скачать djvu/3,0M

В. Л. КАН, А. С. КЕЛЬЗОН

ТЕОРИЯ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ
НАВИГАЦИИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО „СУДОСТРОЕНИЕ”

ЛЕНИНГРАД
1965

Книга посвящена исследованию движения симметричного относительно продольной оси твердого тела, сближающегося с движущейся точкой по способу пропорционального сближения.

В книге изложена теория пропорциональной навигации в ее современном состоянии по данным советской и зарубежной науки, а также на основе исследований самих авторов. Рассматриваются вопросы кинематики, динамики, устойчивости движения и автоматического управления при пропорциональном сближении.

Книга рассчитана на инженеров и научных работников, специализирующихся в области автоматического управления движением. Она будет полезна студентам кораблестроительных и авиационных институтов, а также студентам механико-математических и физико-механических факультетов соответствующих вузов.

ВВЕДЕНИЕ

Классическая задача о движении точки по кривой погони была впервые рассмотрена в математическом аспекте французским ученым Бугером в 1732 г. С тех пор эта проблема привлекала внимание многих ученых [9].

Простейшая кинематическая задача о преследовании по кривой погони точки, движущейся равномерно и прямолинейно, была решена сравнительно быстро и всеобъемлюще. Однако дальнейшее развитие теории встретилось с трудно преодолимыми математическими проблемами. Так, многократно исследовавшаяся задача о преследовании по кривой погони точки, движущейся равномерно по окружности, не получила замкнутого решения и была рассмотрена только качественно [9].

Дальнейшее развитие проблемы в последние годы шло по ряду направлений.

Была решена задача о преследовании точки, движущейся равномерно и прямолинейно по кривой постоянного угла упреждения, а также при параллельном сближении.

Далее кинематическая задача о преследовании по вышеуказанным траекториям точки, движущейся равномерно и прямолинейно, была дополнена динамическим анализом идеального движения преследующего осесимметричного тела [8, 9]. Под идеальным движением при этом подразумевается такое движение осесимметричного тела, при котором его центр инерции движется точно по одной из указанных траекторий.

В 1943—1945 гг. в работах американских ученых [31, 34] был впервые предложен новый способ сближения, названный авторами пропорциональной навигацией. При этом способе сближения угловая скорость линии визирования пропорциональна угловой скорости вращения вектора скорости (коэффициент пропорциональности — так называемая навигационная постоянная).  {3}  Пропорциональная навигация, с одной стороны, включает ранее известные дифференциальные [11] методы сближения (по кривым погони и постоянного угла упреждения) как частные случаи, получающиеся при навигационной постоянной, равной единице. С другой стороны, она расширяет круг ранее известных способов сближения. В связи с этим проблема пропорциональной навигации привлекла с первых дней возникновения внимание значительного круга математиков. Американский математик Шпитц [33] дал замкнутое решение уравнений пропорциональной навигации при навигационной постоянной, равной двум. Сопоставление результатов, полученных Шпитцем, с результатами ранее известных способов сближения показало, что увеличение навигационной постоянной на единицу улучшило условия встречи. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений пропорциональной навигации при других значениях навигационной постоянной, неоднократно осуществлявшееся на электронных вычислительных машинах, показало, что и дальнейшее увеличение навигационной постоянной представляет интерес.

Однако многочисленные попытки американских ученых получить замкнутое решение при навигационной постоянной b > 2 не дали результата. В 1955 г. Локк [29], подводя итог этим усилиям, писал, что замкнутое решение дифференциальных уравнений пропорциональной навигации при значении навигационной постоянной, отличном от двух, не может быть получено.

Настоящая книга, в которой получают дальнейшее развитие работы авторов [5], [6] по пропорциональной навигации, посвящена главным образом указанной математической задаче.

В книге в основном исследуется относительное движение двух точек, а не абсолютное их движение. Это связано как с существом вопроса, так и с применяемым методом. Действительно, относительная траектория представляет значительно больший интерес, чем абсолютная, так как нас в первую очередь интересует в данной задаче взаимное расположение двух точек, а не их положение в неподвижной системе координат. В то же время, поскольку величина η (угол поворота линии визирования) представляет угол с неподвижным направлением, то ее производные по времени (характеризующие нормальное ускорение, угол поворота руля и другие аналогичные параметры) могут вычисляться как обычно.  {4} 

Кроме того, если известна относительная траектория, то приближенное определение абсолютной траектории требует только численного нахождения одного интеграла.

Большое внимание уделяется в книге качественному исследованию траекторий. Это объясняется тем, что точные уравнения траектории хотя и могут быть получены, но не могут быть исследованы в общем виде, так как характер траектории существенно зависит от численных значений различных параметров.

В книге подробно рассматривается случай р < 1 (р — отношение величин скоростей точек). При анализе этого случая в прошлом имели место многочисленные недоразумения (например, утверждалось, что устойчивое сближение при р < 1 невозможно [29]). Кроме того, этот случай представляет значительные трудности для исследования, в связи с тем, что из-за нелинейности задачи изменение начальных условий коренным образом изменяет характер движения. При р > 1 такого явления нет.

Термин «устойчивость» не имеет в научно-технической литературе однозначного смысла и определяется различными авторами по-разному в зависимости от рассматриваемой задачи^*. Однако им приходится пользоваться ввиду отсутствия другого подходящего термина. В данной книге термин «устойчивость» употребляется в трех контекстах: устойчивость корней, устойчивость траектории и устойчивость сближения.

Устойчивость данного корня [некоторой функции f(η)] означает, что величина η при нахождении ее в некоторой конечной области, содержащей этот корень, всегда стремится к нему, не обязательно его достигая. Это не означает, что преследующая точка остается в конечной области. Напротив, существуют и такие устойчивые корни, вблизи которых расстояние между точками неограниченно возрастает. Очевидно, что если первоначальное значение угла η равно значению устойчивого корня, то все малые возмущения величины η затухают, т. е. устойчивость является асимптотической.

Устойчивость траектории означает, что малые возмущения начальных условий приводят к траекториям, близким к первоначальным, т. е. что расстояние между траекториями с близкими начальными условиями остается близким во все время движения.  {5} 

Заметим, что понятие устойчивость движения (в смысле Ляпунова) в данной книге не употребляется, поскольку время почти нигде в явной форме не рассматривается.

Устойчивость сближения означает, что если для данных начальных условий дальность а в конце концов стремится к нулю, то то же будет иметь место и для достаточно близких к ним начальных условий.

Нужно отметить следующие особенности задачи:

1. Поскольку любой момент движения может быть принят за начальный, то понятия устойчивости распространяются на возмущения, происходящие в любой момент движения.

2. Поскольку значение а = 0 соответствует точке встречи (если она достигается); т. е. точке прекращения движения, то в соответствующих случаях устойчивость рассматривается на конечном промежутке времени.

3. Ввиду непрерывной зависимости времени прохождения соответствующей части траектории от начальных данных, очевидно, что в случае конечного времени движения имеем и устойчивость движения в смысле Ляпунова (для устойчивых траекторий), т. е. разности между координатами точки для невозмущенного и возмущенного движения малы во все время движения. В случае бесконечного времени движения этот вопрос требует дальнейшего исследования, которое, однако, вряд ли имеет практическое значение.

В первой главе рассмотрены основные уравнения пропорциональной навигации и дано их преобразование к каноническому виду, используемому в дальнейшем при получении замкнутого решения и при качественном исследовании уравнений движения.

Во второй главе исследуется пропорциональная навигация при значении навигационной постоянной, равном двум. В § 4 изложены результаты, полученные Шпитцем. Далее исследуется динамика идеального движения осесимметричного тела при b = 2, а также влияние различных параметров на величину промаха при р < 1.

Исследование траекторий, приведенное в конце второй главы, является первым, сравнительно простым примером использования качественных методов для полного исследования траекторий пропорциональной навигации. Эти методы в дальнейших главах получают развитие на более сложных примерах.  {6} 

В третьей главе, написанной Б. Л. Минцбергом, рассмотрена пропорциональная навигация при любых значениях навигационной постоянной и при равенстве (по величине) скоростей обеих точек. При этих условиях оказалось возможным получить замкнутое решение и для абсолютной траектории точки.

В четвертой главе исследуется пропорциональная навигация при любых целочисленных значениях навигационной постоянной и при р > 1. Качественное исследование траекторий движения, проведенное в этой главе, позволяет рассмотреть устойчивость корней уравнений, определяющих угол поворота линии визирования при встрече. Далее определяются нормальное ускорение, угол поворота руля, другие аналогичные величины и находятся законы их изменения при встрече.

Пятая глава посвящена точному решению уравнений пропорциональной навигации при любых целочисленных значениях навигационной постоянной в случае р > 1, когда корни уравнений вещественны и различны.

В шестой, седьмой, восьмой и девятой главах проводится качественное исследование траекторий и находятся точные решения дифференциальных уравнений пропорциональной навигации в случае р < 1, когда среди корней уравнений могут быть наряду с простыми вещественными корнями комплексные и кратные. В этом случае качественное исследование траекторий начинается с построения сепаратрис функций f(η) и F(η), разбивающего плоскость р, ε₀ на области с постоянным числом вещественных корней. Далее рассматривается изменение корней этих функций в различных областях, их взаимное расположение и разбиение плоскости a, η на секторы. Устанавливается соответствие подобластей в плоскости р, ε₀ различным разбиениям плоскости a, η на секторы и определяется характер траекторий пропорциональной навигации вблизи корней в зависимости от знаков f'(η) и F(η). При этом оказывается, что все многообразие траекторий пропорциональной навигации при подходе к корням может быть сведено к девяти случаям. Наконец, исследуется кривизна относительной траектории.

Качественное исследование траекторий пропорциональной навигации иллюстрируется построением траекторий для различных значений р, ε₀ при b = 3, 4, 5.  {7} 

Устанавливается, что вне сепаратрис корни могут быть устойчивыми или неустойчивыми. На сепаратрисах, где возникают кратные корни, последние являются пол у устойчивыми, т. е. устойчивыми при подходе с одной стороны углов η и неустойчивыми при подходе с другой стороны.

В заключение каждой из глав 6—8 на основе точного решения строятся траектории пропорциональной навигации для значений b = 3, 4, 5. Сопоставление траекторий, построенных для одних и тех же значений р и ε₀ в результате качественного исследования и замкнутого решения, показывает их однотипность.

В девятой главе обобщаются результаты исследования траекторий пропорциональной навигации при р < 1 на случай любого целочисленного значения навигационной постоянной.

В десятой главе, написанной Б. Л. Минцбергом и Г. Н. Ушаковой, дается в замкнутом виде решение частной задачи пропорциональной навигации для случая криволинейного движения точки A.

Авторы считают своим приятным долгом выразить глубокую благодарность В. И. Смирнову и А. И. Лурье за неизменное внимание к данной работе, а также Г. В. Кореневу, Д. Р. Меркину и Б. Л. Минцбергу, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний.

Сноски

ЛИТЕРАТУРА

12. Mapкушевич А. И. Теория аналитических функций. Гостехиздат, 1950.

13. Неванлинна Р. Униформизация. ИЛ, 1955.

14. Немыцкий В. В., Слудская М., Черкасов А. Курс математического анализа, т. 1, 2. Гостехиздат, 1948.

15. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. Гостехиздат, 1950.

16. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 1, 2, 3. Физматгиз, 1958.

17. Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. Учпедгиз, 1939.

18. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. Гостехиздат, 1952.

19. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 2. Физматгиз, 1962.

20. Xинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. Физматгиз, 1962.

21. Adler F. P. Missile guidance by three-dimensional proportional navigation. J. Appl. Phys., 1956, vol. 27, No 5, p. 500—507.

22. Вaxter J. P. Scientists against Time. Boston, 1946.

23. Вrосard H. Questions No 251. Nouvelle Correspondence Mathematique, III, 1877.

24. Brocard H. Mathesis, III, 1883.

25. Dunоуеr L. Sur les courbes de poursuite d'un cercle. Nouvelles Annates de Mathematiques, 1906, 4 serie, VI.

26. Hathaway A. S. Solution of problem 2801. The American Mathematical Monthly, 1921, XXVIII, No 2.

27. Keelhoff. Solution de question 291. Mathesis, VI, 1886.  {419} 

28. Lanсastеr О. Е. and Shornick L. H. Proportional navigation, its use in pilotless aircraft. Bu Aer Report T-17, 1945.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВЕНИАМИН ЛИПМАНОВИЧ КАН и АНАТОЛИЙ САУЛОВИЧ КЕЛЬЗОН
«ТЕОРИЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ»

Темплан 1965 г. № 75

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук Г. В. Коренев, доктор физ.-мат. наук Д. Р. Меркин

Научный редактор канд. физ.-мат. наук Б. Л. Минцберг

Художник Е. И. Васильев

Редактор Н. М. Розенгауз

Технический редактор Р. К. Чистякова

Корректоры: М. П. Бушева, И. М. Федорова

Ленинградская типография № 6 Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Ленинград, ул. Моисеенко, 10