образом, чтобы в то время как самая длинная из них совершала два качания, самая короткая делала бы их четыре, а средняя — три; это будет иметь место, если придать наибольшей нити длину в шестнадцать каких-либо мер, средней — в девять и самой короткой — в четыре. Выведенные из отвесного положения и отпущенные одновременно маятники начнут качаться, причем произойдет как бы беспорядочное пересечение нитей, встречающихся в разных положениях; однако при каждом четвертом качании длинного маятника все три маятника будут совпадать и, начиная одновременно движение, будут начинать и новый период. Это смешение качаний соответствует тому смешению колебаний, которое воспринимается слухом от звуков трех струн, дающих октаву и квинту. Если мы определим подобным же образом длину других нитей сообразно с определенными интервалами, дающими музыкальное созвучие, то получим иное смещение и пересечение нитей, но всегда такое, при котором в известное время через известное число качаний последние совпадают, и маятники (будь их три или четыре) вновь одновременно начинают свое периодическое движение. Если же числа качаний двух или более маятников несоизмеримы, так что последние не кончают одновременно движения через определенное число качаний или же если они и соизмеримы, но совпадают и начинают новый период только через большой промежуток времени и после весьма большого числа колебаний, то глаз окончательно теряется в неправильном беспорядочном движении так же, как и ухо, когда оно мучительно воспринимает сотрясения воздуха, ударяющиеся о барабанную перепонку без всякой правильности и порядка⁶⁰.

Однако, синьоры, куда же завели нас на столько часов различные проблемы и непредвиденные отступления? Уже вечер, а о том предмете, которым мы первоначально предполагали заняться, мы сказали очень мало или, вернее, не сказали почти ничего. Мы настолько уклонились от  {200}  нашего пути, что я с трудом вспоминаю его начало и те первоначальные положения, которые были приняты нами как гипотезы и основания для будущих наших рассуждений.

Сагредо. В таком случае покончим на сегодня наши рассуждения и дадим возможность уму воспользоваться отдыхом и ночным покоем, для того чтобы завтра (если только вы, синьор, на это согласны) возвратиться к обсуждению главных вопросов.

Сальвиати. Я не премину быть здесь завтра в том же часу, как и сегодня, чтобы услужить и угодить вам.

Конец первого дня

ДЕНЬ ВТОРОЙ

С

агредо. Пока синьор Симпличио и я ожидали вашего прихода, мы старались возобновить в памяти наши последние рассуждения, которые, как основа и предпосылка тех предложений, что вы намеревались доказать, относились к сопротивлению твердых тел разрушению, — сопротивлению, зависящему от чего-то связывающего, что держит части тела настолько примкнутыми и соединенными друг с другом, что они уступают и разделяются только при мощном растяжении. Затем мы начали искать, какова могла бы быть причина связности, в некоторых телах чрезвычайно большой, и предположили, что главную роль здесь играет пустота; это дало повод к таким отступлениям, что в течение всего дня мы были заняты рассуждениями, далекими от первоначальной темы, которая заключалась, как я уже упомянул, в рассмотрении сопротивления, оказываемого телами излому.

Сальвиати. Все это я хорошо помню. Возвращаясь к началу нити наших рассуждений, скажу, что чем бы ни вызывалось сопротивление тел мощному растяжению, стремящемуся разломать их, несомненно, что такое сопротивление имеется налицо; сопротивление это очень велико в отношении силы, растягивающей их вдоль, и значительно меньше в отношении силы, действующей поперечно. Таким образом, например, стальной или стеклянный стержень может выдержать груз в тысячу фунтов,  {202}  если последний подвешен так, что растягивает его в длину, и в то же время, будучи закреплен одним концом в стене, сломается от прикрепления к другому концу груза всего в пять — десять фунтов. О сопротивлении второго рода мы и будем теперь беседовать, стараясь отыскать, в каком отношении оно находится у подобных между собою и несходных друг с другом призм и цилиндров из одного и того же вещества, но имеющих различную длину и толщину. При этих рассуждениях я буду считать известным то положение, которое доказывается в механике относительно так называемого рычага, а именно, что при употреблении рычага сила и сопротивление обратно пропорциональны их расстояниям от точки опоры.

Симпличио. Это предположение было доказано Аристотелем в его «Механике» ранее всех других.

Сальвиати. Предоставим ему право первенства по времени; но что касается убедительности доказательства, то мне кажется, что Архимеда мы должны поставить выше: у него из одного положения, доказанного им в работе «О равновесии плоских фигур...», вытекает не только закон рычага, но и большая часть других предложений, касающихся механических инструментов⁰¹.

Сагредо. Но если этот закон является основанием для всего того, что вы собираетесь нам доказать, то было бы нелишним привести полное и точное доказательство его, которое и нам послужит введением, если оно не отнимет у нас много времени.

Сальвиати. Если мне предстоит это сделать, то для того чтобы ввести вас в курс всего последующего, будет лучше идти, как я полагаю, несколько иным путем, чем Архимед, и принять за основное то положение, что равные грузы, действующие на равные плечи весов, остаются в равновесии (принцип, положенный в основание также и Архимедом), а затем показать правильность того, что различные грузы находятся в равновесии в случае плеч разной длины, если только длины эти находятся между собою в отношении, обратном отношению грузов, и что, таким образом, один и тот же закон проявляется как в случае равновесия равных грузов на равноплечих весах, так и в случае равновесия различных грузов, если только плечи весов имеют отношение, обратное отношению грузов.

Для более ясного представления сказанного начертим призму или цилиндр АВ, подвешенный за концы на двух нитях НА и IB к стержню HI. Ясно, что если я подвешу целое в середине С коромысла HI, то призма АВ, согласно принятому нами принципу, останется в равновесии, так как половина ее веса останется по одну сторону, а половина — по другую сторону от точки С. Представим себе теперь, что призма разделена плоскостью по линии D на две неравных части, из которых DA пусть будет большей, a DB — меньшей; чтобы и после этого разделения части призмы  {203}  оставались в таком же положении по отношению к линии HI, как и раньше, протянем новую нить ЕВ, которая, будучи прикреплена в точке Е, поддержит части призмы АD и DВ. Нельзя сомневаться, что и в этом случае, благодаря отсутствию какого-либо местного перемещения призмы относительно коромысла HI, таковая по-прежнему останется в равновесии. Но то же самое положение будет иметь место и в том случае, если часть призмы, поддерживаемая двумя нитями АН и DE, будет подвешена посредине к одной нити GL, а другая часть призмы — DВ — будет подвешена также посредине к одной нити FM. Удалим теперь нити НА, ED и IB и оставим только две — GL и FM; равновесие коромысла, имеющего точку опоры в С, сохранится по-прежнему. Но если вы теперь всмотритесь, то увидите, что мы имеем два тяжелых тела АВ и DВ, подвешенных к концам G и F коромысла GF, которое находится в равновесии, имея точку опоры в С; расстояние от этой точки до точки подвеса груза AD будет равно линии CG и до точки подвеса меньшего груза DB — линии CF. Теперь остается только доказать, что эти расстояния имеют такое же отношение, как и грузы, только взятое обратно, т. е. что GC относится к CF, как призма DB к призме ВА, что мы и сделаем следующим образом. Так как линия GE есть половина линии ЕН, а линия EF — половина EI, то вся линия GF будет равна половине линии HI, т. е. равна CI; вычитая общую обеим линиям часть CF, получим равные остатки: в первом случае — GC, во втором — FI, равный FE; прибавляя к обоим остаткам линию СЕ, получаем две равных линии GE и CF. Следовательно, как GE относится к EF, так же относится и FC к CG; далее, как GE относится к EF, также относятся и вдвое большие длины, т. е. линии НЕ и EI или призма AD к призме DB; отсюда, производя перестановку членов, получаем пропорцию: расстояние GC относится к расстоянию CF, как груз BD к грузу ВА, что нам и требовалось доказать.

Полагаю, что вы не встречаете затруднений в признании того, что обе призмы AD и DВ остаются в равновесии около точки опоры С, поскольку одна половина веса всего тела АВ располагается по одну сторону, а другая половина — по другую сторону от C, и мы можем представить их себе как равные грузы, расположенные на равном расстоянии от точки опоры. Превратим ли мы теперь обе призмы АВ и ВВ в два куба или два шара или в какие-либо иные фигуры (сохраняя неизменно точки подвеса в G и F), равновесие около точки С сохранится; не думаю, чтобы нашелся кто-либо,  {204}  сомневающийся в том очевидном факте, что форма не изменяет веса тел, если последние содержат одно и то же количество материи. Но отсюда мы можем вывести общее заключение, что два груза, расположенные от точки опоры на расстояниях, обратно пропорциональных их весу, находятся в равновесии².

Установив этот принцип, мы должны подумать, прежде чем переходить к дальнейшему, как можно представить себе все эти силы, сопротивления, моменты, фигуры и т. д. отвлеченно и отдельно от материи, а с другой стороны — конкретно и в связи с материей; в самом деле, свойства фигур, рассматриваемых в отвлечении от материи, претерпевают некоторые изменения от придания последним материи, а следовательно, и тяжести. Если, например, мы представим себе рычаг ВА с подпоркою в точке С расположенным таким образом, чтобы посредством него можно было поднять большой камень D, то на основании приведенного выше принципа ясно, что сила, приложенная к концу рычага В, будет достаточна для уравновешивания сопротивления камня D в том случае, если момент ее будет относиться к моменту тяжести D так же, как расстояние АС к расстоянию СВ. Это будет справедливо, если не принимать во внимание никаких других моментов, кроме моментов простой силы в В и сопротивления в D, как если бы рычаг был нематериальным и не имеющим веса; но если мы захотим учесть и вес самого инструмента, т. е. рычага, который сделан из дерева или, что еще вероятнее, из железа, то ясно, что к силе В прибавится вес рычага, который изменит отношение, и для последнего потребуется уже иное выражение. Поэтому, прежде чем идти далее, необходимо условиться относительно разграничения этих двух способов рассмотрения явления. Мы будем говорить о чем-то, взятом абсолютно, когда будем рассматривать инструменты абстрактно и независимо от веса составляющего их вещества; прибавляя затем к простой абсолютной фигуре материю со свойственным ей весом, мы будем называть фигуру, связанную с материей, моментом или сложной силой³.

Сагредо. Я принужден отступить от первоначального намерения не давать повода к отступлениям; но я не в состоянии следить внимательна за дальнейшим, если у меня остается не рассеянным какое-либо возникшее сомнение. В данном случае последнее таково: мне кажется, что вы сравниваете силу, приложенную в В, с весом всего камня D, в то время как часть последнего, и, вероятно, большая, покоится на горизонтальной плоскости; таким образом . . .  {205} 

Сальвиати. Прекрасно понял. Вы совершенно правы; в ответ вам замечу только, что я говорил не о всем весе камня, а лишь о моменте, который он имеет и которым он действует на точку А — конец рычага ВА,— который всегда меньше общего веса камня и меняется в зависимости от формы камня и большей или меньшей степени его поднятия.

Сагредо. Хорошо, но теперь у меня рождается желание, чтобы для полноты вопроса мне был указан, если это возможно, способ, которым можно было бы определить, какая часть общего веса поддерживается опорной поверхностью и какая оказывает действие на конец рычага А.

Сальвиати. Я не откажусь дать вам объяснение, которое можно сделать в немногих словах. Представьте себе, что тело, имеющее центр тяжести в А, лежит на горизонтальной плоскости концом В, другой же конец его поддерживается посредством рычага CG, имеющего точку опоры в N, некоторой силой, приложенной в точке G. Из центра А и точки С опустим на плоскость горизонта перпендикуляры АО и CF. Утверждаю, что отношение момента всего веса тела к моменту силы, приложенной в G, равно составному отношению расстояния GN к расстоянию NC и расстояния FB к расстоянию ВО. Пусть отношение линии FB к ВО равно отношению NC к некоторой линии X; так как весь вес А поддерживается двумя силами, приложенными в точках В и C, то силы в точках В и С относятся одна к другой так, как расстояние FO к ОВ. Соединяя силы, действующие в точках В и С в одну, т. е. получая момент всего веса А, находим, что последний относится к силе, приложенной в С, как линия FB к линии ВО, т. е. как NC к X; но момент силы, приложенной в С, относится к моменту силы, приложенной в G, как расстояние GN к расстоянию NC; отсюда следует, обратно, что весь вес А относится к моменту силы, действующей в G, как GN к X. Но отношение GN к X составлено из отношений GN к NC и NC к X или FB к ВО; следовательно, отношение общего веса А к силе, его поддерживающей в точке G, равно составному отношению GN к NC и FB к ВО, что нам и требовалось доказать⁴.

Возвращаюсь теперь к нашей первоначальной задаче. После только что доказанного нетрудно будет понять причину того, что твердые цилиндры или призмы из стекла, стали, дерева или иного ломкого материала, будучи подвешены вертикально, выдерживают весьма большой груз, в то время как при горизонтальном положении (как я уже упоминал выше) они могут быть сломаны малым грузом и тем меньшим, чем более длина цилиндра или призмы превосходит их толщину. Представим себе призму ABCD, вделанную в стену своей частью АВ, на другой конец которой действует сила груза Е (предполагаю, что стена возведена отвесно  {206}  и что призма вделана в стену под прямым углом). Ясно, что если призма должна сломаться, то это произойдет в В, где граница стены служит точкою опоры, а ВС представляет одну часть рычага, на которую действует сила; толщина тела ВА есть другая часть рычага, на которую действует сопротивление, обусловливаемое сцеплением частиц тела BD с теми частицами его, которые находятся в стене. На основании доказанного ранее момент силы, действующей в С, и момент сопротивления, обусловливаемый толщиною призмы, т. е. сцеплением основания призмы ВА со смежною с ним частью, имеют то же отношение, что и длина СВ к половине ВА; поэтому абсолютное сопротивление призмы BD разрыву (под каковым мы подразумеваем сопротивление действию силы в продольном направлении, ибо тогда каково движение движущего, таково движение движимого) так относится к сопротивлению разрыву посредством рычага

ВС, как длина ВС к половине толщины призмы АВ или к радиусу основания, если взят цилиндр⁵. Таково наше первое положение. Заметьте себе, что сказанное правильно лишь при условии, что мы не принимаем во внимание собственного веса тела BD, считая последнее невесомым. Если мы пожелаем принять в расчет и его вес, действующий одновременно с грузом Е, то мы должны будем прибавить к весу груза Е половину веса тела BD; таким образом, если, например, тело BD весит два фунта, а груз Е  {207}  десять фунтов, то необходимо будет принять, что в Е действует сила, равная одиннадцати фунтам.

Симпличио. А почему же не двенадцати фунтам?

Сальвиати. Груз Е, любезный синьор Симпличио, висящий на конце С, действует в отношении рычага ВС всем своим моментом, равным десяти фунтам; если бы в той же точке действовал и вес тела BD, то мы имели бы момент, равный еще двум фунтам; но, как вы видите, частицы тела распределены равномерно на всем протяжении ВС, причем, те из них, которые расположены ближе к концу В, действуют с меньшей силою, чем более отдаленные; уравнивая все эти силы, найдем, что они могут быть заменены одной силой, равной общему весу призмы, приложенному в центре ее тяжести, расположенном в середине рычага ВС; но груз, действующий на конец С, имеет момент вдвое больший, чем тот груз, который действует, будучи подвешен посредине; следовательно, только половина веса призмы должна быть прибавлена к весу Е, если мы рассматриваем моменты обеих сил, относя их действие к точке С.

Симпличио. Теперь понимаю. Кроме того, если я не ошибаюсь, действие обоих грузов BD и Е, приложенных, как указано, будет одинаково с моментом всего веса BD и двойного груза Е, если бы они были приложены в середине рычага ВС.

Сальвиати. Совершенно верно, и это необходимо хорошенько запомнить. Теперь мы можем немедленно определить, в какой степени стержень или еще лучше призма, более широкая нежели толстая, может оказать противодействие излому в зависимости от того, в каком направлении мы будем на нее действовать, по ширине или толщине. Для примера возьмем линейку ad, ширина которой будет ас, а толщина, значительно меньшая,— cb. Спрашивается, почему, если положить линейку на ребро, как изображено на фигуре первой, то она окажет сопротивление значительному грузу Т, положенная же плашмя, как изображено на фигуре второй, не сможет выдержать и веса X, значительно меньшего, чем Т? Это станет понятным, если мы обратим внимание, что опора в одном случае располагается по линии be, а в другом — по линии са, расстояние же силы в том и другом случае одинаково и равно длине bd. В первом случае расстояние сопротивления от опоры, равное половине линии са, значительно больше, чем во втором, где оно равно половине be; поэтому груз Т должен во столько  {208}  раз превосходить груз X, во сколько раз половина ширины са превосходит половину толщины cb; последние, т. е. половина са и соответственно половина cb, представляют собою плечи рычагов одного и того же сопротивления, обусловливаемого волокнами всего основания ab. Отсюда заключаем, что одна и та же линейка или призма, имеющая большую ширину, нежели толщину, оказывает большее сопротивление излому, будучи положена на ребро, нежели плашмя, в соответствии с отношением ее ширины к толщине.

Теперь приступим к рассмотрению, в какой мере увеличивается момент собственного веса по сравнению с собственным сопротивлением излому призмы или цилиндра, когда последние, будучи расположены параллельно горизонту, увеличиваются в длину; при этом мы найдем, что момент этот возрастает пропорционально квадрату длины. Для доказательства этого представим себе призму или цилиндр AD прочно вделанным в

стену концом А параллельно горизонту, а затем предположим, что он удлинился до Е, так что к нему прибавилась часть BE. Ясно, что самое удлинение рычага АВ до С, взятое абсолютно, увеличивает момент силы, действующей на сопротивление излому в точке А, в отношении СА к ВА; но прибавление веса тела BE к весу тела АВ увеличивает, кроме того, момент действия веса в том же отношении, в каком призма АЕ находится к  {209}  призме AD, каковое отношение одинаково с отношением длины АС к длине АВ. Теперь ясно, что сложный момент, получающийся от совокупности обоих приращений — длины и тяжести, будет пропорционален квадрату той или другой. Отсюда заключаем, что моменты сил призм и цилиндров одинаковой толщины, но разной длины, относятся друг к другу, как квадраты длины.

Покажем теперь, во-вторых, в какой пропорции возрастает сопротивление излому призм или цилиндров одинаковой длины при возрастании их толщины. Утверждаю: в призмах или цилиндрах одинаковой длины, но разной толщины, сопротивление излому возрастает как куб отношения толщин или диаметров их оснований.

Пусть имеются два цилиндра А и В, длины которых DG и FH равны, основания же различны и равны кругам с диаметрами CD и EF; утверждаю, что отношение сопротивления излому цилиндра В к такому же сопротивлению цилиндра А будет равно кубу отношения диаметра РЕ к диаметру DC. Рассматривая простое и абсолютное сопротивление оснований EF и CD разрыву под действием растягивающей силы, найдем, без сомнения, что сопротивление цилиндра В во столько раз превосходит сопротивление цилиндра А, во сколько раз круг EF больше круга CD, потому что во столько же раз многочисленнее и волокна, нити или другие элементы, связывающие части твердого тела. Если мы примем теперь во внимание, что силы, действующие поперечно, приложены к двум рычагам, плечи которых или расстояния от действующих сил равны линиям DG и FH, что точки опоры их находятся в D и F, другие же плечи их или расстояния, на которых действуют сопротивления, суть радиусы кругов DC и ЕР, поскольку сопротивление волокон, распространенных по всей площади кругов, может быть отнесено к центрам последних, если, говорю я, мы примем во внимание действие таких рычагов, то найдем, что в центре основания EF сопротивление силе, приложенной в Н, будет во столько раз больше сопротивления основания CD силе, приложенной в G (а силы, приложенные в точках D и H, действуют на равные плечи DG и FH), во сколько раз FE больше DC. Таким образом, отношение сопротивления излому цилиндра В к сопротивлению цилиндра А равно составному отношению площадей кругов EF и DC и их радиусов или, скажем, диаметров; но отношение кругов равно двойному отношению их диаметров, откуда следует, что отношение сопротивлений, составляющееся из этих отношений, является тройным отношением, что нам и требовалось доказать. Но так как отношение кубов равно тройному отношению их сторон, то мы  {210}  можем заключить, что сопротивление цилиндров одинаковой длины пропорционально кубам их диаметров.

Из только что доказанного можно далее вывести, что отношение сопротивлений призм и цилиндров одинаковой длины равняется полуторной степени отношения их объемов. Это следует из того, что призмы и цилиндры одинаковой высоты относятся между собою, как их основания, т. е. как квадраты сторон или диаметров основания; отношение же сопротивлений (как только что было показано) равно отношению кубов тех же сторон или диаметров. Отсюда отношение сопротивлений равняется полуторной степени отношения объемов этих тел или, что то же самое, их весов⁶.

Симпличио. Прежде чем идти далее, прошу вас разъяснить некоторое мое недоумение. Неясно, почему мы до сих пор не принимаем в соображение сопротивления особого рода, уменьшающегося, по моему мнению, в телах по мере их удлинения и притом не только при поперечном усилии, но и при продольном. Ведь мы находим на деле, что длинный канат менее способен выдержать большой груз, нежели короткий; и я думаю, что деревянный или железный брус может выдержать большую тяжесть, если он короток, нежели если он имеет значительную длину. Говоря это, я подразумеваю продольное растяжение, принимая также во внимание и собственный вес, конечно, больший у длинной веревки и длинного бруса.

Сальвиати. Думаю, синьор Симпличио, что в этом пункте вы, как и многие другие, заблуждаетесь, если только, конечно, я правильно понял ваше положение; вы как будто хотите сказать, что длинная веревка, например в сорок локтей, не может выдержать такого груза, как подобная же веревка в локоть или два длиною?

Симпличио. Это самое я и хотел сказать и думаю, что мое утверждение достаточно правдоподобно.

Сальвиати. Я же считаю его не только не правдоподобным, но и совершенно ложным и полагаю, что легко могу вывести вас из заблуждения. Для этого возьмем веревку АВ, привяжем ее наверху одним концом A, а к другому концу подвесим груз С, от тяжести которого веревка должна разорваться. Наметьте мне теперь, синьор Симпличио, какое-нибудь место, где должен произойти разрыв.

Симпличио. Допустим, что он произойдет в месте В.

Сальвиати. Теперь я спрошу вас, какова причина разрыва веревки в D?

Симпличио. Причиной является то, что в данном месте веревка не в состоянии выдержать, скажем, ста фунтов — веса части веревки DB вместе с привязанным камнем С.

Сальвиати. Следовательно, всякий раз, как на веревку подействует в месте D тот же вес в сто фунтов, она будет разорвана?

Симпличио. Полагаю, что так.  {211} 

Сальвиати. Но скажите мне теперь, если подвязать тот же груз не к концу веревки В, но ближе к точке В, например в точке Е, или прикрепить веревку наверху не за конец А, но в каком-либо другом месте над точкою В, например в F, то будет ли веревка в точке В испытывать действие того же груза в 100 фунтов?

Симпличио. Несомненно, если только к весу камня С приложить и вес части веревки ЕВ.

Сальвиати. Таким образом, если веревка вместе В будет испытывать действие груза в сто фунтов, то она, согласно вашему утверждению, разорвется, а между тем часть веревки FE меньше всей веревки АВ. Каким же образом вы утверждаете, что длинная веревка менее прочна, нежели короткая? Признайте теперь, что я освободил вас от заблуждения, в котором пребывают очень многие и притом весьма смышленые люди⁷. Последуем далее. После того как я показал, что момент, преодолевающий сопротивление излому призм и цилиндров, изменяется пропорционально квадратам их длины (при условии сохранения постоянной одной и той же толщины) и что у тех же тел, равных по длине, но имеющих разную толщину, сопротивление изменяется пропорционально кубам сторон или диаметров их оснований, перейдем к рассмотрению того, что происходит с телами при одновременном изменении длины и толщины. Относительно такого случая говорю: призмы и цилиндры различной длины и толщины оказывают сопротивление излому, пропорциональное кубам диаметров их оснований в одновременно обратно пропорциональное их длинам.

Пусть даны два таких цилиндра ABC и BEF. Утверждаю, что отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиндра BF равно составному отношению куба диаметра АВ к кубу диаметра DE и длины EF к длине ВС. Отложим на более длинном цилиндре часть EG, равную ВС; пусть Н будет третьей пропорциональной линий АВ и BE, а I — четвертой пропорциональной, и пусть отношение EF к ВС будет равно отношению I к S⁸. Отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиндра BG равно отношению куба АВ к кубу BE, т. е. линии АВ к I, а отношение сопротивления цилиндра BG к сопротивлению цилиндра BF равно отношению длины FE к длине EG, т. е. линии I к S. На основании этих пропорций заключаем, что сопротивление цилиндра АС относится  {212}  к сопротивлению цилиндра DF, как линии АВ к S; но отношение линии АВ к S равно составному отношению АВ к I и I к S; следовательно, отношение сопротивления цилиндра АС к сопротивлению цилиндра DF равно составному отношению АВ к I, т. е. отношению куба АВ к кубу DE и отношению линии I к линии S или длины EF к длине ВС, что и требовалось доказать⁹.

После приведенного доказательства я хочу рассмотреть еще один случай, а именно тот, когда цилиндры или призмы подобны. Относительно таких тел я докажу, что у подобных цилиндров или призм отношение составных моментов, обусловливаемых весом и длиною, равняется полуторной степени отношения сопротивления их оснований.

Чтобы доказать это, начертим два подобных цилиндра АВ и CD. Утверждаю, что отношение момента цилиндра АВ, преодолевающего сопротивление его основания В, к моменту цилиндра CD, преодолевающему сопротивление основания последнего D, равняется полуторной степени отношения сопротивления основания В к сопротивлению основания D. В самом деле, моменты твердых тел АВ и CD и сопротивлений их оснований В и D составляются из веса этих тел и сопротивлений, действующих на плечи рычагов; но плечи рычагов цилиндра АВ относятся между собою, как плечи рычагов цилиндра CD (так как вследствие подобия цилиндров длина АВ относится к радиусу основания В так же, как длина CD к радиусу основания D); поэтому весь момент цилиндра АВ относится ко всему моменту цилиндра CD только как вес цилиндра АВ к весу цилиндра CD, т. е. как объем цилиндра АВ к объему цилиндра CD. Но последние относятся, как кубы диаметров оснований цилиндров В и D, в то время как сопротивления оснований пропорциональны площадям последних, т. е. квадратам диаметров оснований, откуда следует, что отношение моментов цилиндров равно полуторной степени отношения сопротивления их оснований.

Симпличио. Такое положение представляется для меня не только совершенно новым, но и неожиданным, а также весьма далеким от того, что я думал: основываясь на полном подобии фигур, я был уверен, что отношение их моментов к сопротивлениям остается неизменным.

Сагредо. Доказательство касалось того положения, из которого мы исходили в наших рассуждениях и которое сначала представлялось мне темным.

Сальвиати. То, что сказал синьор Симпличио, было некоторое время и моим мнением; я также считал сопротивления подобных фигур пропорциональными, пока некоторые наблюдения не показали мне,  {213}  что прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел, и что большие тела обладают меньшею способностью противодействия внешним силам; например, при падении взрослые люди претерпевают по сравнению с малыми детьми большие повреждения; при падении с одной и той же большой высоты тяжелая балка или колонна, как мы уже говорили раньше, разбиваются на куски, тогда как небольшой брусок или маленький мраморный цилиндр остаются целыми. Подобные наблюдения побудили меня заняться этим вопросом и привели к заключению, с которым я вас познакомил. Заключение поистине удивительное: оказывается, что из бесчисленного множества подобных тел нельзя найти двух таких, у которых отношение моментов сопротивлениям было бы одним и тем же.

Симпличио. Это заставляет меня припомнить одно место из Аристотеля, который в своих «Проблемах механики» задается вопросом, почему деревянные жерди тем слабее и легче прогибаются, чем они длиннее, хотя бы более короткие были тоньше, а длинные — толще. Если я только верно помню, он сводит причину к действию простого рычага¹⁰.

Сальвиати. Это совершенно верно, но так как данное там решение не устранило всех сомнений, то монсиньор ди Гуевара, обогативший и осветивший означенное сочинение своими высокоучеными комментариями, привел другие остроумные соображения для устранения всех затруднений. Однако относительно одного пункта и он остался в заблуждении, полагая, что при увеличении в одинаковой пропорции длины и толщины твердых тел прочность их и сопротивление излому и разрушению остаются без изменения. После долгих размышлений над этим вопросом я пришел к выводам, с которыми вас сейчас и познакомлю. Прежде всего, я докажу, что среди подобных и весомых призм и цилиндров имеется только одно тело, которое находится (под действием собственного веса) на границе между тем, чтобы сломаться или остаться целым, так что всякое тело большего размера не способно выдержать собственного веса и ломается, а всякое меньшее тело еще оказывает сопротивление силе, стремящейся его сломать.

Пусть АВ тяжелая призма, доведенная до предельной длины, так что при увеличении длины ее на самую малость она сломается; утверждаю, что она будет единственной, находящейся в таком избранном нами состоянии среди всех ей подобных (число коих бесконечно), и что всякая большая призма под действием собственного веса сломается, всякая же меньшая будет в состоянии помимо собственного веса выдержать и еще некоторую тяжесть. Пусть СЕ будет призма, подобная АВ, но большая. Утверждаю, что она не сможет держаться, но сломается от действия собственного веса. Отложим на большой призме часть CD, равную по длине АВ. Сопротивление CD относится к сопротивлению АВ, как куб толщины CD к кубу  {214}  толщины АВ или как призма СЕ к призме АВ (вследствие подобия этих призм); поэтому вес призмы СЕ есть тот предельный вес, который может выдержать призма, равная по длине CD; но так как длина призмы СЕ больше, то призма СЕ сломается. Возьмем теперь меньшую призму FG. Можно доказать подобным же образом (положив FH равным АВ), что сопротивление FG относилось бы к сопротивлению АВ, как призма FG к призме АВ, если бы длина АВ или FH равнялась FG; но на самом деле она больше; следовательно, момент призмы FG, оканчивающейся в G, будет недостаточным для того, чтобы сломать эту призму FG.

Сагредо. Краткое и блестящее доказательство, обнаруживающее правильность и необходимость такого положения, которое на первый взгляд кажется довольно неправдоподобным. Необходимо, следовательно, значительно изменить отношение между длиною и толщиною большей призмы, сократив ее длину или увеличив ее толщину, чтобы привести ее в такой вид, при котором она находилась бы на границе между тем, чтобы сломаться и остаться целой. Думается, что рассмотрение такого случая могло бы показать нам много интересного.

Сальвиати. А вместе с тем очень полезного, хотя и постигаемого не без труда. Я потратил немало времени на решение этого вопроса и хочу теперь поделиться с вами своими соображениями. Даны цилиндры или призма наибольшей длины, при которой они только могут держаться, не ломаясь от собственного веса, и дана некоторая большая длина; требуется найти толщину другого цилиндра или призмы, которые при данной большей длине являлись бы единственными и наибольшими, могущими выдержать собственный вес.

Пусть ВС цилиндр наибольшей длины, выдерживающий свой собственный вес, и пусть дана длина DE, большая, нежели длина цилиндра АС; требуется найти толщину цилиндра, который при длине DE являлся бы наибольшим, выдерживающим свой собственный вес. Положим, что третьей пропорциональной к величинам DE и АС будет I, и что отношение DE к I таково же, как отношение DF, т. е. искомого диаметра цилиндра FE, к диаметру ВА. Утверждаю, что при этих условиях FE и будет искомым цилиндром, единственным из всех ему подобных, наибольшей длины, выдерживающим собственный вес. Пусть третьей пропорциональной к линиям DE и I будет М, а четвертой О, и пусть линия FG, отложенная на большем цилиндре, будет равна АС. Так как диаметр FD относится к диаметру АВ, как линии DE к I, и так как четвертая пропорциональная к линиям DE и I есть О, то куб диаметра FD будет относиться к кубу диаметра ВА, как DE к О. Но сопротивления цилиндров DG и  {215}  ВС относятся, как кубы их диаметров FD и ВА. Отсюда вытекает, что сопротивление цилиндра DG относится к сопротивлению цилиндра ВС, как линии DE к О. Но так как момент цилиндра ВС равен его сопротивлению, то мы достигнем нашей цели, если докажем, что момент цилиндра FE относится к моменту цилиндра ВС, как сопротивление DF к сопротивлению ВА, или как куб FD к кубу ВА, или как линия DE к О, т. е. докажем, что момент цилиндра FE равен сопротивлению FD. Отношение моментов цилиндров FE и DG равно отношению квадрата DE к квадрату АС или отношению линии DE к I; но момент цилиндра DG относится к моменту цилиндра ВС, как квадрат DF к квадрату ВА, или как квадрат DE к квадрату I, или как квадрат I к квадрату М, или как I к О. Из этих отношений вытекает, что момент цилиндра FE относится к моменту цилиндра ВС, как линия DE к О, или как куб DF к кубу ВА, или как сопротивление основания DF к сопротивлению основания ВА, что нам и требовалось доказать¹¹.

Сагредо. Это очень длинное доказательство, синьор Сальвиати, и слишком трудное, чтобы удержать его в памяти, прослушав один только раз; поэтому я очень просил бы вас повторить его.

Сальвиати. Готов исполнить все, что вы пожелаете; однако, думается, лучше привести иное, более краткое доказательство, для которого понадобятся только другие фигуры.

Сагредо. Тем лучше; но я все же буду вам очень признателен, если вы запишите мне и первое доказательство, чтобы я мог лучше вникнуть в него на досуге.

Сальвиати. Охотно сделаю. Теперь возьмем цилиндр А, диаметр основания которого равен DC, а пусть этот цилиндр А будет наибольшим, способным выдержать собственный вес. Будем теперь искать другой цилиндр, большей длины, который также был бы единственным наибольшим, выдерживающим свой вес. Представим себе цилиндр, подобный первому А, равный по длине данной линии, скажем, Е; диаметром основания его пусть будет линия KL. Пусть, далее, третьей пропорциональной к линиям DC и KL будет линия MN; приняв эту линию за диаметр основания нового цилиндра X, равного по длине данной линии Е, можно утверждать, что этот новый цилиндр X и есть именно тот, который мы  {216}  ищем. Действительно, сопротивление DC относится к сопротивлению KL, как квадрат DC к квадрату KL, или как квадрат KL к квадрату MN, или как цилиндр Е к цилиндру X, или как момент Е к моменту X, далее, сопротивление KL относится к сопротивлению MN, как куб KL к кубу MN, или как куб DC к кубу KL, т. е. как цилиндр А к цилиндру Е, или как момент А к моменту Е. Отсюда заключаем обратно, что как сопротивление DC относится к сопротивлению MN, так и момент А относится к моменту X; следовательно, призма X находится по отношению к моменту и сопротивлению в таких же точно условиях, как и призма А¹².

Рассмотрим теперь более общую проблему; предложение будет таково: дан цилиндр АС с каким угодно отношением момента к сопротивлению, и дана некоторая длина DE; требуется найти толщину нового цилиндра, равного по длине DE, момент и сопротивление коего сохраняли бы между собою то же отношение, что и у первого цилиндра.

Воспользовавшись приведенными выше фигурами и идя подобным же путем, скажем: так как момент цилиндра FE относится к моменту части DG второго цилиндра, как квадрат ED к квадрату FG, или как линия DE к I, и так как момент цилиндра DG относится к моменту цилиндра АС, как квадрат FD к квадрату АВ, или как квадрат DE к квадрату I, или как квадрат I к квадрату М, или как линия I к линии О, то отношение момента цилиндра FE к моменту цилиндра АС будет ex aequali¹³ равно отношению линии DE к О, или куба DE к кубу I, или куба FD к кубу АВ, или же отношению сопротивления основания FD к сопротивлению основания АВ, что нам и требовалось получить¹⁴.

Из того, что было сейчас доказано, мы ясно видим невозможность не только для искусства, но и для самой природы беспредельно увеличивать размеры своих творений. Так, невозможна постройка судов, дворцов и храмов огромнейшей величины, коих весла, мачты, балки, железные скрепы, словом, все части держались бы прочно. С другой стороны, и природа не может произвести деревьев несоразмерной величины, так как ветви их, отягощенные собственным чрезвычайным весом, в конце концов, сломились бы. Равным образом невозможно представить себе костяка человека, лошади или другого живого существа слишком большой величины, который бы держался и соответствовал своему назначению; достигнуть чрезвычайной величины животные могли бы только в том случае, если бы вещество их костей было значительно прочнее и крепче, нежели обычное, или же если бы кости их изменились, соразмерно увеличившись в толщину, отчего животные по строению и виду производили бы впечатление чрезвычайной толщины. Это, возможно, уже было подмечено тем проницательнейшим поэтом, который, описывая великана, говорит:

В качестве краткого примера только что сказанного я покажу вам сейчас рисунок кости, удлиненной только в три раза, но увеличенной в толщину в такой мере, чтобы она могла служить для большого животного с той же надежностью, как меньшая кость служит для животного малого размера. Вы видите, какой несообразно толстой выглядит такая увеличенная кость. Отсюда ясно, что тот, кто желал бы сохранить в огромном великане пропорцию членов обыкновенного человеческого тела, должен был бы найти для построения костей какое-либо иное, более удобное и прочное вещество, или же должен был бы примириться с тем, чтобы большое тело обладало крепостью сравнительно меньшею, чем тело человека обычной величины; увеличение размеров до чрезмерной величины имело бы следствием то, что тело было бы раздавлено и сломано тяжестью своего собственного веса. Обратно, мы видим, что, уменьшая размеры тел, мы не уменьшаем в такой же пропорции их прочности; в телах меньших замечается даже относительное увеличение ее, так, я думаю, что небольшая собака может нести на себе двух или даже трех таких же собак, в то время лошадь едва ли может нести на спине одну только другую лошадь, равную ей по величине.

Симпличио. У меня есть достаточный повод усомниться, а именно, из-за огромной величины тела, встречаемой у рыб; так, например, кит равен по величине, если я не ошибаюсь, десяти слонам, и, однако, тело его все же держится.

Сальвиати. Ваше сомнение, синьор Симпличио, заставляет меня припомнить еще одно упущенное мною сначала из виду условие, при котором великаны и прочие огромные существа могут жить и двигаться не хуже малых животных. Вместо того, чтобы увеличивать толщину и прочность костей и других частей, предназначенных для поддержания собственного веса и веса прилегающих частей тела, можно, оставив строение и пропорцию костей прежними, уменьшить в значительной мере вес материи как самих костей, так и частей тела, к ним прилегающих и ими поддерживаемых. По этому второму пути и пошла природа в творении рыб, сделав их кости и части тела не только легкими, но и вовсе лишенными веса.

Симпличио. Хорошо вижу, к чему клонится ваша речь, синьор Сальвиати. Вы хотите сказать, что так как местопребыванием рыб является вода, которая в силу своей плотности или, как полагают другие, в силу своей тяжести отнимает вес у погруженных в нее тел, то материя, из коей состоят рыбы, теряя в воде вес, может держаться, не обременяя костей.  {218}  Однако этого для меня недостаточно, ибо хотя и можно предположить, что кости рыб не отягощаются телом, но материя самих костей, конечно, имеет вес. Кто же может утверждать, что ребро кита, величиною с добрую балку, не имеет достаточного веса и не пойдет ко дну в воде? И в телах такого большого размера, это, не должно было бы встречаться.

Сальвиати. Вы являетесь ярым оппонентом. Чтобы лучше возразить на наши доводы, я сначала предложу вам вопрос: видели ли вы когда-нибудь рыб в спокойной и неподвижной воде, не опускающимися ко дну, не поднимающимися на поверхность и не делающими никаких движений?

Симпличио. Это всем известное явление.

Сальвиати. Но если рыбы могут пребывать в воде без всякого движения, то это является неоспоримым доказательством того, что вся совокупность объема их тела равна по удельному весу воде; а так как в их теле существуют части более тяжелые, нежели вода, то необходимо прийти к заключению, что есть и другие части, которые легче воды и создают равновесие. Так как кости являются более тяжелыми, то мясо или другие какие-либо органы должны быть легче воды, и они-то своею легкостью отнимают вес у костей. Таким образом, в воде имеет место совершенно обратное тому, что мы видим у наземных животных: и то время как у последних кости должны нести свой вес и вес мяса, у водяных животных мясо поддерживает не только собственный вес, но и вес костей. Таким образом, нет ничего чудесного в том, что огромнейшие животные могут существовать в воде, но не на земле, т. е. в воздухе.

Симпличио. Я совершенно удовлетворен. Замечу только, что животные, обычно называемые наземными, с большим правом должны были бы носить название воздушных, так как на самом деле они живут в воздухе, окружены воздухом и дышат им.

Сагредо. Мне очень понравились рассуждения синьора Симпличио, его сомнения и их разрешение. Я заключаю отсюда, что если вытащить на берег одну из таких огромных рыб, то она не сможет долгое время держаться, так как связь между костями ее должна скоро порваться, а тело разрушиться.

Сальвиати. Я думаю то же самое. Подобное же, полагаю, должно случиться с большими кораблями, которые, плавая в море, выдерживают не только собственный вес, но и огромную тяжесть снастей, грузов и вооружения, будучи же выброшенными на берег и находясь в воздухе, разрушаются. Но продолжим наше исследование и докажем следующее: даны призма или цилиндр и указан как вес их, так и тот наибольший груз, который они сверх того могут выдержать; требуется найти наибольшую длину, достигнув которой призма или цилиндр сломаются от собственного веса.  {219} 

Положим, что дана призма АС и указан ее собственный вес, а также груз D у конца С — наибольший, который может выдержать призма; требуется определить, до какого предела мы можем увеличить длину этой призмы без того, чтобы она сломалась. Составим следующее отношение; вес призмы АС относится к сумме веса АС и двойного веса D, как длина СА к длине АН; средней пропорциональной между последними пусть будет AG; отрезок AG и будет искомой длиной. Так как момент груза D, в точке С равняется удвоенному моменту того же груза D, в середине призмы АС, где находился и центр действия момента собственного веса призмы АС, то момент сопротивления призмы АС в точке А равняется удвоенному весу D и весу АС, приложенным в середине АС. Но согласно принятому нами отношению, момент действия этих весов, т. е. удвоенного D и АС, относится к моменту АС, как длина НА к АС, средней пропорциональной между которыми являются AG; отсюда следует, что момент удвоенного груза D совместно с АС относится к моменту АС, как квадрат GA к квадрату АС; но действующие моменты призм GA и АС относятся так же, как квадраты GA и АС; следовательно, AG и есть искомая максимальная длина, т. е. такая, до которой призма АС может быть доведена, но при превышении которой она ломается¹⁶.

До сих пор мы рассматривали моменты и сопротивления твердых призм или цилиндров, один конец которых был закреплен неподвижно, к другому же прилагалась сила, будь то действующий вес стороннего

тела, или собственный вес, или и то и другое вместе. Теперь мы рассмотрим, что происходит с призмами и цилиндрами, имеющими точки опоры на концах или же одну точку опоры где-нибудь в середине. Прежде всего я утверждаю, что наибольшая длина цилиндра, при которой он способен выдерживать, не ломаясь, собственный вес, в том случае, если он имеет  {220}  точку опоры посредине или на обоих концах, превышает в два раза длину такого же цилиндра, вделанного в стену одним концом, следовательно, имеющего точку опоры лишь на одном конце. Это ясно само собою. Если дан цилиндр ABC, и половина его равна наибольшей длине АВ, могущей держаться, имея точку опоры в В, то она точно таким же образом будет держаться, имея опору в точке G, будучи уравновешиваема другой такой же половиной ВС. Равным образом, если дан цилиндр DEF такой длины, что только половина его может держаться, будучи закрепленной на конце D и, следовательно, другая половина EF может держаться, будучи закрепленной на конце F, то, положив концы его D и F на опоры Н и I, мы получим цилиндр, который сломается при приложении в середине его Е малейшей силы или груза.

Более тонкого исследования требует решение следующего вопроса, при котором мы отвлекаемся от собственного веса тела: если имеются груз или сила, достаточные для того, чтобы, будучи приложенными в середине, сломать цилиндр, поддерживаемый на концах, то могут ли они произвести то же действие, будучи приложенными в какой-либо иной точке ближе к тому или другому концу. Так, например, если мы ломаем какую-либо палку, взяв ее руками за концы и упираясь коленом в середину, то достаточно ли будет той же силы, чтобы сломать ее, когда мы будем упираться коленом не в середину, а ближе к одному концу палки.

Сагредо. Мне кажется, что Аристотель затронул эту проблему в своих «Проблемах механики».

Сальвиати. Проблема, затронутая Аристотелем, не совсем та же; он задавался лишь вопросом, по какой причине требуется меньшее усилие для того, чтобы переломить палку, держа ее за концы, т. е. достаточно далеко от колена, нежели взяв ее руками ближе к колену, и указал общую причину, сведя случай к действию более длинного рычага, так как плечи последнего увеличиваются по мере приближения к концам палки¹⁷. Наш же вопрос заключает в себе и кое-что новое: мы исследуем, держа постоянно палку за концы, требуется ли одна и та же сила для того, чтобы сломать палку при различных положениях колена — в середине и ближе к концам.

Сагредо. На первый взгляд кажется, что ответить надо утвердительно, так как оба рычага как бы сохраняют тот же момент, ибо на сколько укорачивается один рычаг, на столько же удлиняется другой.

Сальвиати. Вы увидите сейчас, как легко впасть в заблуждение, и сколько нужно осмотрительности и осторожности, чтобы избегнуть ошибок. То, что вы говорите, и что действительно на первый взгляд кажется столь правдоподобным, при пристальном рассмотрении оказывается совершенно ложным. Помещается ли колено, представляющее точку опоры рычага, в середине или другом месте, имеет столь большое значение,  {221}  что силы, производящей излом в первом случае, будет недостаточно, чтобы сломать палку при другом положении колена, иной раз даже если ее увеличить в десять, сто и тысячу раз. Рассмотрим сперва этот вопрос в общем виде, а затем перейдем к определению того, как изменяется сила, необходимая для излома, в зависимости от места ее положения.

Начертим, во-первых, деревянный брус АВ, который мы хотели бы переломить пополам над точкою опоры С, и, во-вторых, точно такой же брус, обозначенный буквами DE, который требуется переломить над точкою опоры F, удаленной от середины. Прежде всего, ясно, что вследствие равенства расстояний АС и СВ сила распределяется между концами В и А также поровну. Далее ясно, что так как расстояние DF меньше расстояния АС, то момент силы, приложенной в D, будет меньше момента той же силы, приложенной в А и действующей на плечо СА, и тем меньше, чем меньше DF по сравнению с АС; вследствие этого необходимо увеличить силу для того, чтобы преодолеть сопротивление в F. Но расстояние DF может быть бесконечно уменьшено по сравнению с расстоянием АС; отсюда неизбежно вытекает необходимость бесконечного увеличения силы, прилагаемой в D для преодоления сопротивления в F. Обратно, по мере того как растет расстояние FE по сравнению с расстоянием СВ, сила, которую нужно приложить в Е для преодоления сопротивления в F, уменьшается. Однако по мере приближения опоры F к концу D расстояние FE не может возрастать по сравнению с СВ до бесконечности; оно может достигнуть лишь удвоенной величины последнего. Поэтому сила, действующая в Е для преодоления сопротивления в F, всегда будет составлять более половины силы, действующей в В. Теперь легко понять необходимость все большего и большего увеличения совокупности моментов сил, действующих вместе в точках Е и D для того, чтобы уравновесить или преодолеть сопротивление в F по мере того, как точка опоры F приближается к концу D¹⁸.

Сагредо. Что мы с вами скажем на это, синьор Симпличио? Не должны ли мы признать, что геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой? Я прекрасно понимал закон рычага и то, что в меру увеличения или уменьшения его длины возрастает и убывает момент силы или сопротивления; при всем том в решении данной проблемы я допустил ошибку и притом не малую, а бесконечно большую.  {222} 

Симпличио. Действительно, я начинаю сознавать, что логика, представляющая прекрасное средство для правильного построения наших рассуждений, не может направлять мысль с изобретательностью и остротой геометрии.

Сагредо. Мне кажется, что логика учит нас познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых уже рассуждений и доказательств; но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства — этому я не верю¹⁹. Но, пожалуй, теперь лучше всего будет, если синьор Сальвиати покажет нам, в какой мере увеличиваются моменты сил, необходимых для того, чтобы преодолеть сопротивление одного и того же тела, в зависимости от места разлома.

Сальвиати. Искомые отношения могут быть найдены следующим образом: если по длине какого-либо цилиндра наметить две точки, в которых мы желаем сломать этот цилиндр, то сопротивления в этих точках находятся между собой в отношении, обратном отношению и прямоугольников, построенных на расстояниях этих точек от концов цилиндра.

Пусть А и В наименьшие силы, необходимые для того, чтобы сломать цилиндр в точке С, а Е и F также наименьшие силы, ломающие в точке D. Утверждаю, что силы А и В относятся к силам Е и F, как прямоугольник ADB к прямоугольнику АСВ. Так как отношение сил А и В к силам Е и F равно составному отношению сил А и В к силе В, силы В — к силе F и силы F — к F и Е, и так как отношение сил А и В к В равно отношению длины В А к АС, отношение силы В к F равно отношению линий DB и ВС, а отношение силы F к F и Е равно отношению линий DA и АВ, то, следовательно, отношение сил А и В к F и Е является составным из трех, именно: отношений прямых ВА к AC, DB к ВС и DA к АВ. Но из двух отношений DA к АВ и АВ к АС слагается отношение DA к АС; следовательно, отношение сил А и В к Е и F равно составному отношению DА к АС и DB к ВС. Но отношение прямоугольников ADB и АCB также равно сложному отношению DA к АС и DB к ВС; следовательно, силы А и В относятся к силам Е и F, как прямоугольник ADB к прямоугольнику АСВ; иными словами, сопротивление излому в точке С относится к такому же сопротивлении) в точке D, как прямоугольник ADB к прямоугольнику АСВ, что нам и нужно было доказать²⁰.

На основании этой теоремы мы можем теперь разрешить одну довольно интересную задачу: дан наибольший груз, который могут выдержать призма или цилиндр в середине, т. е. там, где сопротивление излому всего меньше, и дан другой, больший груз; требуется найти такую точку, для которой последний груз был бы как раз наибольшим.  {223} 

Положим, что мы имеем груз, превышающий тот наибольший груз, который может быть выдержан при помещении его в середине цилиндра АВ, и пусть этот первый груз так относится к последнему, как линия Е к линии F. Требуется найти такую точку цилиндра, для которой данный груз является наибольшим. Пусть средней пропорциональной между линиями Е и F будет G и пусть отношение Е к G будет равно отношению AD к S; очевидно, что S будет меньше AD. Построим на линии AD, как на диаметре, полукруг AHD, отложим хорду АН, равную S, проведем прямую HD и отложим на диаметре равную этой линии часть DR. Утверждаю, что R и есть та искомая точка, для которой данный груз, превышающий наибольший груз, могущий быть удержанным при помещении его в D, т. е. средине цилиндра, является максимальным. Построим на длине цилиндра ВА

как на диаметре полукруг ANB, восставим из точки R перпендикуляр RN и проведем прямую ND. Так как сумма квадратов NR и RD равна квадрату ND, т. е. квадрату AD или сумме квадратов АН и HD, а квадрат HD равен квадрату DR, то, следовательно, квадрат NR, равный прямоугольнику ARB, будет равняться квадрату АН, т. е. квадрату S. Но квадрат S относится к квадрату AD как F к Е или как наибольший груз для средней точки D к данному нам большему грузу; следовательно, этот больший груз является для точки R максимальным, какой она только может выдержать, а это мы и хотели найти²¹.

Сагредо. Прекрасно понимаю и замечу следующее: так как призма АВ становится все прочнее и выносливее по отношению к нагрузке по мере удаления последней от середины, то у больших и тяжелых балок можно снять немалую часть материала ближе к концам, облегчив значительно их вес, что при перекрытии больших помещений могло бы иметь большое значение и принести немалую пользу. Интересно было бы найти, какую форму должно иметь такое твердое тело, которое во всех своих частях обладало бы одинаковым сопротивлением так, чтобы переломить его грузом, приложенным в середине, было бы не легче, чем приложенным в любом другом месте.

Сальвиати. Я только что собирался сообщить вам по этому вопросу нечто достаточно существенное и довольно изящное. Для большей наглядности я нарисую вам чертеж. Пусть DB будет призма, у которой сопротивление конца AD излому под действием силы, приложенной к концу В, будет во столько раз меньше сопротивления в сечении  {224}  CI, во сколько раз длина СВ меньше длины ВА, как это уже было доказано. Представим себе теперь эту призму рассеченной диагональной плоскостью вдоль линии FB так, что боковые грани новой призмы будут представлять собою треугольники, одним из коих, обращенным к нам, является треугольник FAB. Мы получим теперь тело, которое в противоположность первой призме легче сломается в месте С, нежели в месте А под действием силы, приложенной на конце В, и притом во столько раз легче, во сколько длина СВ меньше длины ВА. Это очень легко доказать. Так как поперечное сечение CNO параллельно AFD, то линия AF треугольника FAB имеет такое же отношение к линии CN, как линия АВ к ВС; представим себе теперь, что А и С являются точками опоры двух рычагов, плечи которых ВА, AF и ВС, CN пропорциональны; благодаря этому момент силы, приложенной в В к плечу ВА, сравниваемый с сопротивлением AF, будет равен моменту той же силы, приложенной в В к плечу ВС, сравниваемому с сопротивлением CN; однако сопротивление тела излому в CN над точкою опоры С под действием силы, приложенной в В, будет меньше сопротивления над точкою опоры А во столько раз, во сколько прямоугольник СО меньше прямоугольника AD, т. е. во сколько раз линия CN менее линии AF или СВ менее ВА. Следовательно, сопротивление части ОСВ излому в С во столько раз меньше сопротивления всего тела DAB излому в А, во сколько раз длина СВ меньше длины АВ. Итак, мы имеем целую балку или призму DB; если мы разрежем ее по диагонали, отнимем верхнюю ее половину и оставим лишь нижнюю часть, то будем иметь треугольную призму FBA; эти два тела имеют противоположные свойства: у первого сопротивление растет по мере приближения к свободному концу, тогда как у второго при приближении к тому же концу прочность теряется. Когда это установлено, становится ясным, что можно провести сечение, при котором по удалении излишков останется тело такой формы, что во всех своих частях оно будет одинаково прочным.

Симпличио. Это совершенно ясно, так как при переходе от большего к меньшему мы должны встретить и равное.

Сагредо. Да, но весь вопрос заключается в том, как надо направлять пилу, чтобы получить требуемое сечение.

Симпличио. Мне представляется, что сделать это довольно легко. Если, отнимая половину призмы при диагональном сечении, мы получаем остающееся тело, обладающее свойствами, противоположными свойствам целой призмы, так что во всех тех точках, в которых прочность последней увеличивается, прочность первой уменьшается, то я полагаю,  {225}  что, следуя средним путем, т. е. отнимая только половину половины, что составит четверть всей призмы, мы получим в остатке тело, прочность которого не будет ни увеличиваться, ни уменьшаться во всех тех точках, в которых увеличение и уменьшение прочности двух первых тел было постоянно одинаковым.

Сальвиати. Вы не угадали, синьор Симпличио. Я покажу вам и вы убедитесь, что та часть, которую мы можем отсечь и отнять от призмы, не уменьшая ее прочности, составляет не четверть, а треть ее. Нам надо (как уже заметил синьор Сагредо) найти линию, по которой должно быть сделано сечение: я докажу, что линией этой является парабола. Но предварительно необходимо будет доказать следующую лемму: если даны два коромысла весов или рычага, разделенные точками опоры таким образом, что длины плеч, на которые действуют силы, относятся между собою, как квадраты плеч, на которые действуют сопротивления, pi если сопротивления относятся друг к другу, как эти плечи, то силы, преодолевающие сопротивления, равны между собою.

Пусть даны два рычага АB и CD, разделенные точками опоры Е и F таким образом, что плечи ЕВ и FD относятся, как квадрат ЕА к квадрату FC, и предположим, что отношение сопротивлений в А и С равно отношению линий ЕА и FC. Утверждаю, что силы, приложенные в В и D и преодолевающие сопротивления в А и С, равны между собою. Отложим EG — среднюю пропорциональную между ЕВ и FD; тогда отношение BE к EG будет равно отношению GE к FD или АЕ к CF; так же относятся

друг к другу по условию и сопротивления в точках А и С, Так как, кроме того, EG относятся к FD, как АЕ к CF, то отношение GE к АЕ равно отношению FD к FC. Далее, оба рычага DC и GA разделены в точках F и Е пропорционально, почему сила, приложенная в D и преодолевающая сопротивление в точке C, будучи перенесена в точку G, сможет преодолеть то же по величине сопротивление C, перенесенное в точку А. Но по условию сопротивления А и С относятся друг к другу, как расстояния АЕ и CF или как BE и EG; следовательно, сила G или, лучше сказать, сила D, приложенная в В, преодолеет сопротивление в точке А, что и требовалось доказать.  {226} 

Доказав это положение, начертим на боковой грани FB призмы DB параболическую линию FNB с вершиною в точке В и оставим от призмы тело, ограниченное основанием AD, прямоугольником AG, прямой BG и поверхностью, искривленной соответственно параболе FNB. Утверждаю, что такое тело будет обладать во всех частях одинаковым сопротивлением. Рассечем тело плоскостью СО, параллельной AD, и представим себе два рычага с точками опоры в А и С, так что плечами первого из них будут ВА и AF, а второго — ВС и CN. Так как у параболы FBA отношение АВ и ВС равно отношению квадрата FA к квадрату CN, то ясно, что длина плеча ВА одного рычага относится к длине ВС плеча другого рычага как квадрат другого плеча FA к квадрату плеча CN. Поэтому сопротивление, преодолеваемое рычагом ВА, будет относиться к сопротивлению, преодолеваемому рычагом ВС, так же, как относятся друг к другу площади прямоугольников DK и ОС, т. е. как линии AF и NC, являющиеся другими плечами рычагов; отсюда на основании только что доказанной леммы явствует, что та же самая сила, которая, будучи приложена к линии BG, преодолевает сопротивление DA, преодолеет и сопротивление СО. То же самое можно доказать и относительно сечения в любом другом месте, из чего следует, что такое параболическое тело во всех своих частях одинаково прочно. То обстоятельство, что, разрезая призму по параболической линии FNB, мы отнимаем от нее третью часть, видно из следующего: половина параболы FNBA и прямоугольник FB суть основания двух тел, ограниченных двумя параллельными плоскостями, а именно, прямоугольниками FB и DG; объемы их сохраняют то же отношение, какое существует между основаниями; но прямоугольник FB в полтора раза больше полупараболы FNBA; поэтому, разрезая призму по параболической линии, мы отнимаем от нее третью часть. Отсюда ясно, что мы можем уменьшать вес балок более чем на тридцать три процента, нисколько не вредя их прочности; это обстоятельство может привести большую пользу при постройке крупных судов, в особенности при укреплении перекрытий, так как в сооружениях этого рода легкость имеет огромное значение²².

Сагредо. Случаев, где это полезно, столь много, что затруднительно и даже невозможно все их перечислить. Оставляя их, однако, в стороне, я желал бы убедиться, что уменьшение веса действительно происходит в указанном отношении. То, что сечение призмы по диагонали уменьшает вес ее наполовину, я прекрасно себе представляю, но то, что сечение по параболе отнимает третью часть, я могу принять на веру со слов синьора Сальвиати, всегда правдивого; но здесь знание было бы для меня предпочтительнее веры.

Сальвиати: Итак, вы желаете иметь доказательство того, что часть призмы, отсекаемая по параболе, составляет треть призмы. Я  {227}  однажды уже дал такое доказательство; попробую восстановить в памяти ход рассуждения, для которого, насколько помнится, я воспользовался следующей известной леммой Архимеда, содержащейся в его книге «О спиралях»: если имеется любое число линий, превышающих одна другую по длине на некоторую одинаковую величину, равную наименьшей из них, и такое же число линий, равных наибольшей из них, то сумма квадратов этих последних линий будет составлять менее чем утроенную сумму квадратов первых, отличающихся друг от друга по длине линий, но будет превышать более чем в три раза разность между этой суммой и квадратом наибольшей из линий²³. Приняв это положение, начертим прямоугольник АСВР и впишем в него параболическую линию АВ. Требуется доказать, что смешанный треугольник ВАР, образованный двумя сторонами прямоугольника ВР, АР и параболой ВА, составляет третью часть всего прямоугольника СР. Если это не так, то треугольник должен быть либо более третьей части, либо менее. Предположим сначала, что он меньше и что недостающая до трети часть будет равна площади X. Деля теперь прямоугольник СР последовательно на равные части линиями, параллельными сторонам ВР и СА, получим, наконец, части, каждая из коих будет меньше площади X; предположим, что одной из таких частей будет прямоугольник ОВ; проведем через точки пересечения параболы с прочими параллельными линиями ряд линий, параллельных стороне АР; мы получим, таким образом, описанную вокруг нашего смешанного треугольника сложную фигуру, составленную из прямоугольников ВО, IN, ЕМ, FL, ЕК и GA. Эта фигура будет также меньше третьей части прямоугольника СР, так как избыток ее площади над площадью смешанного треугольника будет значительно меньше прямоугольника ВО, который, в свою очередь, меньше площади X.

Сагредо. Остановитесь прошу вас. Я не вижу, почему избыток площади описанной фигуры над площадью треугольника будет значительно меньше площади прямоугольника ВО.

Сальвиати. Не равен ли прямоугольник ВО сумме всех прямоугольников, через которые проходит наша парабола, т. е. прямоугольников BI, IH, HF, FE, EG и GA, частично выходящих за пределы смешанного треугольника? А прямоугольник ВО не меньше ли, по нашему условию, нежели площадь X? Если, таким образом, треугольник вместе с площадью X будет равен третьей части прямоугольника СР, то описанная фигура, прибавляющая к площади треугольника меньше, нежели  {228}  площадь X, останется меньшею по сравнению с третьей частью того же прямоугольника СР. Но этого не может быть, так как она составляет более трети прямоугольника; следовательно, наше предположение, что площадь смешанного треугольника меньше трети прямоугольника, неправильно.

Сагредо. Вы разрешили мои сомнения. Но остается доказать, что описанная фигура составляет более трети площади прямоугольника СР, что, думается мне, не так-то легко сделать.

Сальвиати. Но и не так трудно. В параболе отношение квадратов линий DE и ZG равно отношению линий DA и AZ, которое одинаково с отношением прямоугольника КЕ к прямоугольнику AG (так как высоты АК и KL равны); следовательно, квадраты ED и ZG относятся между собою, как квадраты LA и АК или как прямоугольник КЕ и KZ. Совершенно таким же образом доказывается относительно других прямоугольников LF, МН, NI и ОВ, что они относятся друг к другу, как квадраты линий MA, NA, ОА и РА. Обратим теперь внимание на то, что описанная фигура составлена из частей, отношение между которыми равно отношению квадратов линий, последовательно превышающих одна другую на величину, равную меньшей из них, и что прямоугольник СР составлен из такого же числа площадей, из коих каждая равна наибольшей части, т. е. прямоугольнику ОВ. Согласно лемме Архимеда, описанная фигура составит, таким образом, больше трети прямоугольника СР; но в то же время она была и меньше, что, очевидно, невозможно. Поэтому смешанный треугольник не может быть меньше одной трети прямоугольника СР. Утверждаю равным образом, что он и не более трети. Предположим, что он более трети и что площадь X равна излишку площади треугольника над третью площади прямоугольника СР. Производя последовательное деление всего прямоугольника на все меньшие равные между собою прямоугольники, получим, наконец, такие части, которые будут менее площади X. Предположим, что мы это сделали и получили прямоугольник ВО, который меньше X. Проведя такие же линии, как и ранее, мы получим фигуру, вписанную в смешанный треугольник и составленную из прямоугольников VO, TN, SM, RL и QK, которая будет все же не меньше трети большего прямоугольника СР. Смешанный треугольник превосходит вписанную фигуру на меньшую величину, чем он превосходит третью часть прямоугольника СР, потому что излишек площади треугольника над третью прямоугольника СР равен площади X, которая больше прямоугольника ВО, последняя же, в свою очередь, больше излишка площади треугольника над вписанной фигурою; действительно, площадь прямоугольника ВО равняется сумме площадей прямоугольника AG, GE, EF, FH, HI и IB, а у последних лишь часть, меньшая половины, равняется излишку треугольника над вписанной фигурой. Так как треугольник  {229}  превышает третью часть прямоугольника СР на величину большую (а именно, на величину X), вписанную же фигуру на величину меньшую, то эта фигура должна быть больше трети прямоугольника СР; но, по принятой нами лемме, она меньше последней, ибо прямоугольник СР, как совокупность всех наибольших прямоугольников, относится к прямоугольникам, образующим вписанную фигуру, как сумма квадратов всех наибольших линий к сумме квадратов линий, последовательно превышающих друг друга на определенную величину, за вычетом из последней квадрата наибольшей линии. Далее, вся совокупность наибольших прямоугольников (составляющих в сумме прямоугольник СР) превышает более чем в три раза сумму прямоугольников, последовательно увеличивающихся и составляющих вписанную фигуру, за вычетом из этой суммы наибольшего прямоугольника. Следовательно, смешанный треугольник не может быть ни меньше, ни больше трети прямоугольника СР и должен быть равен ей.

Сагредо. Прекрасное и остроумное доказательство, особенно ценное тем, что оно дает и квадратуру параболы, показывая, что площадь таковой равняется четырем третям вписанного треугольника, как это доказал еще Архимед двумя различными, но равно заслуживающими удивления способами. В последнее время то же было доказано Лукою Валерио — новым Архимедом нашей эпохи; доказательство это можно найти в книге, которую он написал о центре тяжести твердых тел.

Сальвиати. Книга эта действительно замечательна и не уступает сочинениям наиболее известных геометров как современных, так и прошлого времени. Когда наш Академик познакомился с нею, то он оставил свои собственные исследования, начатые по тому же предмету, так как нашел, что все вопросы уже разрешены и доказаны чрезвычайно удачно синьором Валерио.

Сагредо. Обо всем этом я был осведомлен самим Академиком. Я просил его хоть раз ознакомить меня с доказательствами, которые он нашел до знакомства с книгою синьора Валерио, но просьба моя осталась безуспешною.

Сальвиати. У меня имеется копия его работы, и я могу показать ее вам, вы сумеете оценить различие методов, которыми пользуются эти два автора при исследовании и доказательстве одних и тех же положений, причем некоторые положения разъясняются по-разному, хотя и одинаково верно.

Сагредо. Мне очень хотелось бы видеть эту работу, и я был бы очень вам благодарен, если бы вы принесли ее с собою, когда мы снова соберемся для беседы²⁴. Так как, однако, сопротивление твердой призмы, ограниченной сечением, проведенным по параболе, представляется явлением не только весьма интересным, но и полезным для многих механических  {230}  приспособлений, то было бы интересно дать мастерам какие-либо простые и удобные правила для того, чтобы вычерчивать на грани призмы параболическую линию.

Сальвиати. Существует много способов начертить такую линию, но я познакомлю вас только с двумя наиболее простыми. Один из них действительно изумителен, так как, пользуясь им, в меньшее время, чем то, за которое другие вычерчивают на бумаге циркулем четыре или шесть окружностей разного диаметра, могу начертить тридцать-сорок параболических линий не менее тонких, точных и правильных, чем упомянутые окружности. У меня имеются бронзовый шарик, весьма правильной формы, величиною не более ореха. Брошенный на металлическое зеркало, лежащее не совсем горизонтально, но несколько наклонно, так что при движении он может по нему катиться, производя при этом легкое давление, шарик этот оставляет след в виде тонкой и правильной параболической линии, более длинной или более короткой, смотря по степени наклона металлической плоскости. Здесь мы имеем ясный и наглядный опыт, показывающий, что движение брошенных тел происходит по параболическим линиям,— явление, впервые замеченное нашим другом, который дал ему и доказательство в своей книге о движении, с чем мы познакомимся в нашей следующей беседе. Шарик, вычерчивающий указанным выше образом параболы, необходимо предварительно подержать в руке и тем согреть и увлажнить его для того, чтобы он оставил затем на металлическом зеркале ясные следы. Другой способ начертить искомую параболу на призме состоит в следующем. Вобьем в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздем подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка ее находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном длине призмы. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив ее след на стене пунктиром, мы получим полную параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведенным через середину линии, соединяющей оба гвоздя. Перевести полученную таким образом линию на боковые грани призмы не представит никаких затруднений; всякий посредственный мастер сумеет это сделать. Можно также и прямо нанести на призме параболическую линию по точкам при помощи геометрических линий, обозначенных на циркуле нашего друга²⁵.

Мы получили уже столько выводов, касающихся вопросов сопротивления твердых тел излому, причем в основание этой науки было положено сопротивление тел разрыву, что можем теперь последовательно подвигаться вперед, открывая все новые и новые соотношения, которых в природе существует бесконечное множество, и давая им доказательства.  {231} 

В заключение нашей сегодняшней беседы мне хотелось бы только прибавить несколько замечаний относительно сопротивления полых твердых тел, которыми как мастерство, так и природа пользуются на тысячи ладов. В них без возрастания веса достигается возрастание прочности в весьма большой степени, как то легко можно видеть на костях птиц и на тростнике, которые при большой легкости отличаются и большой сопротивляемостью изгибу и излому. Если бы соломинка, несущая колос, превышающий по весу весь стебель, была бы при том же количестве вещества сплошной и массивной, то она была бы значительно менее прочной на изгиб и на излом. Было замечено на деле и подтверждено опытом, что палка, пустая внутри, а также деревянная и металлическая труба, крепче, чем массивное тело той же длины и равного веса, которое неизбежно является более тонким. Мастерство нашло применение этому наблюдению при изготовлении копий для достижения прочности и вместе с тем легкости. Докажем такое положение: сопротивления двух цилиндров одинакового объема и равной длины, один из которых полый, а другой массивный, относятся друг к другу, как их диаметры.

Пусть АЕ будет труба или полый цилиндр и IN массивный цилиндр, равные по весу и по длине. Утверждаю, что сопротивление излому трубы АЕ так относится к сопротивлению сплошного цилиндра IN, как диаметр АВ к диаметру IL. Это в достаточной степени очевидно. Так как труба и цилиндр IN равны по длине и по объему, то круг IL — основание цилиндра — будет равен кольцу АВ — основанию трубы АЕ (называю меньшего кольцом площадь, остающуюся за вычетом площади круга из площади большего концентричного круга); следовательно, их абсолютные сопротивления будут равны. При поперечном же изгибе цилиндра IN длина его LN является одним плечом рычага, имеющим точку опоры в L, а радиус или диаметр LI — другим плечом рычага; в трубе первое плечо рычага, или BE, равно LN; но другое плечо, при точке опоры в В, равно радиусу или диаметру АВ; сопротивление трубы будет, следовательно, превышать сопротивление цилиндра в той же мере, в какой диаметр АВ превышает диаметр IL, что и требовалось доказать. Итак, при полой трубе мы выигрываем в прочности по сравнению со сплошным цилиндром пропорционально отношению их диаметров, при условии, конечно, одинакового материала и равных веса и длины²⁶. Теперь уместно будет рассмотреть, что наблюдается в других случаях, когда трубы и цилиндры имеют одинаковую длину, но различаются по весу и размеру внутренней полости.  {232}  Прежде всего, покажем, как, если дана полая труба, найти равный ей [по весу] сплошной цилиндр.

Задача эта чрезвычайно проста. Пусть линии АВ — диаметр трубы, a CD — диаметр отверстия. Проведем в большом круге из точки А линию АЕ, равную диаметру CD, и соединим точки Е и В. Так как в полукруге АЕВ угол Е прямой, то круг, диаметром коего является линия АВ, будет равен двум кругам с диаметрами АЕ и ЕВ. Но АЕ есть диаметр отверстия

трубы; следовательно, круг диаметра ЕВ будет равен кольцу ACBD; поэтому сплошной цилиндр, основанием которого будет круг диаметра ЕВ, будет по весу равняться трубе равной с ним длины. Доказав это, можно легко найти, какое отношение существует между сопротивлением излому трубы и цилиндра произвольной величины, но одинаковой длины. Даны труба ABE и цилиндр RSM одинаковой длины; требуется найти, какое отношение существует между сопротивлением того и другого. На основании предыдущего предложения находим размеры цилиндра ILN, равного трубе по весу и длине. Пусть теперь четвертой пропорциональной к линиям IL и RS (диаметрам оснований цилиндров IN и RM) будет линия F. Утверждаю, что сопротивление трубы АЕ относится к сопротивлению цилиндра RM, как линия АВ к V. Так как труба АЕ равна по весу и по длине цилиндру IN, то сопротивление трубы относится к сопротивлению этого цилиндра, как линия АВ к IL; но сопротивление цилиндра IN относится к сопротивлению цилиндра RM, как куб IL к кубу RS, т. е. как линия IL к V; следовательно, ex aequali, сопротивление трубы АЕ относится к сопротивлению цилиндра RM, как линия АВ к V, что и требовалось доказать²⁷.

Конец второго дня

ДЕНЬ ТРЕТИЙ¹

О местном движении

М

ы создаем совершенно новую науку о предмете чрезвычайно старом. В природе нет ничего древнее движения, и о нем философы написали томов немало и немалых. Однако я излагаю многие присущие ему и достойные изучения свойства, которые до сих пор не были замечены, либо не были доказаны. Некоторые более простые положения нередко приводятся авторами; так, например, говорят, что естественное движение падающего тяжелого тела непрерывно ускоряется. Однако в каком отношении происходит ускорение, до сих пор не было указано; насколько я знаю, никто еще не доказал, что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собою, как последовательные нечетные числа. Было замечено также, что бросаемые тела или снаряды описывают некоторую кривую линию; но того, что линия эта является параболой, никто не указал. Справедливость этих положений, а равно и многих других, не менее достойных изучения, будет мною в дальнейшем доказана; тем открывается путь к весьма обширной и важной науке, элементами которой будут эти наши труды; в ее глубокие тайны проникнут более проницательные, чем тот, умы тех, кто пойдет дальше.

Наш трактат распадается на три части. В первой мы рассматриваем единообразное или равномерное движение. Во второй мы описываем естественное ускоренное движение. В третьей речь идет о принужденном движении или о движении брошенных тел.

О равномерном движении

Прежде всего нам необходимо определить движение равномерное или единообразное.

Определение

Движением равномерным или единообразным я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собою.

Пояснение

К существовавшему до сего времени определению (которое называло движение равномерным просто при равных расстояниях, проходимых в равные промежутки времени) мы прибавили слово «любые», обозначая тем какие угодно равные промежутки времени, так как возможно, что в некоторые определенные промежутки времени будут пройдены равные расстояния, в то время как в равные же, но меньшие части этих промежутков пройденные расстояния не будут равны². Данное выше определение связано с четырьмя аксиомами, а именно:

Аксиома I

Расстояние, проходимое при одном и том же равномерном движении в более продолжительное время, больше, нежели проходимое в менее продолжительное время.

Аксиома II

Время, соответствующее при равномерном движении большему расстоянию, больше, нежели соответствующее меньшему расстоянию.

Аксиома III

При большей скорости движения в равные промежутки времени проходятся большие расстояния, нежели при меньшей.

Аксиома IV

Скорость, при которой за определенное время проходится большее расстояние, больше той, при которой за то же время проходится меньшее расстояние.

Теорема   I.   Предложение   I³

Если равномерно движущееся тело проходит с постоянной скоростью два расстояния, то промежутки времени прохождения последних относятся между собой как пройденные расстояния.

Пусть тело, движущееся с постоянной скоростью, проходит два расстояния АВ и ВС и пусть время, потребное для прохождения АВ, представлено линией DE, а для прохождения ВС — линией EF. Утверждаю,

что как АВ относится к ВС, так же относится и время DE к EF. Продолжим в обе стороны как расстояние, так и время до G, Н и I, К и отложим на линии AG произвольное число частей, равных расстоянию АВ, а на линии DI столько же частей, равных времени DE; далее, отложим по другую сторону на линии СИ любое число частей, равных расстоянию ВС, а на FK столько же частей, равных времени EF. Таким образом, расстояние BG и время EI будут произвольными, но равными кратными ВА и ED; подобным же образом расстояние ИВ и время КЕ будут произвольными, но равными кратными СВ и FE. Так как DE есть время, потребное для прохождения расстояния АВ, то весь промежуток времени EI будет соответствовать всему расстоянию BG, и EI будет содержать столько же частей времени, равных DE, сколько частей расстояния, равных ВА, содержится в BG; подобным же образом находим, что КЕ есть время, необходимое для прохождения расстояния ИВ. Если принять теперь, что движение равномерно и что GB равно ВН, то и время IE будет равно ЕК; если GB будет больше ВН, то и IE будет больше ЕК, если же оно будет меньше, то и время будет меньше. Таким образом, имеются четыре величины: первая — АВ, вторая — ВС, третья — DE и четвертая — EF; первая и третья из них, т. е. часть расстояния, равная АВ, и времени, равная DE, содержатся в произвольном, но одинаковом числе в расстоянии GB и времени IE. Мы доказали, однако, что эти последние либо одновременно равны расстоянию ВН и времени ЕК, либо одновременно больше или меньше; поэтому вторая и четвертая величины имеют то же отношение. Отсюда следует, что отношение первой величины ко второй, т. е. расстояния АВ к расстоянию ВС, равно отношению третьей к четвертой, т. е. времени DE ко времени EF, что и требовалось доказать.

Теорема   II.   Предложение   II

Если тело проходит два расстояния в равные промежутки времени, то эти расстояния относятся между собою как скорости движения. Обратно, если расстояния относятся друг к другу как скорости, то промежутки времени равны.

Пусть на том же самом чертеже АВ и ВС будут расстояниями, пройденными в одинаковое время с разными скоростями, а именно: АВ со скоростью DE и ВС со скоростью EF. Утверждаю, что расстояния АВ и ВС относятся между собою как скорости DE и EF. Если взять, как то было показано выше, произвольные, но равные кратные расстояния и скорости, т. е. GB и IE, составленные из отрезков; первое — равных АВ, авторов — DE, а также аналогичные линии НВ и KF, составленные из отрезков ВС и EF, то, следуя путем, подобным изложенному выше, придем к заключению, что составные отрезки GB и IE одновременно либо равны отрезкам ВН и ЕК, либо больше их, либо меньше; этим и доказывается предложение.

Теорема   III.   Предложение   III

При неравных скоростях, но равных пройденных расстояниях, отношение скоростей равно обратному отношению промежутков времени.

Пусть А и В скорости — А б&оacute;льшая и В меньшая, — с которыми было пройдено расстояние CD. Утверждаю, что время, затраченное на прохождение расстояния CD со скоростью А, относится ко времени, затраченному на аналогичное прохождение со скоростью В, как скорость В к скорости А. Пусть CD относится к СЕ как А к В: тогда на основании ранее доказанного время, затрачиваемое на прохождение расстояния CD со скоростью А, будет равно времени прохождения расстояния СЕ со скоростью В; но промежутки времени, в которые расстояния СЕ и CD проходятся со скоростью В, относятся между собою как СЕ и CD. Отсюда следует, что время прохождения расстояния CD со скоростью А относится ко времени прохождения того же расстояния CD со скоростью В как СЕ к CD, т. е. как скорость В к скорости А, что и требовалось доказать.

Теорема   IV.   Предложение   IV

Если два равномерно движущихся тела имеют различные скорости, то отношение расстояний, пройденных ими в неравные промежутки времени, равно составному отношению скоростей и промежутков времени.  {237} 

Пусть два тела Е и F движутся равномерно, причем отношение скорости движения тела Е к скорости движения тела F равно отношению А к В, промежутки же времени движения тел Е и F относятся между собой как С к D. Утверждаю, что отношение расстояния, пройденного телом Е со скоростью А за время C, к расстоянию, пройденному телом Е со скоростью В за время D, равно отношению А к В, умноженному на отношение С к В. В самом деле, если тело Е прошло со скоростью А за время С расстояние G, a G относится к I как А и В, и если, далее, I относится к L как время С к D, то мы знаем, что I является расстоянием, которое будет пройдено телом F в то же самое время, в какое тело Е прошло расстояние G, ибо отношение расстояний G и I равно отношению скоростей А и В, Так как, далее, I относится к L как время С к D, причем I есть пространство, проходимое телом Ев промежуток времени С,— то L будет расстоянием, пройденным телом F со скоростью В в течение промежутка времени D. Но отношение G к L состоит из отношения G к I и I к L, или из отношения скоростей А и В и промежутков времени С и I), чем и разрешаются задачи.

Теорема   V.   Предложение   V

Если два тела движутся равномерно с различными скоростями, и пройденные ими расстояния также различны, то отношение промежутков времени, затрачиваемых на прохождение последних, равно отношению расстояний, умноженному на обратное отношение скоростей.

Даны два тела А и В, скорости которых относятся как V к T, а пройденные ими расстояния — как S к R. Утверждаю, что отношение времени движения тел А и В равно отношению скорости Т к V, умноженному на отношение расстояния S к R. Пусть тело А затратило время C, и отношение С к Е равно отношению Т к V. Так как С есть время, в течение которого тело А, двигаясь со скоростью V, прошло расстояние S, то, если отношение С к Е равно отношению скорости Т тела В к скорости V, отрезок Е будет тем временем, в течение которого тело В пройдет расстояние S. Пусть, далее, отношение времени Е к С будет равно отношению расстояния S к R; очевидно, что G будет временем,  {238}  необходимым телу В для прохождения расстояния В. Так как теперь отношение С к G равно отношению С к Е, умноженному на отношение Е к G, и отношение С к Е равно обратному отношению скоростей тел А и В, т. е. отношению Т к V, а Е относится к G как расстояние S к В, то тем самым задача решена.

Теорема   VI.   Предложение   VI

Если два тела движутся равномерно, то отношение скоростей их равняется отношению пройденных расстояний, умноженному на обратное отношение времен движения.

Пусть тела А и В движутся равномерно, и пройденные расстояния относятся друг к другу как V к Т, времена же движения,— как S к В.

Утверждаю, что отношение скоростей тел А и В равно отношению V к Т, умноженному на отношение В к S. Пусть С есть скорость, с которою тело А проходит расстояние V в течение времени S, и пусть С относится к Е как расстояние V к Т. В таком случае Е будет скорость, с которою тело В проходит расстояние Т в то же самое время S. Если, далее, отношение Е к G равно отношению времени В к S, то G будет тою скоростью, с которою тело В проходит расстояние Т в течение времени В. Таким образом, мы имеем скорость С, с которою тело А проходит расстояние V в течение времени S, скорость G, с которою тело В проходит расстояние Т в течение времени В, и отношение С к G, равное отношению С к Е, умноженному на отношение Е к G; по отношению С к Е равно отношению расстояния V к Т, а отношение Е к G — отношению времени В к S; следовательно, задача решена.

Сальвиати. Вот то, что написал наш Автор о равномерном движении. Теперь мы перейдем к более тонким и новым рассмотрениям, относящимся к естественному ускоренному движению, каковым вообще является движение падающих тяжелых тел. Вот заголовок и введение.

О естественно-ускоренном движении

До сих пор мы имели дело с равномерным движением, теперь же переходим к движению ускоренному.

Прежде всего необходимо будет подыскать этому естественному явлению соответствующее точное определение и дать последнему объяснение. Хотя, конечно, совершенно допустимо представлять себе любой вид движения и изучать связанные с ним явления (так, например, можно определять  {239}  основные свойства винтовых линий или конхоид, представив их себе возникающими в результате некоторых движений, которые в действительности в природе не встречаются, но могут соответствовать предположенным условиям), мы тем не менее решили рассматривать только те явления, которые действительно имеют место в природе при падении тел, и даем определение ускоренного движения, совпадающего со случаем естественно ускоряющегося движения. Такое определение, найденное после долгих размышлений, кажется нам достойным доверия преимущественно на том основании, что результаты опытов, воспринимаемые нашими чувствами, вполне соответствуют выведенным из него свойствам. Наконец, к исследованию естественного ускоренного движения нас непосредственно привело внимательное наблюдение того, что обычно имеет место и совершается в природе, которая стремится применять во всяких своих приспособлениях самые простые и легкие средства: так, я полагаю, например, что никто не станет сомневаться в невозможности осуществить плавание или полет легче или проще, нежели теми способами и средствами, которыми пользуются благодаря своему природному инстинкту рыбы и птицы.

Поэтому когда я замечаю, что камень, выведенный из состояния покоя и падающий со значительной высоты, приобретает все новое и новое приращение скорости, не должен ли я думать, что подобное приращение происходит в самой простой и ясной для всякого форме? Если мы внимательно всмотримся в дело, то найдем, что нет приращения более простого, чем происходящее всегда равномерно. К такому заключению мы легко придем, подумав о сродстве понятий времени и движения. Подобно тому, как равномерность движения мыслилась и определялась нами посредством равенства времени и расстояния (ибо мы называли равномерным такое движение, при котором в равные промежутки времени проходятся и равные расстояния), и приращение скорости мы проще всего можем представить себе, как происходящее в соответствии с такими же равными промежутками времени. Умом своим мы можем признать такое движение единообразным и неизменно равномерно ускоряющимся, так как в любые равные промежутки времени происходят и равные приращения скорости. Таким образом, если взять совершенно равные промежутки времени от начального мгновения движения тела, вышедшего из состояния покоя и падающего вниз, то скорость, приобретенная в течение первого промежутка, испытав приращение в течение второго, возрастет вдвое; за три промежутка времени величина ее станет тройною, а за четыре — в четыре раза большею против первоначальной. Яснее говоря, если бы тело продолжало движение по истечении первого промежутка времени равномерно с приобретенною скоростью, то оно двигалось бы в два раза медленнее, нежели если бы обладало скоростью, приобретенной после двух промежутков  {240}  времени. Таким образом, мы не ошибемся, если поставим увеличение скорости в соответствии с увеличением промежутка времени. Отсюда и вытекает определение движения, которым мы будем пользоваться: равномерно или единообразно-ускоренным движением называется такое, при котором после выхода из состояния покоя в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты скорости⁴.

Сагредо. Так как мой ум вообще не мирится с различными определениями, даваемыми теми или иными авторами, поскольку они все совершенно произвольны, то я могу, никого не задевая, высказать сомнение, действительно ли приведенное определение, установленное совершенно отвлеченно, правильно и соответствует тому ускоренному движению, которое проявляется при естественном падении тяжелых тел. А так как Автор утверждает, по-видимому, что естественное движение падающих тяжелых тел именно таково, как он его определил, то мне хотелось бы, чтобы были устранены некоторые появившиеся у меня сомнения, после чего я с большим вниманием мог бы отнестись ко всем предложениям и сопровождающим их доказательствам.

Сальвиати. Прекрасно; в таком случае вы и синьор Симпличио потрудитесь высказать ваши затруднения. Я предполагаю, что они совпадают с теми, которые явились и у меня, когда я впервые познакомился с настоящим трактатом, и которые частью были разрешены Автором при моей беседе с ним, частью исчезли в результате собственных размышлений.

Сагредо. Если я представлю себе тяжелое падающее тело выходящим из состояния покоя, при котором оно лишено какой-либо скорости, и приходящим в такое движение, при котором скорость его увеличивается пропорционально времени, истекшему с начала движения, так что за восемь ударов пульса оно приобретает восемь градусов скорости, в то время как за четыре удара пульса оно приобретает таких градусов только четыре, за два удара — два, а за один удар — один, то невольно приходит на мысль, не вытекает ли отсюда, что благодаря возможности делить время без конца мы, непрерывно уменьшая предшествующую скорость, придем к любой малой степени скорости или, скажем, любой большей степени медленности, с которой тело должно двигаться по выходе его из состояния бесконечной медленности, т. е. из состояния покоя. Таким образом, если с той степенью скорости, которую тело приобретает за четыре удара пульса и которая в дальнейшем остается постоянной, оно может проходить две мили в час, а с той степенью скорости, которая приобретается после двух ударов пульса, оно может проходить одну милю в час, то надлежит признать, что для промежутков времени, все более и более близких к моменту выхода тела из состояния покоя, мы придем к столь медленному движению, что при сохранении постоянства скорости  {241}  тело не пройдет мили ни в час, ни в день, ни в год, ни даже в тысячу лет; даже в большее время оно не продвинется и на толщину пальца,— явление, которое весьма трудно себе представить, особенно, когда наши чувства показывают, что тяжелое падающее тело сразу же приобретает большую скорость⁵.

Сальвиати. Это одно из тех затруднений, которые первоначально смущали и меня; однако я скоро его устранил, причем в этом мне помог тот же самый опыт, который зародил в вас сомнение. Вы говорите, что опыт показывает, будто падающее тело сразу получает весьма значительную скорость, как только выходит из состояния покоя; я же утверждаю, основываясь на том же самом опыте, что первоначальное движение падающего тела хотя бы весьма тяжелого, совершается с чрезвычайной медленностью. Положите тяжелое тело на какое-нибудь мягкое вещество так, чтобы оно давило на последнее всей своей тяжестью. Ясно, что это тело, поднятое вверх на локоть или на два, а затем брошенное с указанной высоты на то же вещество, произведет при ударе давление большее, чем в первом случае, когда давил один только вес тела. В этом случае действие будет произведено падающим телом, т. е. совместно его весом и скоростью, приобретенной при падении, и будет тем значительнее, чем с большей высоты наносится удар, т. е. чем больше скорость ударяющего тела. При этом скорость падающего тяжелого тела мы можем без ошибки определить по характеру и силе удара. Теперь скажите мне, синьоры, если груз, падающий на сваю с высоты четырех локтей, вгоняет последнюю в землю приблизительно на четыре дюйма, — при падении с высоты двух локтей он вгоняет ее в землю меньше и, конечно, еще меньше при падении с высоты одного локтя или одной пяди, и когда, наконец, груз падает с высоты не более толщины пальца, то производит ли он на сваю больше действия, чем если бы он был положен без всякого удара? Еще меньшим и совершенно незаметным будет действие груза, поднятого на толщину листка. Так как действие удара находится в зависимости от скорости ударяющего тела, то кто может сомневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и скорость минимальна, если действие удара совершенно незаметно? Вы видите теперь, какова сила истины; тот самый опыт, который с первого взгляда порождает одно мнение, при лучшем рассмотрении учит нас противному. Но мне кажется, что, и не прибегая к такому опыту (который, без сомнения, является в высшей степени убедительным), нетрудно установить ту же истину путем простого рассуждения. Предположим, что мы имеем тяжелый камень, поддерживаемый в воздухе в состоянии покоя; лишенный опоры и отпущенный на свободу, он, будучи тяжелее воздуха, начнет падать вниз, причем движение его будет не равномерным, но сперва медленным, а затем постепенно ускоряющимся. А так как скорость может увеличиваться и уменьшаться до бесконечности, то что может заставить  {242}  меня признать, будто такое тело, выйдя из состояния бесконечной медленности (каковым именно является состояние покоя), сразу приобретает скорость в десять градусов скорее, чем в четыре, или в четыре градуса скорее, чем в два градуса, в один, в полградуса, в одну сотую градуса, словом, скорее, чем любую бесконечно малую скорость? Заметьте, пожалуйста, следующее. Я не думаю, чтобы вы стали возражать мне против того положения, что приобретение степеней скорости падающим камнем может происходить в том же порядке, как уменьшение и потеря степеней скорости, когда тот же камень подброшен снизу вверх до той же высоты какой-либо силой. Но если это так, то я не вижу, как можно сомневаться в том, что при уменьшении и, наконец, полном уничтожении скорости подымающегося вверх камня последний может прийти в состояние покоя ранее, нежели пройдя через все степени медленности.

Симпличио. Но если степени все большей и большей медленности бесчисленны, то они никогда не могут быть все исчерпаны. Таким образом, подымающийся камень никогда не пришел бы в состояние покоя, но пребывал бы в бесконечном, постоянно замедляющемся движении, чего, однако, в действительности никогда не бывает.

Сальвиати. Это случилось бы, синьор Симпличио, если бы тело двигалось с каждою степенью скорости некоторое определенное время; но оно только проходит через эти степени, не задерживаясь более чем на мгновение; а так как в каждом, даже самом малом промежутке времени содержится бесконечное множество мгновений, то их число является достаточным для соответствия бесконечному множеству уменьшающихся степеней скорости. То, что такое восходящее тело не сохраняет скорости данной степени в течение конечного промежутка времени, ясно из следующего: предположив возможность этого, мы получим, что в первый и последний момент некоторого промежутка времени тело имеет одинаковую скорость, с которой и должно продолжать движение в течение второго промежутка времени; но таким же образом, каким оно перешло от первого промежутка времени ко второму, оно должно будет перейти и от второго к третьему и т. д., продолжая равномерное движение до бесконечности⁶.

Сагредо. Мне кажется, что это рассуждение дает достаточные основания для ответа на возбуждаемый философами вопрос о причинах ускорения естественного движения тяжелых тел. Рассматривая тело, брошенное вверх, я нахожу, что мощь, сообщенная ему бросающим, постепенно уменьшается и поднимает тело до тех пор, пока она превосходит противодействующую мощь тяжести; но как только они уравновешиваются, тело перестает подниматься и проходит через состояние покоя, при котором первоначально сообщенный импульс вовсе не уничтожается, а только погашен первоначальный излишек его над весом тела, каковой  {243}  заставлял тело двигаться вверх. Так как уменьшение этого стороннего импульса продолжается, следствием чего является перевес тяжести, то начинается обратное движение или падение тела, происходящее вначале медленно, вследствие противодействия сообщенной телу мощи, значительная часть которой еще сохраняется в нем; но так как эта последняя постепенно уменьшается и все в большей и большей степени преодолевается тяжестью, то отсюда и возникает постепенное ускорение движения⁷.

Симпличио. Соображения эти весьма интересны, но более остроумны, нежели убедительны. То, что в них содержится, подходит лишь к таким случаям, когда естественному движению предшествует насильственное движение, и значительная доля внешней мощи сохраняется. Но там, где остатка сторонней мощи нет, и тело выходит из предшествовавшего состояния покоя, все рассуждение теряет основание⁸.

Сагредо. Полагаю, что вы заблуждаетесь и что проводить различие этих случаев, как вы это делаете, излишне или, лучше сказать, бесполезно. Скажите мне, можно ли сообщить брошенному телу большую или меньшую мощь так, чтобы оно поднялось на сто локтей, а также на двадцать, на четыре или на один?

Симпличио. Не сомневаюсь, что можно.

Сагредо. Так же возможно, что указанная мощь будет превышать сопротивление тяжести столь незначительно, что приподнимает тело вверх всего на один палец. Наконец, мощь бросающего может быть такой, что она сравняется с сопротивлением тяжести, так что тело не поднимется, а будет только поддерживаемо ею. Когда вы держите в руке камень, то что иное делаете вы, как не сообщаете ему столько мощи, заставляющей его двигаться вверх, какова способность его веса тянуть вниз? Не продолжаете ли вы сообщать эту мощь в течение всего того времени, как вы держите камень в руке, и разве она уменьшается за то время, что вы поддерживаете камень? Не все ли равно, в чем заключается эта поддержка, мешающая камню падать,— в вашей ли руке, столе или веревке, к которой привязан камень? Конечно, безразлично. Из этого, синьор Симпличио, сделайте вывод, что предшествует ли падению камня длительный, кратковременный или мгновенный покой, не имеет никакого значения, так как камень не падает до тех пор, пока мощи, противодействующей его тяжести, достаточно только для того, чтобы удержать его в покое.

Сальвиати. Мне думается, что сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения в естественном движении, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений; одни приписывали его приближению к центру, другие —  {244}  постепенному частичному уменьшению сопротивляющейся среды, третьи — некоторому воздействию окружающей среды, которая смыкается позади падающего тела и оказывает на него давление, как бы постоянно его подталкивая; все эти предположения и еще многие другие следовало бы рассмотреть, что, однако, принесло бы мало пользы. Сейчас для нашего Автора будет достаточно, если мы рассмотрим, как он исследует и излагает свойства ускоренного движения (какова бы ни была причина ускорения), приняв, что моменты скорости, начиная с перехода к движению от состояния покоя, идут, возрастая в том же простейшем отношении, как и время, то есть, что в равные промежутки времени происходят и равные приращения скорости. Если окажется, что свойства, которые будут доказаны ниже, справедливы и для движения естественно и ускоренно падающих тел, то мы сможем сказать, что данное нами определение охватывает и указанное движение тяжелых тел и что наше положение о нарастании ускорения в соответствии с нарастанием времени, т. е. продолжительностью движения, вполне справедливо⁹.

Сагредо. Насколько я сейчас себе представляю, можно было бы, как мне кажется, дать определению, не изменяя его сущности, следующую более ясную формулировку: равномерно-ускоренное движение есть такое, при котором скорость возрастает пропорционально пройденному пути; так, например, степень скорости, приобретенная телом при падении на четыре локтя, будет вдвое больше приобретенной им при падении на два локтя, а эта последняя будет вдвое больше скорости, приобретенной при падении на один локоть. Нельзя, кажется мне, сомневаться в том, что груз, падающий с высоты шести локтей, производит удар с вдвое большим импульсом, чем тот же груз при падении с высоты трех локтей; в три раза большим, чем при падении с высоты двух локтей, и в шесть раз большим, чем при падении с высоты одного локтя.

Сальвиати. Для меня служит большим утешением, что я имею такого сотоварища по заблуждению; к тому же ваше рассуждение кажется столь простым и правдоподобным, что когда я изложил его нашему Автору, то последний сообщил мне, что и сам он одно время разделял это ложное положение. Но наиболее удивительным оказалась в конце концов достаточность лишь четырех простых слов для доказательства не только ошибочности, но и простой невозможности двух утверждений, столь правдоподобных, что среди многих лиц, которым я излагал их, не нашлось никого, кто бы тотчас же не признал их справедливости.

Симпличио. Вероятно, и я оказался бы среди последних. В самом деле, то, что падающий груз приобретает по пути силу, причем скорость его возрастает пропорционально пройденному пути, и что момент ударяющего тела вдвое больше при падении с двойной высоты,— эти положения могут быть приняты без возражений и сомнений.  {245} 

Сальвиати. А вместе с тем они так же неправильны и невозможны, как если бы утверждать, что движение происходит мгновенно, и вот вам ясное тому доказательство. Если бы скорости были пропорциональны пройденным или имеющим быть пройденными расстояниям, то такие расстояния проходились бы в равные промежутки времени; таким образом, если бы скорость, с которою падающее тело проходит расстояние в четыре локтя, была вдвое больше скорости, с которою оно проходит расстояние в два первых локтя (на том основании, что одно расстояние вдвое больше другого), то промежутки времени для прохождения того и другого расстояния должны были бы быть одинаковыми. Но прохождение одним и тем же телом четырех локтей и двух локтей в один и тот же промежуток времени могло бы иметь место лишь в том случае, если бы движение происходило мгновенно; мы же видим, что падающее тело совершает свое движение во времени и что два локтя оно проходит в меньший срок, нежели четыре локтя. Следовательно, утверждение, что скорости растут пропорционально пройденным путям, ложно. Неправильность второго положения также легко обнаружить. Так как ударяющее тело предполагается одинаковым, то разница в моменте удара может обусловливаться только разницею в скорости; если, следовательно, ударяющее тело, падая с двойной высоты, ударяет с двойным моментом, то оно должно обладать и двойной скоростью; но при двойной скорости тело проходило бы двойное пространство в то же самое время, мы же видим, что падение с большей высоты требует и большего времени¹⁰.

Сагредо. Слишком много ясности и слишком много простоты вносите вы в разъяснение темных вещей; в конце концов, доступность положений имеет следствием то, что знание их кажется нам менее ценным, чем признание достоверности противоположных положений. Я думаю, что познания, общедоступные и приобретаемые с такою малою затратою труда, ценятся меньше по сравнению с теми, которые связаны со сложными и необъяснимыми представлениями.

Сальвиати. Для того, кто кратко и ясно доказывает ложность положений, общераспространенных и принимаемых всеми за правильные, прискорбно вместо одобрения выслушивать упреки. Но еще более неприятное и тяжелое чувство испытывает тот, кто, работая в данной области и считая себя в ней равным всякому другому, видит, что заключения, которые считались им истинными, после краткого и простого рассуждения кого-либо другого оказываются ложными. Я бы не назвал этого чувства завистью, которая обычно выражается в ненависти и злобе к тому, кто разъяснил такие заблуждения; это скорее склонность или желание в большей мере поддержать прежние заблуждения, чем допустить признание вновь открытых истин. Подобное желание не раз побуждало людей выступать против таких открытий, истина коих ими самими в глубине  {246}  души признавалась, только для того, чтобы унизить других в глазах многочисленной и малообразованной публики. Я не мало слышал от нашего Академика примеров таких общераспространенных ложных и легко опровергаемых учений и даже записал часть их.

Сагредо. Вы не должны скрывать их от нас; вам непременно следует в свое время познакомить нас с ними, хотя бы для этого нам пришлось собраться особо. Теперь же продолжим нить наших рассуждений. Мне кажется, что мы установили следующее определение равномерно ускоренного движения, о коем будем говорить далее: равномерно или единообразно-ускоренное движение есть такое, при котором в равные промежутки времени приобретаются и равные моменты скорости.

Сальвиати. Установив это определение, наш Автор выдвигает и принимает только один принцип: степени скорости, приобретаемые одним и тем же телом при движении по наклонным плоскостям, равны между собой, если высоты этих наклонных плоскостей одинаковы.

Высотою наклонной плоскости здесь называется перпендикуляр, опущенный из наивысшей точки такой плоскости на горизонтальную линию, проходящую через наинизшую точку наклонной плоскости. Для ясности возьмем параллельную горизонту линию АВ, к которой наклонены две плоскости СА и CD; перпендикуляр СВ, опущенный на горизонталь АВ, наш Автор и называет высотою наклонных плоскостей СА и CD, Он полагает, что степени скорости, приобретенные телом, движущимся по наклонным плоскостям СА и CD, при достижении им точек А и D равны между собою, так как плоскости имеют одну и ту же высоту СВ; при этом указанная степень скорости одинакова с той, которую тело приобретает, достигнув точки В при свободном падении из точки С.

Сагредо. Это положение кажется мне действительно столь правдоподобным, что заслуживает быть принятым без возражений, при том условии, конечно, что все внешние препятствия и воздействия устранены, наклонные плоскости тверды и абсолютно гладки, а движущееся тело имеет совершенно правильную круглую форму, так что между плоскостями и телом нет трения. Простой здравый смысл подсказывает мне, что если устранить все препятствия и воздействия, то тяжелый и совершенно круглый шарик, движущийся по линиям СA, CD и СВ, приобретет, достигнув точек A, D и В, одинаковый импульс¹¹.

Сальвиати. Вы считаете это вероятным. Я иду дальше признания вероятности и постараюсь так подкрепить ее опытом, чтобы это мало чем отличалось от непреложного доказательства. Представим себе, что этот лист является стеной, перпендикулярной к горизонту, и что на вбитом в нее гвозде на тонкой нити АВ, длиною в два или три локтя, подвешен свинцовый шарик весом в одну или две унции; начертим на  {247}  этой стене горизонтальную линию DC, перпендикулярную к нити АВ, отстоящей от стены приблизительно на два пальца. Если мы отведем теперь нить АВ вместе с шариком в положение АС и отпустим шарик, то мы тотчас же увидим, как он, падая, опишет дугу CBD, быстро пройдет за точку В и, следуя по дуге BD, поднимется почти до уровня линии CD, не достигнув ее на весьма малое расстояние, поскольку дойти до этой линии вплотную ему мешает сопротивление воздуха pi нити. Отсюда мы можем с достоверностью заключить, что импульс, приобретенный в точке В шариком, спускающимся по дуге СВ, достаточен для того, чтобы поднять этот шарик по такой же дуге BD на ту же высоту. Проделав несколько раз этот опыт, вобьем в стену против линии АВ, хотя бы в точке Е или F, гвоздь, который выдавался бы пальцев на пять или шесть; это необходимо для того, чтобы нить АС, несущая, как и ранее, шарик С, задерживалась гвоздем Е при движении шарика по дуге СВ и достижении им точки В и вынуждала последний следовать далее по дуге окружности BG, центром которой является Е. Благодаря этому мы увидим, что может сделать тот же импульс, приобретаемый шариком при достижении точки В, который ранее поднимал его по дуге BD на высоту горизонтали CD. И вот, синьоры, вы с удовлетворением увидите, что шарик достигнет в точке G той же самой горизонтали; то же произойдет, если мы вобьем гвоздь ниже, например в точке F, в каковом случае шарик опишет дугу BI, остановившись в своем движении опять на той же линии СО. Если гвоздь будет расположен столь низко, что нить, остановленная им, не позволит шарику подняться до высоты CD (что, очевидно, случится, если гвоздь будет помещен ближе к В, нежели к пересечению линий АВ и CD), то нить обмотается вокруг гвоздя. Этот опыт не оставляет места для сомнений в справедливости выставленного положения; так как обе дуги СВ и DB равны и одинаково расположены, то момент, приобретенный при падении по дуге СВ, равен моменту, приобретенному при падении по дуге DB; но момент, приобретенный в точке В при падении по дуге СВ, достаточен для того, чтобы поднять тело вверх по дуге BD; следовательно, момент, развивающийся при падении по дуге DB, равен тому, который перемещает тело по той же дуге из В в Д. Вообще, каждый момент, развивающийся при  {248}  падении тела по дуге, равен моменту, могущему поднять тело по той же дуге; но все моменты, заставляющие тело подниматься по дугам BD, BG, BI, равны между собою, так как все они возникли из одного и того же момента, приобретенного, как показывает опыт, при падении по дуге СВ; отсюда ясно, что все моменты, развивающиеся при падении по дугам DB, GB и IB, равны между собой.

Сагредо. Рассуждение это представляется мне столь убедительным, а опыт столь хорошо подтверждающим утверждение, что последнее вполне заслуживает признания — так, как если бы оно было доказано.

Сальвиати. Мне не хотелось бы, синьор Сагредо, чтобы мы задерживались на этом и, особенно, на том, что указанным положением мы будем пользоваться при рассмотрении движения, которое происходит по плоским поверхностям, а не по кривым, при движении по которым ускорение происходит по степеням, значительно отличающимся от тех, которые мы принимаем для движения по плоским поверхностям. Опыт учит нас, что при падении по дуге СВ тело приобретает такой момент, что может подняться на ту же высоту по любой из дуг BD, BG, BI; но мы не в состоянии с такой же очевидностью показать, что то же самое произойдет, если шарик самой совершенной формы будет двигаться по гладким плоским поверхностям, наклоненным, как хорды тех же дуг. Так как эти плоские поверхности образуют в точке В угол, то ясно, что шарик, падающий по хорде СВ, встретит сопротивление плоскостей, наклоненных, как хорды BD, BG, BI, потеряет от удара о них часть своего импульса и не сможет, скользя по ним, подняться на высоту линии CD. Если допустить, однако, что такое препятствие, встречающееся при опыте, устранено, то, как мне кажется, легко представить себе мысленно, что импульс (мощь которого получается за счет высоты падения) будет способен поднять тело на ту же высоту. Итак, примем пока изложенное как постулат, абсолютная правильность которого обнаружится впоследствии, когда мы ознакомимся с выводами из этой гипотезы, точно согласующимися с данными опыта. Предположив этот единственный принцип, Автор переходит к доказательству предложений, являющихся выводами из него. Первое из них таково:

Теорема   I.   Предложение   I

Время, в течение которого тело, вышедшее из состояния покоя и движущееся равномерно-ускоренно, проходит некоторое расстояние, равно времени, в течение которого это же расстояние было бы пройдено тем же телом при равномерном движении, скорость которого равняется половине величины наибольшей конечной скорости, достигаемой при первом равномерно-ускоренном движении.  {249} 

Пусть линия АВ представляет время, в течение которого тело, выйдя из состояния покоя в точке С, проходит при равномерно-ускоренном движении расстояние CD. Отметим, далее, степени скорости, приобретаемые телом в конце каждой отдельной частицы времени АВ; степени эти, постепенно увеличиваясь, возрастают в конце до величины ЕВ, которую и отложим на линии, перпендикулярной к АВ; соединив точки А и Е и проведя линии, параллельные ЕВ на равных друг от друга расстояниях, отложенных на АВ, мы представим таким способом возрастающие степени скорости, начиная от А. Разделим линию ЕВ пополам в точке F и проведем линии FG и AG, параллельные АВ и, соответственно, BF. Параллелограмм AGFB будет равен треугольнику АЕВ, так как линия GF делит АЕ пополам в точке I; если поэтому продолжить параллельные линии, заключенные в треугольнике АЕВ, до линии IG, то сумма параллельных линий, заключенных в четырехугольнике, будет равна сумме тех же линий, заключенных в треугольнике АЕВ; в самом деле, сумма тех из них, кои заключены в треугольнике IEF, равна сумме заключенных в треугольнике GIA, остающиеся же части, заключенные в трапеции AIFB, являются общими. Так как каждому отдельному времени АВ соответствует и отдельная точка на линии АВ, а проведенные через эти точки параллели, заключенные в треугольнике АЕВ, представляют возрастающие степени скорости, в то время как такие же параллели, заключенные внутри параллелограмма, представляют равную им совокупность равномерных скоростей, то ясно, что все моменты скорости ускоренного движения представлены возрастающими параллельными линиями треугольника АЕВ, а равномерного движения — аналогичными линиями параллелограмма GB; то, чего недостает моментам в первое время движения (т. е. моментам, представленным параллельными линиями, заключенными в треугольнике AGI), возмещается моментами, представленными параллельными линиями треугольника IEF. Отсюда следует, что два тела пройдут равные расстояния в одно и то же время, если одно, выйдя из состояния покоя, будет двигаться равномерно-ускоренно, а другое просто равномерно со скоростью, равною половине максимальной степени скорости, достигнутой при ускоренном движении, что и требовалось доказать¹².

Теорема   II.   Предложение   II

Если тело, выйдя из состояния покоя, падает равномерно-ускоренно, то расстояния, проходимые им за определенные промежутки времени, относятся между собою, как квадраты времени.  {250} 

Изобразим промежуток времени, начинающийся с какого-либо мгновения А, линией АВ и представим себе, что AD и АЕ суть некоторые части этого промежутка времени. Пусть, далее, HI будет линией, вдоль которой падающее тело, вышедшее из состояния покоя, движется равномерно ускоренно, HL — расстояние, пройденное в течение первого промежутка времени АВ и НМ — расстояние, пройденное IL в промежуток времени АЕ. Утверждаю, что отношение расстояния МН к расстоянию HL равно двойному отношению времени ЕА ко времени AD, другими словами, что отношение расстояний МН, HL равно отношению квадратов ЕА, AD. Проведем линию АС под любым углом к АВ и через точки D и E последней проведем параллельные линии DO и ЕР, при этом DO будет представлять максимальную степень скорости, приобретенную к мгновению D времени AD, а РЕ — максимальную степень скорости, приобретенную к мгновению Е времени АЕ. Как уже было доказано выше, расстояния, пройденные в одном случае при равномерно ускоренном движении, а в другом при просто равномерном движении, происходящем со скоростью, равной половине максимальной конечной скорости, приобретенной при ускоренном движении, равны между собою. Отсюда ясно, что расстояния МН и LH имеют такую же величину, какую имели бы расстояния, пройденные при равномерном движении со скоростями, равными половинам РЕ и OD, в течение промежутков времени ЕА и DА. Следовательно, если бы можно было доказать, что линии МН и HL относятся между собою, как квадраты ЕА и DA, то было бы доказано и наше предложение. Но в четвертом предложении первой части было указано, что при равномерном движении расстояния находятся в составном отношении скоростей и промежутков времени. В данном случае отношение скоростей равняется отношению промежутков времени (ибо отношение половины РЕ к половине OD или РЕ к OD равно отношению АЕ к AD); следовательно, расстояния относятся, как квадраты промежутков времени, что и требовалось доказать.

Отсюда вытекает, что расстояния относятся и как квадраты максимальных конечных скоростей, т. е. РЕ и OD, ибо отношения РЕ к OD и ЕА к DA равны.

Следствие I

Из вышеизложенного следует, что если от начального мгновения движения взять равные промежутки времени, как AD, DE, EF, FG, в течение которых телом пройдены расстояния HL, LM, MN, NI, то последние будут относиться между собою, как ряд последовательных нечетных чисел, т. е. как 1, 3, 5, 7. Действительно, именно такое отношение существует между разностями квадратов линий произвольной длины, постепенно увеличивающихся на длину наименьшей из этих линий, другими словами, разностями между квадратами всех чисел, начиная с единицы. Таким образом, в то время как скорость возрастает в равные промежутки времени как простой ряд последовательных чисел, расстояния, пройденные за те же промежутки времени, относятся между собой как последовательные нечетные числа¹³.

Сагредо. Приостановите, пожалуйста, на минуту ваше чтение, так как мне хочется поделиться с вами одной мыслью, пришедшей мне в голову. Для того чтобы лучше изложить ее и сделать более ясной как для самого себя, так и для вас, я сделаю небольшой рисунок. Пусть линия AI изображает промежуток времени, первым мгновением которого является А; через А я провожу прямую линию AF под любым углом к первой, соединяю конечные точки I и F, разделяю время AI пополам в точке С и провожу через нее линию СВ, параллельную IF. Рассматривая СВ как максимальную степень скорости, каковые степени, начиная с мгновения А выхода тела из состояния покоя, идут, возрастая совершенно так же, как линии, параллельные ВС и проведенные в треугольнике ABC (т. е. растут в соответствии с возрастанием времени), я принимаю без дальнейших доказательств, основываясь на предшествующих рассуждениях, что пространство, пройденное телом, падающим с подобной возрастающей скоростью, равно тому пространству, которое оно пройдет, если будет двигаться в продолжение того же времени АС равномерно, и степень его скорости будет равна ЕС, т. е. половине ВС. Пойдем теперь далее и представим себе, что тело, движущееся равномерно ускоренно, достигает точки С и обладает степенью скорости ВС. Ясно, что если бы оно продолжало дальнейшее движение с тою же степенью скорости ВС без ускорения, то в следующий промежуток времени CI оно прошло бы расстояние, вдвое большее того, которое оно может пройти в равный промежуток времени АС, двигаясь с равномерной скоростью ЕС, равной  {252}  половине ВС. Так как, однако, тело падает со скоростью, постоянно и равномерно увеличивающейся в равные промежутки времени, то в течение следующего промежутка времени к степени скорости его СВ будут прибавляться наращения, соответствующие параллелям треугольника BFG, равного треугольнику ABC. Таким образом, прибавив к степени скорости GI половину скорости FG — наибольшей из приобретенных при ускоренном движении и выражающихся параллелями треугольника BFG,— мы будем иметь степень скорости IN, с которою тело двигалось бы равномерно в течение промежутка времени CI. Так как IN втрое больше ЕС, то выходит, что расстояние, пройденное за второй промежуток времени CI, должно быть в три раза более того, которое пройдено за первый промежуток времени СА. И если мы представим себе, что к AI прибавляется следующий равный промежуток времени IO, а треугольник возрастает до АРО, го ясно, что если бы движение продолжалось в течение всего времени IO со степенью скорости IF, приобретенной при ускоренном движении за время AI, то расстояние, пройденное за время IO, было бы равно учетверенному расстоянию, пройденному в первый промежуток времени АС, так как степень скорости IF в четыре раза превышает ЕС. Но нарастание ускоренного движения идет в треугольнике FPQ совершенна так же, как это имело место в треугольнике ABC, и, приведенное к соответственному равномерному движению, дает приращение, равное ЕС; поэтому, прибавляя QR, равное ЕС, мы получаем общую скорость равномерного движения в течение времени IO, в пять раз превышающую скорость равномерного движения в течение первого периода АС; следовательно, и пройденное пространство будет в пять раз более пройденного в течение первого промежутка времени АС. Таким образом, из этого простого вычисления мы видим, что расстояния, проходимые в равные промежутки времени телом, вышедшем из состояния покоя и движущимся со скоростями, нарастающими в соответствии со временем, относятся между собою, как нечетные числа 1, 3, 5 и т. д.; если же мы сложим пройденные пути, то найдем, что в удвоенное время будет пройден путь, в четыре раза больший, в утроенное время — путь, в девять раз больший и т. д.; вообще, пройденные пути будут относиться между собою как квадраты промежутков времени.

Симпличио. Простое и ясное рассуждение синьора Сагредо понравилось мне, право, много более, нежели несколько неясные для меня доказательства нашего Автора. Теперь я в достаточной мере убежден, что явление должно происходить именно так, если только принять указанное определение равномерно-ускоренного движения. Но действительна ли таково ускорение, которым природа пользуется при движении тяжелых падающих тел, остается для меня сомнительным; поэтому для поучения меня и других, мне подобных, не мешало бы теперь привести  {253}  несколько опытов, из числа многих проделанных, которые показали бы, что различные случаи падения тел совпадают со сделанными заключениями.

Сальвиати. Вы, как подлинный ученый, предъявляете совершенно основательное требование; оно особенно уместно в отношении таких наук, в которых для объяснения законов природы применяются математические доказательства; таковы, например, перспектива, астрономия, механика, музыка и другие аналогичные науки; в них опыт, воспринимаемый чувствами, подтверждает принципы, являющиеся основою для всех дальнейших построений. Однако мне не хотелось бы, чтобы у вас создалось впечатление, будто мы слишком подробно остановились на первом и основном положении, на котором покоится колоссальное здание бесчисленных выводов, лишь в малой доле затронутых нашим Автором в настоящем сочинении; он сделал достаточно уже одним тем, что открыл пытливым умам запертые до сего времени двери. Что касается опытов, то Автор не упустил из виду их произвести, и чтобы убедиться в том, что ускорение естественно падающих тел происходит описанным выше образом, я много раз в обществе нашего Автора производил следующий опыт.

Вдоль узкой стороны линейки или, лучше сказать, деревянной доски, длиною около двенадцати локтей, шириною пол-локтя и толщиною около трех дюймов, был прорезан канал, шириною немного больше одного дюйма. Канал этот был прорезан совершенно прямым и, чтобы сделать его достаточно гладким и скользким, оклеен внутри возможно ровным и полированным пергаментом; по этому каналу мы заставляли падать гладкий шарик из твердейшей бронзы совершенно правильной формы. Установив изготовленную таким образом доску, мы поднимали конец ее над горизонтальной плоскостью когда на один, когда на два локтя и заставляли скользить шарик по каналу (описанному выше), отмечая способом, о котором речь будет идти ниже, время, необходимое для пробега им всего пути; повторяя много раз один и тот же опыт, чтобы точно определить время, мы не находили никакой разницы даже на одну десятую времени биения пульса. Точно установив это обстоятельство, мы заставляли шарик проходить лишь четвертую часть длины того же канала; измерив время его падения, мы всегда находили самым точным образом, что оно равняется всего половине того, которое наблюдалось в первом случае. Производя далее опыты при различной иной длине пути, сравнивая время прохождения всей линейки со временем прохождения половины, двух третей, трех четвертей или любых иных частей ее и повторяя опыты сотни раз, мы постоянно находили, что отношение пройденных путей равно отношению квадратов времени их прохождения при всех наклонах плоскости, т. е. канала, по которому скользил шарик. При этом мы наблюдали также,  {254}  что промежутки времени пробега пути при различных наклонах относятся между собою именно так, как утверждает и доказывает далее Автор. Что касается способа измерения времени, то мы пользовались большим ведром, наполненным водою и подвешенным наверху; в дне ведра был проделан узкий канал; через этот последний вода изливалась тонкой струйкой и собиралась в маленьком бокале в течение всего того времени, как шарик спускался по всему каналу или части его; собранные таким образом количества воды каждый раз взвешивались на точнейших весах; разность и отношение веса воды для разных случаев давали нам разность и отношение времен падения, и притом с такою точностью, что, как я уже упоминал, повторяя один опыт много и много раз, мы не могли заметить сколько-нибудь значительных отклонений.

Симпличио. Я получил бы большое удовольствие, если бы присутствовал при подобных опытах; но вполне полагаясь на ваше умение произвести такие опыты и правильность передачи их результатов, я успокаиваюсь и принимаю последние за правильные и истинные.

Сальвиати. В таком случае мы можем возобновить наше чтение и продвигаться далее¹⁴.

Следствие II

Во-вторых, следует, что если взять от исходной точки движения два любых расстояния, пройденных в какие угодно промежутки времени, то эти промежутки времени будут относиться между собою как одно из пройденных расстояний к средней пропорциональной между обоими этими расстояниями. Возьмем от исходной точки S два расстояния ST и SV и построим их среднюю пропорциональную SX. Тогда время падения тела на пространство SТ будет относиться во времени падения на пространство SV как ST к SX.

В самом деле, так как уже доказано, что пройденные расстояния относятся между собою как квадраты соответствующих промежутков времени, отношение же расстояния VS к ST равно квадрату отношения VS к SX, то ясно, что промежутки времени, затраченные на прохождение расстояний SV и ST, относятся между собой как расстояния VS и SX.

Замечание

То, что доказано в отношении падения тел в вертикальном направлении, справедливо и в отношении падения по любым наклонным плоскостям; и в этом случае скорость увеличивается по тому же закону, т. е. в соответствии с ростом времени, иными словами, как последовательный, ряд целых чисел¹⁵.  {255} 

Сальвиати. На этом, синьор Сагредо, да будет мне позволено, даже с опасностью наскучить синьору Симпличио, прервать на время чтение, чтобы иметь возможность добавить по памяти еще кое-что, основанное на изложенном и доказанном выше, а также на некоторых замечаниях и заключениях нашего Академика, для дальнейшего подтверждения принципов, выведенных нами из рассуждений и опытов; особенно важное значение для геометрических заключений имеет доказательство одной элементарной леммы, относящейся к импульсам.

Сагредо. Если результатом будет приобретение тех сведений, которые вы, синьор, обещаете сообщить, то нет такого времени, какое я не согласился бы потратить на углубление и укрепление познаний в области учения о движении. Что касается меня, то я не только уступаю вашему желанию, но даже усиленно прошу вас поскорее удовлетворить мою любознательность, вами возбужденную. Я надеюсь, что и синьор Симпличио думает так же, как и я.

Симпличио. Вполне присоединяюсь к тому, что вами сказано.

Сальвиати. Поэтому рассмотрим с вашего разрешения прежде всего одно обстоятельство, всем хорошо известное, а именно, что моменты или скорости одного и того же движущегося тела различны при различном наклоне плоскости и что наибольшими из них являются те, при которых движение совершается по линии, перпендикулярной к горизонту; при всяком другом наклоне скорости уменьшаются по мере того, как плоскость удаляется от вертикального положения и становится все менее наклонной. Таким образом, импульс, способность, энергия или, скажем, момент падения уменьшаются в движущихся телах плоскостью, находящейся под ними, на которую они опираются и по которой опускаются.

Для большей ясности представьте себе линию АВ проведенной перпендикулярно к горизонту АC, а затем проведенной с различным наклоном к горизонту, как AD, AE, AF и т. д. Утверждаю, что тело обладает наибольшим импульсом к падению вдоль вертикали ВА, меньшим — вдоль линии DA, еще меньшим — вдоль ЕА и т. д.; импульс постепенно уменьшается по мере приближения к с наименее наклонной линии AF и совершенно исчезает при достижении горизонтали СА; здесь тело оказывается индиферентным к движению и покою, не имея само по себе никакой склонности к перемещению в какую-либо сторону и не проявляя никакого сопротивления передвижению. В самом деле, если невозможно, чтобы тяжелое тело или соединение таковых поднялось само по себе вверх, удаляясь от общего центра, к которому стремятся все тяжелые тела, то  {256}  одинаково невозможно, чтобы оно само по себе стало двигаться, если его собственный центр тяжести не приближается при этом к общему центру; поэтому, пребывая на горизонтальной плоскости, представляющей собою поверхность, повсюду равно удаленную от общего центра тяжести и потому совершенно лишенную наклона, тело не будет иметь никакого импульса или момента.

В отношении указанного изменения импульса я считаю нужным при вести то, что было пространно и обстоятельно доказано нашим Академиком в старом трактате по механике, написанном им еще в Падуе исключительно для своих учеников. Исследуя природу и удивительные свойства винтовых механизмов, он показал, в каком отношении изменяется импульс при различных наклонах плоскости¹⁶. Возьмем для примера наклонную плоскость AF, один конец которой поднят над горизонтом на высоту FC; импульс тела или момент падения его вдоль этой последней линии является максимальным; спрашивается, в каком отношении находится этот момент к моменту того же тела при падении его по наклонной плоскости FA. Утверждаю, что отношение указанных импульсов равно обратному отношению соответственных длин. Это и есть лемма, которую необходимо предпослать имеющей быть доказанной ниже теореме. Совершенно ясно, что импульс тела к падению столь же велик, как то наименьшее сопротивление или та наименьшая сила, которые достаточны для того, чтобы воспрепятствовать падению и удержать тело; в качестве такой силы или сопротивления, допускающих измерение, я воспользуюсь весом другого тела. Представим себе, что на плоскость FA положено тело G, привязанное к нити, перекинутой через F, к другому концу которой прикреплен груз Н. Заметим себе, что длина пути, проходимого последним при падении или подъеме по вертикали, всегда равна длине пути, проходимого другим телом G при падении или подъеме по наклонной AF, но отнюдь не величине падения или подъема тела G по вертикали, в направлении которой оно (как и все другие тела) производит давление. Это совершенно ясно. Если мы обратимся теперь к треугольнику AFC и будем рассматривать движение тела G хотя бы вверх от А к F, каковое движение составляется из перемещения вдоль горизонтали АС и вертикали CF, то найдем, как уже было упомянуто выше, что горизонталь не оказывает никакого сопротивления движению (ибо при движении по ней ничего не теряется и не приобретается в смысле расстояния от общего центра всех тяжелых тел, каковое при горизонтальной плоскости является неизменным); остается, следовательно, преодолеть лишь сопротивление движению вдоль вертикали CF. Когда, таким образом, тело G, передвигаясь от А до F, преодолевает лишь сопротивление подъему на величину вертикали CF, то другое тело Н неизбежно опускается по вертикали на все расстояние AF, и подобное соотношение их подъема или спуска остается  {257}  неизменным, как бы ни было мало или велико перемещение этих тел (ибо они связаны вместе). Поэтому мы с уверенностью можем утверждать, что когда наступает равновесие и оба тела приходят в состояние покоя, то моменты, скорости и склонность их к движению, т. е. пространства, которые они прошли бы в одинаковые промежутки времени, должны относиться друг к другу обратно их весам, согласно тому, что доказывается для всяких других случаев механического движения. Таким образом, для предотвращения падения тела G достаточно, чтобы тело Н имело вес, во столько раз меньший веса первого тела, во сколько раз длина CF меньше длины FA. Если сделать отношение FA к FC равным отношению весов G и Н, то наступит равновесие, так как тела Н и G будут иметь равные моменты, и движение их прекратится. Так как мы согласились, что импульс, энергия, момент или склонность тела к движению равны силе или минимальному сопротивлению, достаточному, чтобы прекратить движение, и так как оказалось, что тела Н достаточно, чтобы остановить движение тела G, то, следовательно, меньший вес Н, развивающий весь свой момент в направлении вертикали FC, будет точною мерою частичного момента, развиваемого большим весом G в направлении наклонной плоскости FA. Так как, далее, мерою всего момента тяжелого тела G является оно само (ибо для воспрепятствования падению тела по вертикали необходима противодействующая такого же тяжелого тела, лишь бы оно могло двигаться отвесно), то частичный импульс или момент тела G, развиваемый в направлении наклонной плоскости FA, будет относиться к общему и максимальному моменту того же тела G, развиваемому в направлении вертикали FC, как вес Н к весу G, или, по построению, как вертикаль FC, т. е. высота наклонной плоскости FA, к длине ее. Это и есть то, что требовалось доказать в настоящей лемме и что, как увидим ниже, принято нашим Автором как известное во второй части шестого предложения настоящего трактата.

Сагредо. Из изложенного выше, синьор, можно, кажется, легко заключить, оперируя ex aequali обратными пропорциями, что моменты одного и того же тела, развиваемые в направлении плоскостей, имеющих одну и ту же высоту, но различный наклон, как хотя бы FA и FI, находятся в отношении, обратном отношению длин этих плоскостей.

Сальвиати. Совершенно правильное заключение. Покончив с этим вопросом, перейдем к доказательству следующей теоремы: скорости тела, опускающегося естественным движением с одной и той же высоты по плоскостям, имеющим различный наклон, при достижении горизонта всегда равны между собою, если все препятствия устранены¹⁷.

Здесь необходимо прежде всего заметить следующее: если установлено, что тело, выйдя из состояния покоя, движется по плоскости любого  {258}  наклона с возрастающей скоростью и импульсом, увеличивающимся пропорционально времени (согласно определению, данному Автором естественно-ускоренному движению), то, как это было доказано в предыдущем положении, пройденные пространства относятся как квадраты времен, а вместе с тем и как квадраты степеней скорости; каковы будут импульсы первоначального движения, таковы же пропорционально будут и степени скорости, приобретенные в то же самое время, ибо и те и другие возрастают в одно и то же время в одинаковой пропорции.

Пусть теперь АВ — наклонная плоскость, АС — вертикаль или высота подъема последней над горизонтом и СВ — горизонт. Так как мы только что нашли, что импульс тела, движущегося вдоль вертикали АС, относится к импульсу тела, движущегося вдоль наклонной АВ, как АВ к АС, то, взяв на наклонной АВ часть AD, являющуюся третьей пропорциональной к АВ и АС, найдем, что импульс в направлении АС относится к импульсу в направлении АВ или AD как АС к AD; поэтому тело за тот же промежуток времени, за который оно прошло бы вертикаль АС, пройдет по наклонной АВ расстояние AD (ибо моменты относятся как пройденные пути), и степень скорости в точке С будет относиться к степени скорости в точке D как АС к AD. Но скорость в точке В относится к скорости в D как время падения по линии АВ ко времени падения по AD, согласно определению ускоренного движения, время же падения по АВ относится ко времени падения по AD как АС — средняя пропорциональная между ВА и AD — к AD, согласно последнему следствию второго предложения. Таким образом, скорости в точках В и С относятся к скорости в точке D как АС к AD; следовательно, они равны между собой. Этим и доказывается предложенная теорема¹⁸.

Изложенное позволяет нам легко доказать следующее третье предложение Автора, в котором он устанавливает положение, что отношение времени падения по наклонной ко времени падения по вертикали равно отношению между длиною наклонной и ее высотою. Рассуждаем так: если ВА есть время падения по АВ, то время падения по AD на основании второго следствия второго предложения будет средним пропорциональным между двумя последними величинами, т. е. равно АС; но АС, являясь временем падения по AD, будет в то же самое время и временем падения по АС, ибо AD и АС проходятся телом в одинаковое время; таким образом, если ВА является временем падения по АВ, то АС будет временем падения по АС; следовательно, отношение АВ к АС одинаково с отношением времени падения по АВ ко времени падения по АС.  {259} 

Подобным же образом доказывается, что время падения по АС относится ко времени падения по другой наклонной АЕ как АС к АЕ; следовательно, ex aequali время падения по АВ относится ко времени падения по АЕ как АВ к АЕ и т. д.

Рядом аналогичных заключений, выведенных из той же теоремы, можно было бы, как это сейчас увидит синьор Сагредо, непосредственно доказать шестое предложение Автора. Оставим, однако, в стороне отклонения, показавшиеся нам, быть может, слишком скучными, хотя они и являются весьма полезными при рассмотрении вопроса о движении.

Сагредо. Напротив, я очень доволен и считаю их необходимыми для более глубокого понимания предмета.

Сальвиати. Итак, продолжим чтение текста.

Теорема III. Предложение III

Если одно и то же тело, выйдя из состояния покоя, движется по наклонной плоскости и вертикали, равной высоте наклонной плоскости, то времена падения тела относятся между собою как длина наклонной плоскости к длине вертикали.

Пусть АС будет наклонной плоскостью и АВ — вертикалью, равной заодно высоте подъема наклонной плоскости над горизонтом СВ. Утверждаю, что время падения тела по плоскости АС относится ко времени его падения по вертикали АВ как длина плоскости АС к длине вертикали АВ. Проведем несколько параллельных горизонту линий DG, EI, FL и заметим, что, согласно доказанному выше, скорости, приобретаемые телом при падении из точки А и достижении им точек G и D, равны между собою, так как приближение к горизонту одинаково; подобным же образом равны и скорости в точках I и Е, L и F. Если возьмем не только эти параллельные линии, но и все другие, которые возможно провести между АВ и АC, то во всех случаях моменты или степени скорости в конечных точках этих параллельных линий будут одинаковыми. Отсюда заключаем, что оба пути АС и АВ проходятся с одинаковыми степенями скорости. Но выше уже было доказано, что если два расстояния проходятся с одинаковыми степенями скорости, то отношение пройденных расстояний равно отношению промежутков времени; следовательно, время падения тела по АС относится ко времени падения по АВ как длина АС к высоте АВ, что и требовалось доказать.  {260} 

Сагредо. Мне кажется, то же самое можно было бы доказать достаточно ясно и кратко на основании положения, что расстояния, проходимые вдоль АС и АВ в случае равномерно ускоренного движения, равны путям, проходимым в случае простого равномерного движения со скоростью, равною половине максимальной, т. е. СВ; так как оба расстояния АС и АВ проходятся за промежутки времени, равные таковым же при равномерном движении, то на основании предложения первого ясно, что времена падения относятся между собою как пройденные пути¹⁹.

Следствие

Отсюда следует, что времена падения по плоскостям с различными наклонами, но одинаковою высотою, относятся между собою как длины плоскостей. В самом деле, если имеем любую плоскость AM, поднимающуюся до точки А и оканчивающуюся на том же горизонте СВ, то можно доказать таким же путем, что времена падения по AM и по АВ относятся между собою как линии AM и АВ. Но времена падения по АВ и АС относятся между собою как линии АВ и АС; следовательно, ex aequali времена падения по AM и АС относятся между собою как AM и АС.

Теорема   IV.   Предложение   IV

Времена падения по плоскостям, имеющим одинаковую длину, но различный наклон, относятся между собою обратно корням квадратным из их высот.

Пусть ВА, ВС — две плоскости, имеющие общую начальную точку В и одинаковую длину, но различный наклон, и АЕ, CD — соответствующие им горизонтальные линии, пересекающие вертикаль BD. Высотою плоскости ВА пусть будет линия BE, а плоскости ВС — линия BD; средней пропорциональной между этими высотами DB, BE пусть будет линия BI; таким образом, отношение DB к BI будет, очевидно, равно корню квадратному из отношения DB к BE. Утверждаю, что времена падения по плоскостям ВА и ВС находятся между собою в обратном отношении DB и BI, так что времени падения по ВА соответствует высота BD другой плоскости ВС, времени же падения по ВС — высота BI. Таким образом, надо доказать, что времена падения по ВА и ВС относятся между собою как DB к BI. Проведем IS, параллельную  {261}  DC; как уже было доказано, времена падения по наклонной плоскости ВА и вертикали BE относятся между собою как расстояния ВА и BE; но времена падения по BE и BD относятся между собою как BE к BI, а времена падения по BD и ВС — как расстояния BD и ВС или как BI и BS; следовательно, ex aequali времена падения по ВА и ВС относятся как ВА к BS или как СВ к BS; но СВ относится к BS, как DB к BI. Таким образом, предложение доказано²⁰.

Теорема   V.   Предложение   V

Отношение времен падения по плоскостям, различающимся по наклону, длине и высоте, составляется из отношения длин и обратного отношения корней квадратных из высот наклонных плоскостей.

Пусть АВ и АС плоскости с различным наклоном, длины и высоты которых не равны. Утверждаю, что отношение времени падения по АС и АВ составляется из отношения расстояний АС и АВ и корня квадратного из обратного отношения их высот. Проведем вертикаль AD, пересекаемую горизонталями BG и CD, и пусть AL будет средней пропорциональной между DA и AG; проведенная через точку L параллель пересечет плоскость АС в точке F, причем получится отрезок AF, являющийся средней пропорциональной между СА и АЕ. Так как времена падения по АС и АЕ относятся между собою, как линии FA и АЕ, времена же падения по АЕ и АВ,— как те же самые линии АЕ и АВ, то ясно, что времена падения по АС и АВ относятся между собою, как AF к АВ. Поэтому остается доказать, что отношение AF к АВ составляется из отношения СА к АВ и отношения GA к AL, каковое отношение представляет собою корень квадратный из обратного отношения высот DA и AG. Это нетрудно доказать, подставив СА между FA и АВ: отношение FA к АС равно отношению LA к AD или GA к AL, каковое является корнем квадратным из отношения высот GA и AD, отношение же СА к АВ есть отношение длин. Таким образом, предложение доказано.

Теорема   VI.   Предложение   VI

Если из высшей точки круга, построенного над горизонтом, проведены различные наклонные плоскости, доведенные до окружности, то времена падения по ним одинаковы.

Пусть над горизонталью GH построен круг, через общую точку их, т. е. точку соприкосновения круга с горизонталью, проходит вертикальный  {262}  диаметр FA, и из высшей точки круга А проведены к любым точкам окружности наклонные плоскости АВ, АС. Утверждаю, что время падения по ним одинаково. Проведем линии BD, СЕ перпендикулярно к диаметру, и пусть средней пропорциональной между высотами ЕА и AD будет AI. Так как прямоугольники FAE и FAD²¹ равны квадратам АС и АВ и, кроме того, прямоугольник FAE относится к прямоугольнику FAD

как ЕА к AD, то, следовательно, квадраты СА и АВ относятся между собою, как линии ЕА и AD. Так как, далее, ЕА и DA относятся между собою, как квадрат IA к квадрату AD, то квадраты линий СА и АВ относятся между собою, как квадраты линий IA и AD, а линии СА и АВ — как линии IA и AD. Но выше уже было доказано, что отношение времени падения по АС и АВ составляется из отношений СА к АВ и DA к AI, последнее из которых равно отношению ВА к АС. Следовательно, отношение времени падения по АС ко времени падения по АВ слагается из отношений СА к АВ и ВА к АС, т. е. отношение времен падения переходит в равенство, чем и доказывается теорема.

То же самое доказывается на основании положений механики, что тело проходит в одинаковое время расстояния СА и DA, изображенные на следующем рисунке. Пусть даны: линия ВА, равная DA, и перпендикуляры BE и DF. Из основ механики известно, что момент веса, действующий в случае наклонной плоскости ABC, относится к своему полному моменту, как BE к ВА, а момент того же веса, действующий в случае наклонной плоскости AD, относится к своему полному моменту, как DF к DA или ВА; отсюда следует, что моменты одного и того же веса, действующие в случае наклонных плоскостей DA и ABC, относятся между собою, как линии DF и BE. Расстояния, проходимые в равное время по наклонным плоскостям СА и DA, будут относиться между собой, как линии BE и DF, согласно предложению второму книги первой. Но отношение  {263}  BE к DF равно отношению АС к AD, что сейчас будет доказано; следовательно, движущееся тело проходит расстояния СА и DA в одинаковые промежутки времени.

То, что BE относится к DF, как СА к DA, доказывается следующим образом.

Проведем линию CD и линии, параллельные AF и проходящие через точки D и В, т. е. линию DGL, пересекающую линию СА в точке I, и линию ВН; при этом угол ADI будет равен углу DCА, так как дуги окружности LA и DA, соответствующие этим углам, будут равны; так как, далее, угол DAC будет общим, то треугольники CAD и DAI будут равноугольными, и стороны их, прилегающие к равным углам, будут пропорциональными, т. е. СА будет относиться к AD, как DA к AI или ВА к AI, или НА к AG, т. е. как BE к DF, что и требовалось доказать. То же самое можно доказать еще короче следующим образом.

Пусть на горизонтали АВ построен круг, диаметр которого CD перпендикулярен к горизонту. Из высшей точки его D проведем к какой-либо точке окружности наклонную плоскость DF. Утверждаю, что время падения тела по DF равно времени падения его по диаметру DC. Проведем линию FG, параллельную горизонту АВ и, следовательно, перпендикулярную к диаметру DC, и соединим точки F и С прямой. Так как время падения по DC относится ко времени падения по DG, как средняя пропорциональная между CD и DG к самой DG,— средней же пропорциональной между CD и DG является DF (ибо угол DFC в круге прямой, и FG перпендикулярна к DC),— то времена падения по DC и DС будут относиться между собою, как линии FD и DG. Но по доказанному ранее, отношение времен падения по DF и DG равно отношению DF к DG. Таким образом, времена падения по DF и DC будут иметь одно и то же отношение ко времени падения по DG, т. е. будут равны между собою. Подобным же образом можно доказать, что, если провести из нижнего конца диаметра С хорду СЕ, а также линию ЕН, параллельную горизонту, и соединить точки Е и D, то время падения по ЕС будет равно времени падения по диаметру DC.

Следствие I

Отсюда следует, что времена падения вдоль всех хорд, проведенных из точки С или D, одинаковы.

Следствие II

Далее следует, что если из какой-либо точки проведены вертикаль и наклонная плоскость, времена падения по коим равны, то плоскость эта расположена в полукруге, диаметром которого является указанная вертикаль.

Следствие III

Также следует, что времена падения по наклонным плоскостям равны между собою в том случае, когда высоты равных частей этих плоскостей относятся между собою, как длины плоскостей, ибо было доказано, что времена падения по СА и DA предпоследней фигуры будут равны между собою, если высота части АВ, равной AD, т. е. линия BE, будет относиться к высоте DF как СА к DA.

Сагредо. Приостановите пожалуйста, синьор, на короткое время чтение трактата, чтобы дать мне возможность разобраться в одном соображении, которое только что пришло мне на ум; если оно не заблуждение, то оно подобно одной из тех изящных игр, с которыми мы часто встречаемся в природе и обиходе.

Ясно, что если из какой-либо точки горизонтальной плоскости проведено во всех направлениях бесконечно много прямых линий, и по каждой из последних с одинаковой скоростью движется по одной точке, то, в случае начала движения всех их от указанной выше точки в одно и то же мгновение, все эти движущиеся точки образуют последовательно окружности кругов все большего и большего размера, расположенных концентрически вокруг первоначальной точки, благодаря тому, что скорости движения их одинаковы. То же мы имеем в случае волн, возникающих в стоячей воде, после того как в нее упадет сверху камень, вызывающий своим ударом движение во всех направлениях, причем точка падения камня остается центром всех последовательно увеличивающихся кругов, образуемых волнами. Если же мы представим себе вертикальную плоскость, возьмем на ней какую-либо точку, примем ее за наивысшую и представим себе, что из этой точки исходит бесконечное число линий, наклоненных под всевозможными углами, по которым падают тяжелые тела, каждое, следуя законам естественно-ускоренного движения и со скоростью, соответствующей данному наклону, то, спрашивается, по каким линиям увидим мы располагающимися эти тела, если допустить, что они все время остаются видимыми? В этом-то и заключается чудесное, ибо на основании предшествующих доказательств можно, мне кажется, утверждать с уверенностью, что мы увидим их постоянно располагающимися по окружностям кругов, постоянно  {265}  увеличивающихся по мере того, как тела эти при своем падении последовательно удаляются от высшей точки, где получило начало их движение. Чтобы лучше пояснить сказанное, возьмем наивысшую точку А, из которой проведем произвольно наклонные линии AF и АН и вертикаль АВ, а затем опишем из точек С и D последней круги, проходящие через точку А и пересекающие наклонные линии и вертикаль в точках F, Н, В и Е, G, I. Из предшествующих доказательств ясно, что когда одно из тел, вышедших одновременно из точки А и спускающихся по соответствующим линиям, будет находиться, например, в точке Е, то другое тело будет находиться в G, а третье — в I; продолжая опускаться, они в один и тот же момент придут в аналогичные точки F, Н и В; при продолжении движения бесчисленное множество точек, перемещающихся по бесконечному числу наклонных линий, всегда будет располагаться по окружности одного и того же круга, увеличивающегося до бесконечности. Таким образом, из двух родов движения, коими пользуется природа, возникает бесконечное множество кругов, обладающих удивительными своеобразными особенностями. В первом случае около одной точки рождается и распространяется бесчисленное множество концентрических кругов; во втором — образуется бесчисленное множество эксцентрических кругов, все окружности которых соприкасаются между собой в одной и той же наивысшей точке. Одни рождаются при движении равномерном и одинаковом; другие — при движении неодинаковом и отличном для каждого из тел, передвигающихся по бесчисленным, различно наклоненным линиям. Прибавим, далее, что если мы представим себе линии проведенными из двух упомянутых начальных точек не только в двух плоскостях — горизонтальной и вертикальной,— но по всем направлениям в пространстве, то подобно тому, как ранее мы видели круги, рождающиеся из одной точки и все увеличивающиеся, мы увидим здесь образование бесконечно многих сфер или, лучше сказать, одной сферы, расширяющейся до бесконечности и притом двумя способами, именно, с начальной точкой движения либо в центре, либо на поверхности всех сфер.

Сальвиати. Построение, действительно, прекрасное и достойное вашего дарования, синьор Сагредо.

Симпличио. Я вполне представляю себе образование кругов и сфер двумя способами, в соответствии с двумя видами естественного движения, хотя доказательство происхождения этих фигур, в случае ускоренного движения, осталось для меня не совсем понятным. Во всяком случае, возможность приписать начало движения как центральной  {266}  точке, так и наивысшей точке сферической поверхности, заставляет меня думать, что в этих правильных и удивительных построениях может заключаться некая великая тайна — я подразумеваю тайну сотворения мира (который, как полагают, имеет форму сферы) и первоначальной причины.

Сальвиати. Я не возражаю против такого предположения. Но столь глубокие соображения относятся уже к учениям более высоким, чем наше. Для нас будет достаточно, если мы уподобимся менее искусным рабочим, выламывающим и добывающим из карьеров мрамор, из которого впоследствии опытные скульпторы могут создать удивительные образы, скрывавшиеся ранее под грубой и бесформенной корой. Итак, с вашего позволения, будем продолжать наше чтение.

Теорема   VII.   Предложение   VII

Если высоты двух наклонных плоскостей относятся между собою как квадраты длин, то последние проходятся телом, вышедшим из состояния покоя, в одинаковое время.

Пусть даны две плоскости АЕ и АВ, имеющие различную длину и различный наклон, и высоты их FA и DA; пусть, далее, отношение FA и DA равняется отношению квадратов АЕ и АВ. Утверждаю, что время падения из начальной точки покоя А одинаково для обоих плоскостей АЕ и АВ. Проведем параллельные горизонтальные линии EF и DB, из которых последняя пересекает АЕ в точке G. Так как отношение FA и AD равно отношению квадратов ЕА и АВ, a FA относится к AD, как ЕА к AG, то отношение ЕА и AG равно отношению квадратов ЕА и АВ; следовательно, АВ есть средняя пропорциональная между ЕА и AG. Так как, далее, время падения по АВ относится ко времени падения по AG, как АВ к AG, а время падения по AG относится ко времени падения по АЕ, как AG к средней пропорциональной между AG и АЕ, т. е. к АВ, то, следовательно, ex aequali время падения по АВ относится ко времени падения по АЕ, как АВ к самой себе; другими словами, времена падения равны между собою, что и требовалось доказать.

Теорема   VIII.   Предложение   VIII

Если плоскости, наклонные к горизонту, располагаются в одном и том же круге, то времена падения по тем из них, кои оканчиваются у верхнего  {267}  или нижнего конда диаметра, равны между собою и равны времени падения вдоль означенного диаметра; времена же падения по другим плоскостям короче, если они не пересекают диаметра, и длиннее, если они его пересекают. Пусть АВ будут вертикальным диаметром круга, построенного на горизонтальной линии. Ранее было уже доказано, что времена падения по плоскостям, оканчивающимся в точках А или В окружности, равны между собою. Время падения по линии DF, не достигающей диаметра, должно быть короче; в самом деле, плоскость DB длиннее и имеет меньший наклон, нежели DF; поэтому время падения по DF короче, чем по DB или же по АВ. Для плоскости, пересекающей диаметр, как хотя бы СО, время падения будет, наоборот, продолжительнее, ибо она длиннее и менее наклонна, нежели СВ. Теорема, таким образом, доказана.

Теорема   IX.   Предложение   IX

Если из какой-либо точки горизонтальной линии проведены две произвольные наклонные плоскости, пересеченные линией, образующей с каждой из них угол, равный углу, образуемому другой наклонной плоскостью с горизонтом, то времена падения от начальной точки до точек пересечения наклонных плоскостей с указанной линией равны между собою.

Пусть из точки С горизонтальной линии X проведены две произвольные наклонные плоскости CD и СЕ и в какой-либо точке линии CD построен угол CDF, равный углу ХСЕ; линия DF пересечет плоскость СЕ в точке F таким образом, что углы CDF и CFD будут соответственно равны углам ХСЕ и LCD. Утверждаю, что времена падения по линиям CD и CF будут равны. То, что углы CFD и DCL равны (в случае равенства углов CDF и XCE), доказывается следующим образом. Отняв общий угол DCF как от суммы трех углов треугольника CDF, равной двум прямым, так и от равной суммы углов, расположенных при точке С вниз от линии LX, получим, что остающиеся углы CDF и CFD треугольника равны  {268}  вместе углам ХСЕ и LCD; но угол CDF равен углу ХСЕ по построению; следовательно, и остающийся угол CFD равен остающемуся углу DCL. Отложим теперь линию СЕ, равную CD, и проведем через точки D и Е перпендикуляры DA и ЕВ к горизонтальной линии XL, а из точки С — линию CG, перпендикулярную к DF. Так как угол CDG равен углу ЕСВ, а углы DGC и СВЕ прямые, то треугольники CDG и СВЕ будут равноугольными и DC будет относиться к CG, как СЕ к ЕВ; но DC равняется СЕ, следовательно, и СG равняется BE. Так как, далее, в треугольниках DАС и CGF углы DC А и CAD равны углам GFC и CGF, то FC относится к CG, как CD к DA или, после перестановки²², DC относится к FC, как DA к CG, т. е. к BE. Высоты плоскостей CD и CE относятся между собою, следовательно, как длины DC и СЕ; поэтому, согласно следствию первому предложения шестого, времена падения по ним будут одинаковы, что и требовалось доказать.

Другое доказательство. Проведем FS перпендикулярна к горизонту AS. Так как треугольники CSF и DGC подобны, то SF относится к FC, как GC к CD. Так как, далее, треугольник CFG подобен треугольнику DC А, то FC относится к CG, как CD к DA; следовательно, ex aequali, и SF будет относиться к CG, как CG к DA. Таким образом, CG будет средней пропорциональной между SF и DA, и отношение DA к SF будет равно отношению квадрата DA к квадрату CG. Так как, с другой стороны, треугольник ACD подобен треугольнику CGF, то DA относится к DC, как GC к CF, откуда путем перестановки получаем, что DA относится к CG, как DC к CF; следовательно, квадрат DA относится к квадрату CG, как квадрат DC к квадрату CF. Но выше было уже доказано, что отношение квадратов DA и CG равняется отношению линий DA и FS; следовательно, линии DA и FS относятся между собою, как квадрат DC к квадрату CF. Таким образом, высоты DA и FS плоскостей CD и CF относятся между собою, как квадраты длин последних; поэтому на основании предложения седьмого времена падения по ним будут равны.

Теорема   X.   Предложение   X

Времена падения по плоскостям, имеющим различный наклон, но одинаковую высоту, относятся между собою, как длины этих плоскостей как  {269}  в том случае, когда движение начинается с выхода из состояния покоя, так и в том, когда ему предшествует падение с одинаковых высот.

Предположим, что движение может происходить по линиям ABC и ABD до горизонта DC, причем движение по АВ предшествует дальнейшему движению по BD и ВС. Утверждаю, что время падения по BD относится ко времени падения по ВС, как длина BD к ВС. Проведем линию AF, параллельную горизонту и пересекающую линию DB в точке F, и пусть FE будет средней пропорциональной между DF и FB; проведя линию ЕО, параллельную ВС, получим АО — среднюю пропорциональную между СА и АВ. Если теперь время падения по АВ будет равно АВ, то время падения по FB будет равно FB, время падения по всей линии АС будет соответствовать средней пропорциональной АО, и время падения по всей FD — средней пропорциональной FE. Вследствие этого время падения по остатку пути ВС будет равно ВО, а по остатку пути BD — равно BE. Но отношение BE к ВО равно отношению BD к ВС; следовательно, времена падения по BD и ВС после падения по АВ и FB или, что то же самое, по общей части пути АВ будут относиться между собою

как длины BD и ВС. То, что время падения по BD относится ко времени падения по ВС как длина BD к длине ВС в том случае, когда движение тела начинается с выхода из состояния покоя в точке В, доказано выше. Таким образом, времена падения по плоскостям, имеющим различный наклон, но одинаковую высоту, относятся между собою, как длины плоскостей как в том случае, когда движение начинается с выхода из состояния покоя, так и в том, когда ему предшествует падение с равных высот, что и требовалось доказать²³.

Теорема   XI.   Предложение   XI

Если плоскость, по которой совершается движение, начинающееся из состояния покоя, разделена каким-либо образом, то время падения но первой части относится ко времени падения по следующей части, как длина первой части к излишку над нею средней пропорциональной между длиною всей плоскости и длиною первой ее части.

Пусть движение совершается от точки покоя А вдоль всей линии АВ, разделенной в точке С на произвольные части; пусть средней пропорциональной между всею ВА и первой ее частью АС будет AF; тогда CF будет излишком средней пропорциональной FА над частью АС. Утверждаю, что время падения по АС относится ко времени последующего падения по СВ как АС к CF. В самом деле, время падения по АС относится  {270}  ко времени падения по АВ, как АС к средней пропорциональной AF; в случае же деления пути время падения по АС относится ко времени падения по остальной части пути СВ, как АС к CF. Если, таким образом, время падения по АС равняется АС, то время падения по СВ будет равно CF, что и требовалось доказать.

Если движение совершается не вдоль одной прямой линии АСВ, но по ломаной линии ACD до горизонта BD, то, проведя через точку F линию FE, параллельную горизонту, можно таким же образом доказать, что время: падения по АС относится ко времени падения по CD, как АС к СЕ. В самом деле, время падения по АС относится ко времени падения по СВ, как АС к CF, а время падения по СВ после прохождения АС относится ко времени падения по CD, также после прохождения АС, как СВ к CD или как CF к СЕ, что было доказано выше; следовательно, ex aequali, время падения по АС будет относиться ко времени падения по CD, как линия АС к линии СЕ.

Теорема   XII.   Предложение   XII

Если две плоскости — одна вертикальная, а другая наклонная к горизонту под каким-либо углом — пересечены горизонтальными линиями: и построены средние пропорциональные между длинами этих плоскостей и отрезками их, заключенными между общей точкой их пересечения и точками пересечения их с верхней горизонталью, то время падения по вертикали относится ко времени падения по ломаной линии, составленной из верхней части вертикали и нижней части наклонной плоскости, как общая длина вертикали к длине линии, составленной из средней пропорциональной между вертикалью и верхней ее частью и излишка всей длины наклонной плоскости над средней пропорциональной между нею и верхней ее частью.

Пусть даны две горизонтали — верхняя AF и нижняя CD, — между которыми заключены две плоскости — вертикальная АС и наклонная DF,— пересекающиеся в точке В, и пусть средней пропорциональной между всей вертикалью СА и верхней частью ее АВ будет AR, а средней пропорциональной между всей длиною DF и верхней частью ее BF будет FS. Утверждаю, что время падения по всей вертикали АС будет относиться ко времени падения по линии, составленной из верхней ее части АВ  {271}  и нижней части наклонной плоскости, т. е. BD, как АС к средней пропорциональной AR, сложенной с отрезком SD, представляющим излишек общей длины плоскости DF над средней пропорциональной FS. Соединим R и S линией, параллельной горизонту. Так как время падения по всей вертикали АС относится ко времени падения по части ее АВ, как СА к средней пропорциональной AR, то, принимая за время падения по АС длину АС, получим, что время падения по АВ будет равно AR и по остатку ВС равно RC. Но если время падения по АС равняется АС, то время падения по FD будет равно FD, а время падения по BD, после того как имело уже место, предшествующее падению по FB или АВ, равно DS. Следовательно, время падения по всей вертикали АС равняется линии AR, сложенной с RC, а по ломаной линии ABD — линии AR, сложенной с SD, что и требовалось доказать²⁴.

То же имеет место, когда вместо вертикальной плоскости дана какая-нибудь другая — наклонная, например NO. Доказательство остается тем же самым.

Задача   I.   Предложение   XIII

Построить наклонную плоскость, высота которой равнялась бы данной вертикали и падение по которой после предшествующего падения по вертикали происходило бы за такой же промежуток времени, как и падение по вертикали, начавшееся с состояния покоя.

Пусть дана вертикаль АВ; продолжив ее до G, отложим отрезок ВС, равный АВ, и проведем горизонтали СЕ и AG; требуется провести через В плоскость под таким наклоном к горизонту, чтобы падение по ней после предшествующего падения из А совершалось в течение того же времени, как и падение по АВ тела, вышедшего из состояния покоя в А. Отложим отрезок CD, равный СВ, проведем BD и построим линию BE, равную сумме BD и DC. Утверждаю, что BE и есть искомая плоскость. Продолжим ЕВ до пересечения с горизонталью AG в точке G, и пусть GF будет средней пропорциональной между EG и GB. Тогда EF будет относиться к FB, как EG к GF, а квадрат EF будет относиться к квадрату FB, как квадрат EG к квадрату GF, т. е. как линия EG к GB. Но EG есть удвоенная линия GB; следовательно, квадрат EF является  {272}  удвоенным квадратом FB. Далее, квадрат DB также является удвоенным квадратом ВС; следовательно, линия EF относится к FB, как DB к ВС. Складывая и переставляя члены, получаем, что ЕВ относится к сумме DB и ВС, как BF к ВС; но BE есть сумма DB и ВС; следовательно, BF равно ВС или ВА. Если мы примем АВ за меру времени падения по АВ, то GB будет временем падения по GB, a GF — временем падения по всей линии GE; следовательно, BF будет временем падения по остающейся части BE после падения тела из точки G или, что то же самое, из точки А, что и требовалось доказать.

Задача   II.   Предложение   XIV

Даны вертикаль и наклонная плоскость; найти на верхней части данной вертикали такой отрезок, время падения по которому, начиная с момента выхода тела из состояния покоя, равнялось бы времени падения по наклонной плоскости после предшествующего падения по искомому отрезку вертикали.

Даны вертикаль DB и наклонная плоскость АС; на части вертикали AD требуется найти такой отрезок, падение по которому по выходе тела из состояния покоя совершалось бы в такой же промежуток времени, как и падение по плоскости АС после предшествующего падения по указанному отрезку. Проведем горизонтальную плоскость СВ, и пусть ВА вместе с удвоенной длиной АС относится к АС, как АС к АЕ, а ВА относится к СА, как ЕА к AR. Опустим из точки R перпендикуляр RX на линию DB. Утверждаю, что X и есть искомая точка. По построению ВА вместе с двумя АС относится к АС, как СА к АЕ; следовательно, BА вместе с АС относится к АС, как СЕ к ЕА; а так как ВА относится к АС, как ^Л к АН, то ВА вместе с АС относится к АС, как ER к AR. Но ВА вместе с АС относится к АС, как СЕ к ЕА. Следовательно, ЕR относится к RA, как СЕ к ЕА или же как сумма предыдущих членов к сумме последующих, т. е. как CR к RE; поэтому линия RE является средней пропорциональной между CR и RA. Так как, далее, ВА относится к АС по построению, как ЕА к AR, вследствие же подобия треугольников отношение ВА к АС равно отношению ХА к AR, то отношение ЕА к AR равно отношению ХА к AR; следовательно, ЕА и ХА равны между собою. Если принять теперь RA за время падения по RA, то время падения по RC будет равно RE — средней пропорциональной между CR и RA — и АЕ будет временем падения по АС после падения по RA или по ХА; но время падения по ХА есть ХА, ибо RА есть время падения  {273}  по RA. Отсюда следует, что времена падения ХА и АЕ равны между собою, в чем и состояло предложение²⁵.

Задача   III.   Предложение   XV

Даны вертикаль и пересекающая ее наклонная плоскость; найти на нижней части вертикали такой отрезок, падение по которому совершалось бы в тот же промежуток времени, как и по данной наклонной плоскости после предшествующего падения по данной вертикали.

Пусть даны вертикаль АВ и наклонная плоскость ВС; на нижней части вертикали требуется найти такой отрезок, который проходился бы при падении тела из А в тот же промежуток времени, как и ВС, также при падении тела из А. Проведем горизонталь AD, которая пересечет продолжение линии СВ в точке D, и пусть DE будет средней пропорциональной между CD и DB; отложим, далее, отрезок BF, равный BE, и построим AG каик третью пропорциональную к ВА и AF²⁶. Утверждаю, что BG и будет тем отрезком, который после падения тела по АВ будет пройден в то же самое время, что и наклонная плоскость ВС при том же условии. В самом деле, если положить, что временем падения по АВ будет АВ, то временем падения по DB будет DB; а так как DE есть средняя пропорциональная между BD и DC, то DE будет временем падения по всей линии DC, BE — временем падения по отрезку ВС при начале движения от точки D или, что то же самое, после падения по АВ. Подобным же образом находим, что BF есть время падения по BG при тех же условиях. Но BF равняется BE; следовательно, предложение доказано.

Теорема   XIII.   Предложение   XVI

Если части наклонной плоскости и вертикали, выходящих из одной точки, таковы, что падение по ним, начиная с момента выхода тела из состояния покоя, совершается в равные промежутки времени, то тело, падающее с какой-либо большей высоты, скорее проходит часть наклонной плоскости, нежели часть вертикали.

Пусть даны вертикаль ЕВ и наклонная плоскость СЕ, выходящие из одной точки Е, времена падения по которым из точки Е равны, а также какая-либо точка А, лежащая выше на продолжении вертикали, откуда тело может падать. Утверждаю, что после падения тела от А до Е  {274}  ему потребуется меньше времени для прохождения наклонной плоскости ЕС, нежели для прохождения вертикали ЕВ. Соединим точки С и В и проведем горизонталь AD до пересечения с продолжением СЕ в точке D; отложим, далее, DF — среднюю пропорциональную между CD и DE — и AG — среднюю пропорциональную между ВА и АЕ — и проведем линии FG и DG. Так как времена падения из точки покоя Е по ЕС и ЕВ одинаковы, то угол С, согласно второму следствию шестого предложения, будет прямым; угол А также прямой, а углы при точке Е равны как вертикальные; следовательно, треугольники AED и СЕВ равноугольны, и стороны их, прилегающие к равным углам, пропорциональны; поэтому BE относится к ЕС, как DE к ЕА. Прямоугольник BEА равен, таким образом, прямоугольнику СЕВ. Так как прямоугольник CDE больше прямоугольника CED на квадрат ED, и прямоугольник ВАЕ больше прямоугольника ВЕА на квадрат ЕА, то излишек прямоугольника CDE над прямоугольником ВАЕ или, что то же самое, излишек квадрата FD над квадратом AG равняется излишку квадрата DE над квадратом АЕ, каковой излишек равен квадрату DA. Таким образом, квадрат FD равняется сумме двух квадратов GA и AD или же квадрату GD; следовательно, линии DF и DG равны, угол DGF равен углу DFG, угол же EGF меньше угла EFG, и противолежащая сторона EF меньше стороны EG. Если положим, что временем падения по АЕ является АЕ, то временем падения по DE будет DE; так как, далее, AG есть средняя пропорциональная между ВА и АЕ, то AG будет временем падения по всей вертикали АВ, а отрезок EG — временем падения по ЕВ, если тело падает из А. Подобным же образом находим, что EF есть время прохождения ЕС после падения тела по DE или же по АЕ. Так как мы показали уже, что EF меньше EG, то теорему можно считать доказанной²⁷.

Следствие

Из последнего и из ранее доказанных положений вытекает, что тот отрезок вертикали, который тело проходит после падения из высшей точки за тот же промежуток времени, что и наклонную плоскость, меньше того, который проходится по вертикали за промежуток времени,  {275}  соответствующий прохождению наклонной плоскости без предварительного падения, но больше длины наклонной плоскости. Как уже было доказано выше, время прохождения ЕС, в случае падения тела из высшей точки А, короче времени прохождения ЕВ; следовательно, путь, который тело пройдет вдоль ЕВ за промежуток времени, равный затраченному на прохождение ЕС, будет меньше всей линии ЕВ. Далее, то, что указанный путь, пройденный по вертикали, больше ЕС, будет ясно, если обратиться к чертежу предложения пятнадцатого, в котором было доказано, что часть вертикали BG проходится в то же время, как и ВС, после предшествующего падения по АВ. Действительно, то, что BG больше ВС, можно видеть из следующего. Так как BE и FB равны, а ВА меньше BD, то отношение FB к ВА больше отношения ЕВ к BD; равным образом и отношение FА к АВ больше отношения ED к DB; но FА относится к АВ, как GF к FB (ибо AF есть средняя пропорциональная между ВА и AG); далее, отношение ED к BD равно отношению СЕ к ЕВ; следовательно, отношение GB к BF больше отношения СВ к BE, поэтому GB больше ВС.

Задача   IV.   Предложение   XVII

Даны вертикаль и пересекающая ее наклонная плоскость; найти такую часть этой плоскости, которую тело пройдет после своего падения по вертикали в тот же промежуток времени, в какой им была пройдена по выходе из состояния покоя вертикаль.

Пусть АВ — вертикаль и BE — пересекающая ее наклонная плоскость; требуется найти такую часть BE, которую тело после своего падения по АВ пройдет в то же время, в какое оно, падая из точки А, прошло вертикаль АВ. Пусть AD будет горизонтальной линией, пересекающей продолжение плоскости в точке D; отложим отрезок FB, равный ВА, и выберем DE так, чтобы отношение BD к DF было равно отношению FD к DE. Утверждаю, что время прохождения BE после падения по АВ равно времени прохождения АВ по выходе тела из состояния покоя в точке А. Если примем, что временем падения по АВ является АВ, то DB будет временем падения по DB. Так как, далее, отношение BD к DF равно отношению FB к DE. то DF будет временем падения по всей  {276}  плоскости DE, a BE — временем падения по части BE в случае движения от точки D; но время прохождения BE после падения по DB то же, что и после падения по АВ, следовательно, время прохождения BE после падения по АВ есть BF, равное времени прохождения АВ при падении тела из точки А, в чем и состоит предложение²⁸.

Задача   V.   Предложение   XVIII

На данной вертикали отмечен отрезок, проходимый за данное время телом, выходящим из начальной точки. Отметить на той же вертикали отрезок, равный первому и проходимый за некоторый данный меньший промежуток времени.

Пусть AD — вертикаль, АВ — отрезок ее, проходимый телом от начальной точки А за время АВ, и СВЕ — горизонтальная линия; данный промежуток времени, меньший АВ, нанесем на горизонталь как ВС. Требуется отметить на вертикали такой отрезок, равный АВ, который был бы пройден телом за время ВС. Проведем линию АС. Так как ВС меньше ВА, то угол ВАС будет меньше угла ВС А; построим равный последнему угол САЕ, сторона которого АЕ пересечет горизонталь в точке Е, восставим перпендикуляр ED, пересекающий вертикаль в точке D, и отложим отрезок DF, равный ВА. Утверждаю, что FD и есть тот отрезок вертикали, который будет пройден телом, движущимся из точки А, за данный промежуток времени ВС. Так как ЕВ является перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла Е прямоугольного треугольника AED на противолежащую сторону AD, то АЕ будет средней пропорциональной между DA и АВ, a BE — средней пропорциональной между DB и ВА или между F А и АВ (ибо FА и DB равны). Поэтому, если временем прохождения АВ будет АВ, то АЕ или ЕС будет временем для всего отрезка AD, а ЕВ — временем для AF; следовательно, остаток ВС будет временем для отрезка FD, как мы и утверждали²⁹.

Задача   VI.   Предложение   XIX

На данной вертикали отмечен отрезок, проходимый телом при движении из начальной точки за данный промежуток времени; найти время, в течение которого тело пройдет отрезок той же длины, как-либо расположенный на той же вертикали.  {277} 

Пусть на вертикали АВ отмечен какой-либо отрезок АС, верхняя точка которого совпадает с начальной точкой движения А, и где-нибудь на вертикали отложен равный ему отрезок DB; примем, что время прохождения по АС равно АС. Требуется определить время прохождения телом отрезка DB при движении из А. Приняв вертикаль АВ за диаметр, построим полукруг АЕВ, из точки С восставим перпендикуляр СЕ к прямой АВ, проведем линию АЕ, которая будет больше ЕС, и отложим на ней часть EF, равную ЕС. Утверждаю, что остаток FA и будет временем падения по DB. Так как АЕ есть средняя пропорциональная между ВА и АС и АС есть время падения по АС, то АЕ будет временем падения по всей вертикали АВ. Так как, далее, СЕ есть средняя пропорциональная между ВА и АС (ибо DA равна ВС), то СЕ или EF будет временем падения по AD; следовательно, остаток AF будет временем падения по DB, что и требовалось доказать.

Следствие

Отсюда вытекает, что если время падения на какое-либо расстояние, начинающееся от точки покоя, положить равным этому же расстоянию, то время падения на такое же расстояние, но после предварительного добавочного пути, будет равняться излишку средней пропорциональной между суммою обоих путей и первоначальным путем над средней пропорциональной между обоими путями, взятыми отдельно. В самом деле, пусть время падения по АВ, начиная от точки А, будет равно АВ; если прибавим AS, то время падения по АВ после предшествующего падения по SA будет равно излишку средней пропорциональной между SB и ВА над средней пропорциональной между ВА и AS.

Задача   VII.   Предложение   XX

Дана произвольная прямая и на ней отрезок, начинающийся от исходной точки падения; найти другой отрезок, оканчивающийся в той же точке, как и прямая, время падения по которому равнялось бы времени падения по первому отрезку.

Пусть СВ — вертикаль и CD — данный отрезок, начинающийся от исходной точки движения С; требуется отложить от конца В той же  {278}  вертикали другой отрезок, который проходился бы телом в такой же промежуток времени, как и CD. Найдем среднюю пропорциональную между ВС и CD и отложим на вертикали равный ей отрезок ВА; пусть, далее, третьей пропорциональной к ВС и СА будет СЕ³⁰. Утверждаю, что ЕВ является пространством, которое будет пройдено телом, падающим из точки С, за то же время, что и CD. Если мы положим, что время падения по всей вертикали СВ будет равно СВ, то ВА (средняя пропорциональная между ВС и CD) будет временем падения по CD; так как, далее, СА есть средняя пропорциональная между ВС и СЕ, то СА будет временем падения по СЕ. Но временем падения по всей вертикали СВ является ВС; следовательно, остаток ВА будет временем падения по ЕВ при начале движения от точки С; но тот же отрезок ВА является временем падения по CD; следовательно, отрезки CD и ЕВ проходятся при падении тела из A в равные промежутки времени, что и требовалось установить.

Теорема   XIV.   Предложение   XXI

Если падение тела, вышедшего из состояния покоя, совершается сперва по вертикали, а затем, после прохождения в определенное время данной части ее, продолжается по какой-либо наклонной плоскости, то путь, проходимый по этой наклонной плоскости за то же время, что и по указанной части вертикали, более удвоенного, но менее утроенного пути, проходимого по вертикали.

Пусть АЕ — горизонталь и АВ — расположенная под нею вертикаль, по которой из точки А происходит падение на пространство АС; пусть, далее, в точке С к последней линии примыкает какая-либо наклонная плоскость CG, по которой после прохождения телом пути АС и продолжается движение. Утверждаю, что пространство, которое будет пройдено при таком движении по CG за промежуток времени, равный затраченному на прохождение АС, будет более удвоенного, но менее утроенного пути АС. Отложим отрезок CF, равный АС, и продолжим плоскость GC до встречи с горизонталью в точке Е; пусть, далее, СЕ относится к EF,  {279}  как FE к EG. Если положим теперь, что время прохождения АС есть линия А C, то СЕ будет временем падения по ЕС, a CF или одинаковый с ним отрезок СА — временем падения по CG. Таким образом, требуется доказать, что расстояние CG больше удвоенного, но меньше утроенного отрезка СА. Так как отношение СЕ к EF равно отношению FE к EG, то оно равно и отношению CF к FG. Но ЕС меньше EF, поэтому и CF меньше FG, a GC более удвоенного отрезка FC или АС. Так как, с другой стороны, FE меньше удвоенного отрезка ЕС (ибо ЕС больше СА или CF), то и GF меньше удвоенного отрезка FC, a GC меньше утроенного отрезка CF или СА, что и требовалось доказать.

Этому предложению можно придать и более общую форму, ибо то, что происходит при движении по вертикали и наклонной плоскости, имеет место и в том случае, когда движение по одной наклонной плоскости продолжается по другой, имеющей больший наклон, как показано на прилагаемом чертеже. Доказательство остается тем же самым.

Задача   VIII.   Предложение   XXIII

Даны два неравных промежутка времени и пространство, проходимое в меньший из них телом, вышедшим из состояния покоя и движущимся по вертикали; построить между верхней точкой вертикали и горизонталью наклонную плоскость такой длины, чтобы она проходилась телом за больший из данных промежутков времени.

Пусть из двух неравных промежутков времени А будет большим и В — меньшим, и пусть пространством, проходимым по вертикали из точки покоя за время В, будет CD; требуется построить между точкою С и горизонталью наклонную плоскость такой длины, чтобы она проходилась телом в промежуток времени А. Пусть В относится к А, как CD к некоторой линии СХ, которую и проведем из точки С к горизонтали; ясно, что плоскость СХ будет именно той, которую тело пройдет за данное время А. В самом деле, мы уже доказали, что времена падения по наклонной плоскости и ее высоте относятся между собою как длина плоскости к ее высоте; следовательно, время падения по СХ относится к времени падения по CD, как СХ к CD или как время А ко времени В; но время В есть то, в течение которого телом проходится по выходе из состояния покоя вертикаль CD; следовательно, А есть время, в течение которого проходится плоскость СХ.